基于DOB的分数阶非线性系统鲁棒控制

摘  要：针对一类具有外部干扰的系统，提出一种基于干扰观测器和线性矩阵不等式的鲁棒控制方法。针对具有外部干扰的分数阶非线性不确定系统，利用系统状态变量设计了干扰观测器。基于干扰观测器的输出，设计了分数阶非线性系统的鲁棒状态反馈控制器，并将控制器的设计问题转化为一类分数阶不确定系统的鲁棒稳定性问题。应用分数阶Lyapunov理论分析了闭环系统的稳定性，并获得闭环系统进一步基于LMI控制器参数的求解方法。最后，用Newcastle机器人控制系统仿真验证了提出的控制方法有效性。

关键词：干扰观测器;鲁棒控制;分数阶;时滞非线性系统

中图分类号：TP391.9          文献标识码：A文章编号：2096-4706（2022）06-0075-04

Robust Control of Fractional Nonlinear Systems Based on DOB

LI Hengbo

（School of Computer Science， Guangdong University of Science and Technology， Dongguan  523083， China ）

Abstract： A robust control method based on disturbance observer and linear matrix inequality is proposed for a system with external disturbances. In view of the fractional order nonlinear uncertain system with external disturbances， this paper designs disturbance observer by using the system state variable. Based on the output of the disturbance observer， it designs a robust state feedback controller for fractional nonlinear systems， and the design problem of controller is converted into a kind of robust stability problems of fractional uncertain systems. It applies fractional Lyapunov theory to analyze the stability of the closed-loop system and obtain a further solution method based on the LMI controller parameters of the closed-loop system. Finally， the effectiveness of the proposed control method is verified by the Newcastle robot control system simulation.

Keywords： disturbance observer; robust control; fractional order; time delay nonlinear system

0  引   言

分數阶微积分作为控制领域中一个新的研究方向，越来越引起人们的关注。分数阶微积分理论是在传统微积分理论的基础上拓展而来的，即将普通意义下微积分运算的微分阶次和积分阶次从整数阶推广到分数和复数[1]。随着计算机技术的发展和对分数阶微积分运算的深入研究，分数阶微积分在多个领域中起到了越来越重要的作用。分数阶微积分在整数阶微积分的基础上增加了微分和积分两个自由度，工程上利用分数阶微积分算子使描述的数学模型更为精确。另一方面，分数阶的遗传特性与记忆性为进一步改善系统的控制性能提供了条件。

稳定性是系统最基本的结构特性，也是系统能够正常运行的前提。文献[2]针对阶次在（0，1]范围内的分数阶微分系统提出了无时滞的分数阶非线性系统Lyapunov方程系列稳定性理论。文献[3]基于Lyapunov-Krasovskii理论和随机稳定性理论，研究了时滞分数阶线性系统时滞相关的鲁棒稳定性。

在实际控制工程和控制理论中，通常把系统受到的自身参数和外部干扰或结构的不确定性视为扰动。几乎在所有的控制工程系统中，干扰和模型不确定性是不可避免的，如何使控制系统在有干扰的情况下具有强鲁棒性成为设计运动控制器必须考虑的一个重要问题。干扰观测器对干扰进行估计时，不需要对干扰信号建立精确的数学模型，而且其本身的结构非常简单，所以避免了大量的数学运算，并能很好地满足工程需要。目前，干扰观测器被广泛应用于许多高精度运动控制系统中，文献[4]提出了将速度扰动观测器对无人机视轴系统进行反馈补偿，扰动信号由分数阶PID控制器进行抑制。文献[5]采用非线性干扰观测器对时变干扰进行动态补偿，从而实现移动机械臂的稳定控制。

本文设计了一类分数阶时滞不确定系统的鲁棒控制器，可以有效地改善干扰抑制的性能，用线性外源系统提供的干扰信息建立干扰观测器。用干扰观测器的输出设计了鲁棒控制策略，可以实现零稳态误差。通过仿真实验验证了所提出的控制方法的有效性。

1  预备知识

在分数阶微积分理论发展过程中，出现了很多种分数阶微积分定义，并且从某种意义上来说某些定义具有一定的等价性。由于在初始条件下Caputo型分数阶微积分定义与整数阶微积分定义的方式一致，所以本文在接下来的内容中用Caputo微积分定义。57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236

定义1.1：Caputo型分数阶微积分定义：

式中，n-1≤α≤n，n∈N。

注1.1：Γ为Gamma函数，用欧拉积分定义为：。

Caputo型分数阶微积分有以下性质：

性质1.1：;

