挖掘经典数学内涵 彰显经典理性魅力

张丽颖

摘   要：以小学数学教材的创新性板块“数学广角”的经典课“田忌赛马”为例，探索广角板块渗透数学思想方法、凸显数学思考与问题解决两大目标落实的策略。引导学生以数学的眼光看问题，把实际问题数学化;激活数学思考，诱发数学探究，引导学生经历“探索——交流——归纳”的过程;在更为宽松的氛围下实施更为开放的教学，激活学生的数学潜能;指导学生完整经历方法、对策产生的心路历程，增长智慧。

关键词：小学数学;数学思考;数学探究;激活潜能

中图分类号：G623.5  文献标識码：A   文章编号：1009-010X（2022）19/22-0122-04

“数学广角”作为小学数学教材的创新性板块，为学生提供了具有更大探索、思考空间的学习素材。其价值取向非常鲜明：渗透数学思想方法，凸显数学思考与问题解决。其教学目标定位是：经历运用数学的思维方式发现和提出问题、分析和解决问题的过程，从中获得数学思想方法的感悟;体悟学习数学、应用数学的乐趣，感受数学的价值，增强学好数学的信心。如何让“数学广角”板块的目标真正落到实处？如何在补足数学思维之钙的基础上筑牢数学思想之魂？我们围绕这一主题，选取四年级 “数学广角”第三课时“田忌赛马”一课做了多次探讨。

一、以数学的眼光看问题，把实际问题数学化

为什么人人都要学习数学？因为人人都需要从数与形的角度去观察、认识世界，都需要数学的眼光。“田忌赛马”的故事情节分为两部分，一是齐王与田忌第一次赛马，齐王三局三胜。其中隐含的信息是，齐王各档赛马都比田忌的马战力强;二是孙膑献上计策，田忌反败为胜。其中隐含的信息是，齐王中等马的战力不及田忌的上等马，齐王下等马的战力不及田忌的中等马。因此，六匹马的战力从强到弱依次是：齐王上等马>田忌上等马>齐王中等马>田忌中等马>齐王下等马>田忌下等马。以上的数量关系隐藏在字里行间，需要透过故事情节大力挖掘。教师首先应引导学生以数学的眼光透视故事，将条件数学化，把实际问题抽象成数学问题。因此，教学从引导审题、理解问题解决的条件开始。

师：今天的数学课从研读一篇语文课文开始！（出示课文）请大家认真阅读，你能从课文中读出哪些数学信息？（生阅读思索然后交流）

师：根据前面的分析，你们能用数学符号把双方的赛马按照战力从强到弱排序吗？试一试。（学生独立尝试，然后交流）

生1：齐上>田上>齐中>田下>齐下>田下。

生2：A>a>B>b>C>c。

师：大小写的字母分别表示什么？A>a，B>b，C>c，是根据什么知道的a>B，b>C又是根据什么知道的呢？

小结：用数学分析问题，首先必须明确并理解条件。

有别于通常的动态视频引入，本节课无论是经典出示的方式还是出示经典后的学生活动，都努力体现一个“静”字。“能用数学符号把双方的赛马按照战力从强到弱排序吗？”，教师直截了当从数学的视角提出问题，引导学生用数学的眼光寻找故事背后的数学信息。用数学符号或式子有效地表征故事中的关键条件，这是将实际问题数学化的第一步。有了将赛马战力符号化表达的过程，下面再研究六匹马的对阵方式时，学生自然选择用简捷的符号代替文字描述。这样教学，一方面激起并培养了学生在阅读中寻找数学信息、发现数量关系的兴趣和能力;另一方面，让学生亲身经历符号的探索、发明过程，切身体验符号化表达的先进性和优越性，可以提高学生的符号意识及其符号化表达的能力。

（一）激活数学思考，经历数学探究

“数学广角”的教学重在过程，重在感悟数学思想方法与获得数学活动经验。“田忌赛马”故事一共涉及6匹马，每匹马的战力不一样，在齐王不改变出马顺序（上、中、下）的前提下，田忌共有6种不同的出马策略，其中只有下对上、上对中、中对下这种策略能够取胜，因此称之为“最优策略”。如何让学生的认知达到这一高度并于其中发展思维、积累经验、感悟思想，最好的选择就是以数学探究活动及其体验为基本教学方式，放手让学生动脑、动手、动口，充分展开“探索——交流——归纳”的过程。

