走出习惯藩篱 走向深度学习

摘   要：固有数学习惯与教学流程目前在一定程度上还充斥着课堂。以“小数乘小数”教学为例，教师要从精算到估算、算法到算理、单一到多元、点状到块状四个方面对固有习惯的教学流程进行深刻地反思，重构课堂教学，引领学生走向深度学习。

关键词：小学数学;教学流程;习惯;深度学习

中图分类号：G623.5  文献标识码：A  文章编号：1009-010X（2022）19/22-0076-05

一根小小的柱子，一截细细的链子，却能拴得住一头千斤重的大象！这看似不可思议的场景在印度和泰国却随处可见。究其原因，原来驯象人在大象还是幼象的时候，就用一条铁链将它拴在水泥柱或钢柱上，无论幼象怎么挣扎都无法挣脱。幼象渐渐地习惯了束缚，直到长成了大象，在它可以轻而易举地挣脱链子时，也不会再挣扎了。

从上面的小故事中，我们可以看出习惯的力量是巨大的，习惯成自然，但未必合理。这对于我们的课堂教学也具有积极的启示意义。失真的教材解读、失当的教学流程、失误的教学用语、失范的教态动作……一定程度上还充斥着我们的课堂，而我们往往对此却习以为常，并未发现其中的不当。大家常常在遵循着别人的习惯、或者按照自己已经习惯了的“习惯”进行着肤浅的程式化教学。佐藤学先生在《课程与教师》中指出，教师应由技术熟练者转化为反思性实践家。海涅有言：“反省是一面镜子，它能将我们的错误清清楚楚地照出来，使我们有改正的机会。”我们应对习惯保有警醒的自觉，走出习惯藩篱，重构课堂教学。

笔者以五年级“小数乘小数”教学为例，对固有习惯的教学流程进行了深刻地反思，以期走出不良习惯窠臼，引领学生走向深度学习。

一、精算到估算——先后顺序的考量

1983年，美国高质量教育委员会在《国家处于危险之中》这一报告中就认为，在中小学估算和心算比复杂的笔算更有价值。口算、笔算与估算是小学数学计算教学的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）则更关注估算的背景与学生生活实际的关系，更强调估算作为一种培养数感、增强数学活动经验的功能，注重估算的实践功能。

在平日教学中，教师的习惯一般是先让学生估算，再尝试竖式笔算，最后再用精算结果反向佐证估算方法的合理性与估算结果的正确性。这样的教学，使估算一定程度上成为教师外在要求之下的被动行为，学生缺少内在主动的估算意识，估算的价值未能充分彰显;先估算之后还要再精算，使估算似乎可有可无。教学中，可以反其道而行之，对精算和估算的先后顺序进行充分地考量，以有效彰显估算的价值意义。

教师出示例题（见下图）。

师：这是小明房间和外面阳台的平面图，从图中，你能知道哪些数学信息？又能提出哪些数学问题呢？

生：房间和阳台都是长方形的，房间的长是3.8米，阳台的长是1.15米，房间和阳台的宽都是3.2米。根据这些数据，我们可以计算小明房间和阳台的周长与面积。

师：小明房间的面积怎么计算？

生：用房间的长3.8米乘房间的宽3.2米，列式为3.8×3.2。

师：在前面我们已经学习了小数乘整数，而现在的乘法算式中，两个因数都是小数，根据以往乘法竖式计算的经验，你觉得3.8×3.2可以怎样列竖式计算呢，同学们可以自己动笔先试一试。（呈现学生生成答案）

师：这里有两种算法，其中至少有一个答案是错误的，你能一眼就把它找出来吗？

生1：可以把3.8看成4，4×3.2=12.8，面积比12.8平方米小。

生2：也可以把3.2看成3，3.8×3=11.4，面积比11.4平方米大。

生3：还可以把3.8和3.2分别看成4和3，4×3=12，面积在12平方米左右。

根据学生回答，相机出示：

生4：通过刚才的估算，我们可以确定3.8×3.2的积应该大于11.4而小于12.8，并且在12左右，由此判断，121.6是错误的。

内省是数学思维活动的核心和動力，是深度学习的必然。华中师范大学郭元祥教授用“U型学习”概括杜威的经验教学过程理论，其第三环节即“上浮”，也就是反思性思维过程。受小数加减竖式计算方法的负迁移，部分学生将乘积的小数点与积的小数点对齐，算出答案121.6。此时，教师因势利导，以学定教，让学生反思判断两种算法的正误。为了快速判断，估算成为学生内在生发的需要，不再是教师与教材的外在要求。

