一道高考题的理论计算与数值模拟

王刚

(邯郸市教育科学研究所 河北 邯郸 056002)

1 理论分析

【题目】如图1所示，4个电荷量均为q(q>0)的点电荷分别放置于菱形的4个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(-4l，0)、(0，y0)和(0，-y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)．下列说法正确的是( )

图1 题图

A.除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零

B.当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点

C.当y0=8l时，将一带负电的试探电荷由(4l，5l)移至点(0，-3l)，静电力做正功

D.当y0=4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上

答案:A，C，D.

解析:根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A正确.

因为在x轴上的两个点电荷在O点的合场强为零，在y轴上的两点电荷，无论y0取什么值，因为关于原点对称，则在O点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外若出现合场强为零的点，根据对称性可知，一定是关于原点对称成对出现的，加上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2个，选项B错误.

如图2所示，A点(4l，5l)相对于坐标(4l，0)和(0，8l)的位置与B点(0，-3l)相对于坐标(-4l，0)和(0，-8l)的位置相同；A点相对点(-4l，0)的距离较B点相对于点(4l，0)的距离远，并且A点相对点(0，-8l)的距离较B点相对于点(0，8l)的距离远，由电势叠加原理可知，B点电势高于A点电势，且带负电的试探电荷在电势低处电势能较大，故试探电荷由A点移动至B点，电势能减小，静电力做正功，选项C正确.

图2 针对选项C的图示

若y0=4l，则4个点构成正方形，由对称性可知在坐标为(l，l)的L点处的场强一定沿着过该点与原点连线的方向上.

如图3所示，在y轴正向和x轴正向上的点电荷在(l，l)处的合场强方向沿L点指向O点，大小为

图3 针对选项D的图示

在y轴负向和x轴负向上的点电荷在(l，l)处的合场强方向沿O点指向L点，大小为

综上可知(l，l)点的场强方向沿L点指向O点，即与x负半轴成45°斜向下，将一带负电的试探电荷放置在(l，l)处，其所受静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上，选项D正确．

故正确选项为A，C，D．

2 关于选项C的进一步理论分析

方法一：如图4所示B′(0，3l)为B(0，-3l)关于x轴的对称点，由对称性可知两点处电势相等．计算可得MB′与AN平行且等长均为5l，B′N与AN亦等长，故四边形ANB′M为菱形，N和M两处的点电荷在B′点与A点的电势相同；根据距离关系可判断得出P和Q两点的点电荷在A点电势低于两者在B′点的电势，故A点电势低于B′点电势，即A点电势低于B点电势．将带负电的试探电荷从A点移动到B点，其电势能减小，静电力做正功．

图4 方法一图示

方法二：根据电势叠加原理计算A，B两点电势．首先通过几何关系分别计算出4个点电荷到A和B两点的距离，然后代入点电荷电势公式

可以得出两点电势高低关系

φA<φB

其中

(到4个点电荷的距离计算顺序为NMPQ)

进而判断电势能变化和静电力做功情况．

3 数值模拟

使用数学类科技应用软件进行数值模拟可以使上述问题直观形象化，有助于对4个点电荷激发的电场分布情况的认识和理解．下面我们采用Matlab(矩阵实验室)对题目中选项C所涉的电场情境进行具象模拟．

Matlab模拟的具体程序如下：

≫[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10,-10:0.1:10);

%创建二维网格，范围是(-4，4)，每隔0.1取一个点．

%计算电势的负值z，因为电场是电势负值的梯度．加0.01是为了避免分母0发散．

[dx,dy]=gradient(z);

%求网格每一个点的梯度．

contour(x,y,z,[0,-2,-4,-6,-8]);

%画等势线，最后一个参数是等势线的电势值(负的)，可以根据需要列出来．

Hold on

quiver(x,y,dx,dy);

%在每一个点作电场矢量．

%(xx,yy)是场线起始点坐标，选在正电荷周围半径0.01的一圈．如果想画负电荷周围场线的话，起始点要选在绘图区域的边界．

streamline(x,y,dx,dy,xx,yy);

%绘制场线．

模拟结果如图5所示，可以看到4个正电荷的等差等势面就像4个山峰一样，点电荷均带正电则越靠近点电荷的等势线的电势越高，很容易判断出A，B两点的电势高低．

图5 数值模拟结果

4 结束语

一般地，除了孤立点电荷、等量同种点电荷、等量异种点电荷、不等量同种点电荷、不等量异种点电荷等常见的情况之外，有限电荷系统的电场和电势分布特点并非可以直接识别．本题目中的电场和电势高低的比较，可以使用场强叠加和电势叠加原理来分析，也可以通过选取中间点的方法进行比较．很明显，上述均为理论分析，形象性欠缺，并且不能整体把握电场和电势的空间分布情况．因此我们运用Matlab进行数值模拟并绘制出电场线和等势线，方便学生们直观地认识电场，对于教师的教学也是有益的补充．