（二）初步感知孙膑对策

师：让我们把目光聚焦第二次比赛。这次比赛田忌是如何赢了齐王的？请合理选择数学符号填写表格，然后结合表格清楚表述。（学生独立填写表格，然后交流）

小结：马还是原来的马，田忌只是调换了一下出马的顺序，就反败为胜了，这就是对策。

（三）探究对策之唯一

师：假设骄傲的齐王一直按上、中、下的顺序出马，孙膑想到的对策是不是唯一能赢齐王的方法呢？（生意见不一）

师：看来取胜策略是否唯一，大家有不同看法。那么孙膑总共有多少种可采用的策略呢？联想搭配知识中的有序思考，认真填一填。（学生独立完成填表，然后交流，确认田忌总共有6种出马策略，其中只有一种三局两胜。）

小结：唯一能赢齐王的对策并不是孙膑一拍脑门就想出来的，他是利用数学方法，经过列举分析，从中择优才找到了最佳策略。

（四）理解孙膑必胜策略的关键——以弱制强

师：这唯一能赢的策略有什么高明之处？它的制胜秘诀在哪里呢？

师：用下等马去对上等马，不是明摆着输吗！这还高明？

小结：牺牲最弱的下等马，浪费掉齐王最厉害的上等马，用最小的代价和暂时的失利换取后两场的胜利！这就是“以弱制强”！智者不计较一场的输赢，而是走一步看两步，全盘考虑问题，最终赢得整体的胜利！

任务驱动下的问题解决，是激活数学思考、诱发数学探究的最好手段。在初步感知孙膑对策后，教师以核心问题“对策是否唯一”，引发猜想与探究。联想搭配中的有序思考，一一排列，学生找全了6种不同应对策略，发现只有孙膑的对策能够三局两胜。既经历了“最优策略”的产生过程，体会了何为运筹、何为优化及如何运筹与优化，积累了数学活动经验，同时也深刻地体会了“谋略在先、以弱胜强”的不易，感悟了“优化”的魅力。接下来继续拷问“唯一能赢的策略有什么高明之处？”“用下等马去对上等马，不是明摆着输吗！这还高明？”，有趣且直击“命门”，频频引发学生的思维碰撞，在不断地质疑、解疑中，学生的思考愈来愈清晰，愈来愈深入。

二、实施更为开放的教学，激活学生的数学潜能

“数学广角”与“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域内容承担的知识与技能教学的刚性任务不同，它本质上属于课程中用以开阔学生数学视野、发展学生数学兴趣爱好的拓展部分。因此“数学广角”教学应该在“让不同发展水平的学生可以有不同的‘获得”上下功夫，应该增加课程与教材的弹性，在更为宽松的氛围下实施更为开放的教学，进而激活学生的数学潜能。

在小学教学田忌赛马，通常只讲齐王固定出马顺序，孙膑有6种应对策略，只有一种能使田忌三局两胜，到此为止。如此教学充其量只是讲解了一个决策论故事，构不成真正的博弈论问题。因为博弈问题最基本的特征是“策略互相牵制对抗”，通俗地说就是让决策双方处于平等的策略对抗地位，双方同时决策。而如果双方同时决策，齐王3匹马，三场比赛有6种不同的出马顺序，针对齐王的每种出马顺序，田忌都各有6种应对策略，因此，共有6×6种对阵。如此复杂的对阵表，小学生是难以接受的。怎样才能在不露痕迹中合理延展促学生深度思考体悟博弈，又避免超出学生接受水平呢？

师：如果齐王改变出马顺序，田忌还能赢吗？我们来试一试。假设齐王把出马顺序换成“下、中、上 ”（C、B、A），看看田忌赢的可能性会不会变？（出示上面表格2，将第一行改成C、B、A。师生共同逐一分析六种对阵结果，填写表格，确认赢的可能性不变）

师：这就是说，不管齐王怎样出马，田忌的出马方案总是6种，其中只有一种能够三局两胜。是哪一种？

在学生理解孙膑最优策略并明白其唯一后，教师大胆设疑，借此在故事之外再选一种对阵加以探究，通过再次列表分析，得出只要保证让齐王先出马，不管齐王怎样出马，田忌的出马方案总是6种，其中只有下对上、中对下、上对中才能够三局两胜。既成功地把田忌赛马扩展为了一个博弈论问题，使数学模型更加精准，而且以一当五，得窥所有对阵情形之全貌，可谓四两拨千斤，明智又巧妙。