与常态习惯相反，教学中，在“放、缩估算”与“近似估算”中，采用数形结合，直观表征了估算方法的多样性，促进了学生良好数感的形成与估算能力的养成。通过三种不同的估算方法，逐步确定结果的取值范围，再反向验证精算结果的正确性，推理笔算方法的合理性。这样从精算到估算，基于对两种计算先后顺序考量的教学，更能凸显精算与估算的不同价值与指向及互相作用，生动呈现出不同计算的生态和谐。

二、算法到算理——数学本质的厘清

《课标》指出：运算能力有助于学生理解运算的算理。然而，运算算理的理解也有助于学生运算能力的培养。计算中，算法是表象，是外在的操作，属于程序性知识;而算理是内因，是算法的支撑，属于策略性知识。在小数乘小数的教学中，对算理的追寻一般是进行单位的换算或是利用积的变化规律。这两种方法形象直观地将小数乘法转化为整数乘法。但也还是停留在对数据变化这一较低层次，仅仅为小数乘小数转化为整数乘整数赋予了计算方法上的合理性，并未抵达数学的本质。

师：3.6×2.8 的积是不是12.16呢？ 小数点的位置是否正确？（学生交流）

生1：可以把3.8 米化成 38 分米，3.2 米化成 32 分米，38 分米和32 分米相乘得 1216 平方分米，就是 12.16 平方米。

生2：也可以把 3.8和3.2这两个因数分别乘 10，用38 乘 32得1216;由于两个因数分别乘了10，所得的积就等于原来的积乘了100;为了让积不变，就要用1216再除以 100，得到12.16。

根据学生回答，相机呈现：

师：还有没有不同的想法？3.8和3.2这两个小数的计数单位分别是什么？能否从小数的计数单位和乘法的意义去想一想，其中又有怎样的道理呢？

生3： 3.8是38个0.1，3.2是32个0.1， 3.8×3.2 其实就是 38 个 0.1 乘 32 个 0.1。0.1×0.1 表示十分之一的十分之一，也就是百分之一，写成小数是0.01（数形结合，动态演示，见后图）;那么 38 个 0.1 乘 32 个 0.1就是 1216个 0.01 ，就是 12.16。

相机出示：

算理为运算之“道”，是算法的理论支撑;算法为运算之“术”，是算理的行为体现。运算的本质是计数。小数乘法计算运算依靠单位的转换具有局限性;积的变化规律也仅从“术”的层面给出了操作方法;只有从小数计数单位和乘法意义的视角出发，才会使学生明晰，小数乘小数就是将计数单位再统一，计算的是统一之后的计数单位的个数，从而深刻揭示了小数乘小数的算理。

抓住内容的本质属性，凸显对数学本质的感悟、理解和掌握，是深度学习的重要标志。找寻算理，以理驭法，才能促进学生对算法的有效运用，助推学生运算能力的提升。上述三种思考方法从具象向抽象逐渐深入，学生的思维水平也在不断提升。三种思考方法都蕴含了转化的数学思想，也就是将小数乘法转化为整数乘法，将新知转化为旧知。

三、单一到多元——评价导向的修正

小学生学习的大多是一种间接的知识，教学如果片面指向“是什么”，而忽略“为什么”，那么知识也永远不会生长为智慧。“小数乘小数”的计算方法被抽象成计算法则，其中最为紧要的是“小数的末尾对齐”，也就是强调了“是什么”。但怀特海先生告诫我们“所有教育的核心问题是不能让知识僵化，而要让它生动活泼起来”。

“小数乘小数”时，一定是“小数的末尾对齐”吗？如果是“小数点对齐”呢？我们究竟是应从“对错”的角度进行二元评价，还是从是否合理简便的角度进行优化评价？反思惯性的传统教学，当学生将“小数点对齐”时，即被教师认定为是错误的、低级的、不可饶恕的，其实，在计算小数乘法时，如果将小数点对齐，只要将每一部分积与对应的数位对齐，也能算出正确的结果，也就是说，小数乘小数中的“小数点对齐法”是可行的。

师：小明家阳台的面积又该怎么计算呢？

生：用1.15×3.2。

师：刚才我们研究了3.8×3.2，是两个一位小数相乘。1.15×3.2是两位小数乘一位小数，你能用刚才的方法试一试吗？

呈现学生作品：

师：这里有两种不同的计算方法（见上图）。第一种是把两个乘数的末位对齐，第二种是把两个乘数的小数点对齐，也就是把相同数位对齐，这两种方法都正确吗？（学生讨论）

师：谁能解释一下“末尾对齐法”？

生：把1.15×3.2看作 115 个 0.01 乘 32 个 0.1。0.01×0.1 表示百分之一的十分之一，是千分之一，也就是0.001。那么 115 个0.01 乘 32 个 0.1 就是 3680个 0.001，即3.680，根据小数的性质，去掉小数末位的0，答案是3.68（见下图左）。