性质1.2：由Caputo微积分定义得到，当0≤α≤1时，其中，

。

本文考虑不确定系统的非线性如下：

=Φ（t），t∈[-h，0]  （1）

其中是状态向量，是控制输入向量，是系统外部干扰。A，Ad和B是常数矩阵，Φ（t）是系统的初始向量。

假设不确定系统（1）具有以下形式：

ΔA（t）=DF1（t）E（2）

其中，D，E为已知常数矩阵，表示系统结构的不确定性，F1（t）为Lebesgue可测的时变矩阵且满足：

（3）

函数表示系统的非线性，且满足以下假设。

假设1.1：f（0）=0且f（x（t））f（x（t））对于x满足全局Lipschitz条件：

其中U是合适维数的已知矩阵。

2  干扰观测器设计

假设系统（1）的干扰d（t）来源于如下线性外源系统：

（4）

其中，和。W和V是已知适当维数的矩阵。

在工程应用中许多不同种类的干扰可以用这个模型描述。在文章的下面部分中，考虑系统（1）和干扰动态系统（4）需要以下假设。

假设2.1：（A，B）可控，（W，V）可观。

为了估计和重构未知干扰d，构造如下干扰观测器：

（5）

其中，L∈Rn×n是待定的干扰观测器增益矩阵。

定义干扰估计误差，由式（1），（4）和（5）得：

（6）

通过设计观测器增益矩阵L可以实现干扰近似的目的，若L满足（6）则系统具有良好的稳定性和鲁棒性。

注2.1：从（6）可以看出，增益矩阵L是干扰观测器（5）的一个非常重要的设计参数。L的选择不仅能影响观测器的稳定性，而且能使系统在不确定因素LΔA（t）x（t）下具有鲁棒性。

3  分数阶鲁棒控制器的设计

假设系统的状态可以直接测量得到，本文的目的是设计鲁棒控制器使系统（1）鲁棒渐近稳定。现设计如下鲁棒控制器：

为了获得分数阶非线性系统的稳定性条件，下面提出基于Lyapunov理论的分数阶时滞系统的新方法。给出了下面定理得到本文的主要结果。

引理3.1：存在矩阵或向量X，Y，对任意常数α>0，满足以下不等式：

（13）

定理3.1：对于给定正数α3和α4，若存在常数α1>0和α2>0，矩阵，，，，满足LMI条件，那么闭环系统在控制律（7）的作用下鲁棒渐近稳定，进一步渐近稳定控制器参数选择为和。

4  仿真

针对Newcastle机器人[6]控制系统，采用分数阶PDα控制方法验证所提方法的有效性。选取机器人系统参数为：m=2 500 kg，c=32 Ns/mm，k=44.5 N/mm，Kp=100，KD=100。进行MATLAB仿真时，各矩阵参数如下：

τM=1，τD=0.5，并取分数阶阶次α=0.9。

由线性外源系统（4）产生的系统干扰d（t）描述为：

选取α3=α4=1，利用MATLAB LMI工具箱求解LMI得到：

虽然分数阶微分算子可以近似用传递函数来表示，但传递函数模块不能直接设置初值，若设置初值必须将传递函数转化为状态空间形式。为了实现仿真分数阶系统，在simulink平台上，可通过使用state-space（状态空间）模块来实现。根据（α=0.1～0.9，步长0.1，逼近误差2 dB）的逼近公式，如α=0.9可近似为：。仿真中，选取初始状态的值为，初始干扰值为d0=[-1.2，-1，-0.1]T，干扰观测器的初始值为。

图1显示了开环系统的状态响应曲线，由图可见，具有外部开环分数阶时滞不确定系统不稳定。图2分别显示了在观察器（5）的作用下，外部干扰及其观测值的仿真曲线，易见，设计的干扰观测器能对外部干扰进行准确的估计。在控制律（7）的作用下，闭环系统状态响应曲线如图3所示，由图可见，设计的控制器不但能使闭环系统稳定，而且能有效抑制外部干扰。对于不具有外部干扰的分数阶时滞系统（18），采用了最优控制方法进行设计，结果如图4所示。

5  结  论

本文提出基于分数阶时滞干扰观测器不确定系统的鲁棒控制。为了增强干扰抑制性能和鲁棒性，用线性外源系统干扰近似系统的干扰，并由干扰观测器的输出，设计了分数阶时滞不确定系统的鲁棒控制方法。用观测器的输出反馈到控制器作为外部干扰的补偿，以抵消干扰从而达到扰动抑制的目的。在构建的系统下，用直接Lyapunov理论和LMI方法得到闭环系统满足稳定性条件和控制器的参数。最后用仿真证明设计的分数阶鲁棒控制策略的有效性。

参考文献：

[1] 孙延修.基于观测器Lipschitz非线性系统鲁棒控制方法 [J].沈阳大学学报（自然科学版），2021，33（5）：404-408.

[2] ZHAO L D，HU J B，FANG J A，et al. Studying on the stability of fractional-order nonlinear system [J].Nonlinear Dynamics，2012，70（1）：475-479.

[3] BALASUBRAMANIAM P，LAKSHMANAN S，RAKKIYAPPAN R. LMI optimization problem of delay-dependent robust stability criteria for stochastic systems with polytopic and linear fractional uncertainties [J].International Journal of Applied Mathematics & Computer Science，2012，22（2）：339-351.

[4] 姜珊，侯宏錄.基于扰动观测器和分数阶PID的视轴稳定控制 [J].自动化与仪表，2020，35（8）：16-20.

[5] 山东大学.基于非线干扰观测器的移动机械臂鲁棒控制方法及系统：CN202011468196.9 [P].2021-04-13.

[6] LAZAREVI M P. Finite time stability analysis of PDα fractional control of robotic time-delay systems [J]. Mechanics Research Communications，2006，33（2）：269-279.

作者简介：李亨博（1990—），女，瑶族，湖南永州人，讲师，硕士研究生，研究方向：智能控制。

收稿日期：2022-02-22

基金项目：广东科技学院校级科研项目（青年项目）（GKY-2020KYQNK-8）57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236