三、经历对策产生的心路历程，增长智慧

数学家华罗庚先生说过：对书本中的某些原理、定律、公式、方法以及对策，学习的时候不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。“田忌赛马”作为一种策略，并不是“必胜宝典”，而是需要一定的前提。故事中孙膑之所以能够利用最佳策略实现以弱胜强，足智多谋固然重要，但足智多谋的前提是对六匹马战力的精准分析，是对齐王骄傲自大性格的细心揣摩，在此基础上因势造势，全盘考虑，后发制人，才取得了以弱胜强的效果。因此教学中分析、理解孙膑实施最优策略的基本条件，让学生明晰孙膑决策的整个心路历程，才能将策略升华为思想，同时提升智慧。基于此，教学的最后环节，教师把重点放在反复拷问、理解对策取胜的基本条件上。

（一）体会取胜条件之一——知己知彼

师：如果齐王按上、中、下的顺序出马，孙膑共有6种应对策略，其中只有一种能赢齐王。也就是说田忌获胜的可能性只有六分之一。为什么田忌原本获胜的可能性很小，孙膑却胸有成竹呢？

生：因为齐王正在得意忘形之际，以为自己实力强必胜，还是按上中下的顺序出马。

师：这叫知己知彼。

（二）体会取胜条件之二——后发制人

师：有了“以弱制强”的策略，田忌就一定能赢吗？——请看田忌赛马故事续集（课件出示《田忌赛马续》视频）

第二次比赛结束，太监向齐王进言：“大王明天再与他赛一次，调换出马顺序，肯定能赢。”第三次比赛：齐王派出中等马，田忌派上等马迎战;齐王派出下等马，田忌派出中等马;齐王派出上等马，田忌派出下等马。田忌2∶1胜。第三次比赛齐王又输了。大臣们冥思苦想，恍然大悟：“大王明天再与他赛一次，一定让田忌先出马。”

师：田忌先出马，齐王一定能赢吗？（学生思考，然后交流）

小结：没错，要实现以弱胜强，必须后发制人。

（三）体会取胜条件之三——实力相近

师：问题又来了，有了知己知彼、后发制人，就一定能够以弱胜强吗？（生迷惑）

师：如果田忌和齐王马的战力不是A>a>B>b>C>c呢？（生恍然大悟）

师：要想战胜齐王，田忌的马至少是什么情况？

小結：要实现以弱胜强，前提必须是双方实力相近。所以，知己知彼、后发制人、以弱制强这些策略固然重要，提高自身实力无疑更重要。

一连串的问题恰如一套组合拳，不停地将学生“逼入绝地”，学生在步步深入地思索中抽丝剥茧，逐渐感悟了孙膑“最优策略”能够顺利实施并取得“以弱胜强”的结局需要满足的三个基本条件，在这个过程中，学生的思考愈来愈全面，愈来愈合理。

本课自始至终围绕“田忌赛马”故事展开，从引导审题，理解问题解决的条件;定向探究，寻求分析最优策略;到纵向延展，体悟博弈;再到横向拓展，理解条件。四部曲曲曲以“凸显数学价值”为主旋律，以“获得数学思想方法”为目标，以“数学探究及其体验”为基本教学方式，以“问题驱动思考”为手段，充分挖掘了经典的数学内涵，彰显了经典的理性魅力，学生在数学思维的淬火过程中触摸到了对策思想的核心，在火热的思考中切实体味到了运筹优化的味道。运筹优化思想的感悟如此，其他数学思想的感悟也应如此。

参考文献：

[1]曹培英.“数学广角”教学的系列研究（一）[J].小学数学教育，2017，（1-2）：4～9.

[2]曹培英.“数学广角”教学的系列研究（五）[J].小学数学教育，2017，（10）：3～6.

[3]曹志国.经历过程——数学教学的应然状态[J].小学教学研究，2017，（3）：92～93.

[4]刘小兵.让数学课充满“数学味”[J].江西教育，2016，（4）：57～58.