生：也可以把1.15乘100，3.2乘10，计算115乘32，算出积3680;由于两个乘数分别乘了100、10，所得的积就等于原来的积乘 1000;为了让积不变，就要用3680再除以 1000，得到3.68（见下图右）。

相机出示：

师：“小数点对齐法”，也就是相同数位对齐的方法是否正确呢？（学生讨论）

生：正确的。 115个0.01先与2个0.1相乘，得230个0.001，也就是0.230; 115个0.01乘3个1，得到345个0.01，也就是3.45，最后再把0.230和3.45加起来，答案是3.680，就是3.68。

师：115个0.01先与2个0.1相乘，得230个0.001，2、3、0分别写在什么数位上呢？115个0.01乘3个1，得到345个0.01，3、4、5又分别写在什么数位上呢？

生：第一部分积的2、3、0分別写在十分位、百分位和千分位上;第二部分积的3、4、5分别写在个位、十分位和百分位上。

相机出示：

师：两个小数相乘时，“末尾对齐法”与“小数点对齐法”都对吗？比较一下，哪一种写法更加地简洁方便？

生：“末尾对齐法”与“小数点对齐法”两种算法都是正确的。在小数点对齐时，每一部分积写的位置比较复杂，容易出错;把两个乘数末尾对齐，在计算时更加的简洁方便，不易出错。

例题教学时的3.8×3.2，由于两个因数都是一位小数，并没有分辨出在列竖式时究竟是两个因数的末尾对齐还是小数点（也就是相同数位）对齐。“试一试”在计算小明家阳台面积1.15×3.2时，由于两个因数小数的位数不同，课堂生成出因数的“末尾对齐”和“小数点对齐”两种竖式写法。课堂上教师对学生生成的“小数点对齐”并不回避，更没有按照以往习惯给予否定，反而以此为契机，引发学生激烈讨论与深度思考。如两个小数相乘，就会得到一个新的、统一的计数单位;把两个小数看成整数相乘的积就是新的、统一的计数单位的个数。1.15的计数单位是0.01，3.2的计数单位是0.1，两个数相乘得到的新的、统一的计数单位是0.001，有3680个0.001，也就是3.68。

然而我们的教学并不止步于此。要在实践中发现自由和训练之间的那种确切的平衡，这种平衡能使求知获得最大的收获。深度学习就是要引领学生模拟地、简约地经历知识的发现、形成、发展过程，将静态的知识激活，感悟知识本身蕴含的丰富复杂的内涵与意义。在引导学生对两种算法的比较中，感悟到“小数点对齐法”虽可行，但复杂且容易出错;而“末尾对齐法”在计算时更加的简洁方便，是算法优化的必然选择。经历上述教学过程，小数乘法的算法从单一化走向多样化，再从多样化走向优化，使学生深刻地掌握了小数乘法的运算规则，更深刻地理解了小数乘法的算理，感悟到数学规则的温情，提升了思维品质。

四、点状到块状——规则体系的构建

小数乘小数的计算需要转化为整数乘法计算，惯性的课堂教学都是将整数乘法和小数乘法作为一种递进关系处理，也就是将整数乘法作为小数乘法的依据。在操作层面上，两者之间是递进关系;回溯到算理本质的角度，需要沟通两者之间的深层次关系，从而构建新的、更高位的数学规则。

出示：

师：在整数乘法中，每一部分积也是计数单位统一的结果，你能说一说吗？

生：115个一乘2个一，得230个一，2、3、0分别写在百位、十位和个位上;115个一乘3个十，得345个十，就是3450，3、4、5分别写在千位、百位和十位上。

师：小数乘法与整数乘法有什么相同之处吗？

生：不论是整数乘法还是小数乘法，在相乘时，每一部分积其实都是一个新的、统一的计数单位，我们要正确计算出新的、统一的计数单位的个数。

以往教学的习惯，在处理小数乘法和整数乘法计算时，一般是概括为递进关系，也就是在整数乘法的计算法则的基础上，推导出小数乘法计算法则。其实，我们还应看到两者之间并列关系的存在，也就是要构建出整数乘法与小数乘法之间的算法联系，进行表征系统间的互相联结，提炼出整数乘法与小数乘法之间共同的精神内核，使整数、小数乘法算理结成网、连成片。将新知识点、数学思想和方法纳入原有知识系统，采用意义联系的方式进行整合，也是深度学习的重要特征。从知识点到知识网，实现了算理的统一互通和学生高水平上的认知再平衡，从比较简单的结构生长出更为复杂的结构，构建更为完整、清晰和稳固计算规则系统。

基于习惯的反思，是有价值的;基于反思的完善，是有意义的;基于完善的发展，是不会停止的。让我们对已经习惯了的教学思想和行为秉持更加审慎地思索，以走出习惯教学的藩篱，引领学生走向高品质的深度学习。

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