基于高观点的等距双棒模型研究*

唐武建 高忠贵 张妙静

(广西师范大学物理科学与技术学院 广西 桂林 541004)

电磁感应中的导轨/双棒复合结构(简称：双棒模型)是一类典型的电学与动力学相结合的综合性问题[1,2]． 在此类问题中，双棒在磁场中切割磁感线的同时受到安培力的作用，致使对受力情况、运动规律、电路特征等的分析变得极为复杂．而深度掌握每一个状态的细节及相邻状态的关联性，是解决此类问题的有效途径[3]．本文分别以具有恒力作用和初速度两类常见的双棒模型为研究对象，通过构建、求解双棒的运动微分方程，结合图表，可视化探索其运动和电学特性，以期获得双棒模型的一般规律，为解决复杂问题提供参考．

1 恒力作用下的无初速等距双棒模型

如图1所示，质量为m1的导体棒1和质量为m2的导体棒2静止在足够长的光滑平行导轨上，导轨宽度为L，固定在绝缘水平面上，整个区域分布着垂直于导轨平面向上且磁感应强度为B的匀强磁场，整个回路的电阻始终为R，两棒始终与导轨保持垂直且良好接触．现有与导轨平行且向右的恒力F1和F2分别作用于棒1和棒2上．试分析模型的运动特征及电学特性变化趋势．

图1 恒力作用下的无初速等距双棒模型

1.1 建模求解

因此，系统稳定前，双棒所受的安培力方向只与初始加速度大小关系有关，与位置无关．设初始加速度大的导体棒为主动棒，主动棒受恒力F主作用，受到的安培力与F主方向相反，质量为m主，速度为v主；初始加速度小的导体棒为从动棒，从动棒受恒力F从作用，受到的安培力与F从方向相同，质量为m从，速度为v从．则回路中感应电动势和感应电流为

E=BL(v主-v从)

(1)

(2)

双棒受到的安培力大小为

(3)

双棒运动微分方程为

(4)

(5)

由动量定理得

F主t+F从t=m主v主+m从v从

(6)

联立式(4)、(5)、(6)得

(7)

(8)

由

得

(9)

(10)

1.2 结果与讨论

下面图2和图3分别给出了双棒速度、加速度的变化曲线．由图可知，随时间增加，双棒的速度趋于线性变化，但存在一个差值

图2 双棒速度随时间变化曲线

图3 双棒加速度随时间变化曲线

这导致回路面积的变化率恒定，从而在闭合回路中产生一个恒定的感应电动势，但单棒内的感应电动势却越来越大．双棒加速度则随时间增加而趋于一致，即

收尾加速度大小只与双棒质量和所受到的作用力有关，磁感应强度、导轨间距、回路电阻对双棒达到收尾加速度所需的时间有影响，时间常数

表1 以时间常数倍数计的各时刻值

回路中感应电动势和感应电流的表达式见下面式(11)和(12)，图4和图5分别给出了它们随时间的变化曲线，由图可知，感应电动势和感应电流都随时间的增加趋于一个定值，这与速度-时间图像所体现的回路面积变化率趋于恒定这一物理现象相吻合．

图4 感应电动势随时间变化曲线

图5 感应电流随时间变化曲线

(11)

(12)

2 只有初速度的等距双棒模型

如图6所示，如果在“恒力作用下的无初速等距双棒模型”中，撤除双棒所受的恒力，并假定棒1和棒2分别以平行于导轨水平向右的初速度v01和v02运动，其余条件保持不变．试分析模型的运动特征及电学特性变化趋势．

图6 只有初速度的等距双棒模型

2.1 建模求解

与“恒力作用下的无初速等距双棒模型”的分析类似，设初速度大的导体棒为主动棒，质量为m主，初速度为v0主，速度为v主，受到的安培力与运动方向相反；初速度小的导体棒为从动棒，质量为m从，初速度为v0从，速度为v从，受到的安培力与运动方向相同．则有

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 结果与讨论

下面图7和图8给出了双棒速度和加速度的变化曲线，由图可知，双棒的速度随时间增加而趋于一个定值，即

图7 双棒速度随时间变化曲线

图8 双棒加速度随时间变化曲线

收尾速度的大小只与双棒质量和初速度有关．磁感应强度、导轨间距、回路电阻影响双棒达到收尾速度所需的时间，时间常数为τ，与上同．暂态过程，系统机械能的损失量为一定值

与电阻无关．双棒加速度则随时间的增加而趋于零．

图9和图10给出了回路中感应电动势和感应电流的变化曲线，由图可知，它们都随时间增加而趋于零，流过回路的总电量

图9 感应电动势随时间变化曲线

图10 感应电流随时间变化曲线

与电阻无关．电阻产生的焦耳热

可推算当ξ→∞时，Q=ΔEk，也即系统损失的机械能转化成了电阻的热能，但大小不受电阻影响．

3 模型特性

表2 两类模型的运动特征及电学特性

可见，不论是否有外力作用，都可将安培力看作系统的内力，而将双棒看作“广义”上的整体，再应用牛顿运动定律和动量定理分别求得加速度和速度的稳态解．在“只有初速度的等距双棒模型”中，限流及耗能元件R对暂态过程流过回路的总电量以及系统损失的机械能不产生影响，这有悖于中学生对电阻的认知，值得深思．

4 结束语

本文从高观点的角度分别对电磁感应中“只具有恒力作用”和“只有初速度”两类双棒模型进行了较为详细的探索．结果表明：对于前者，双棒加速度中一个逐渐增加而另一个逐渐减小，最后趋于相同的收尾加速度a；对于后者，双棒速度则趋于相同的收尾速度v；磁感应强度、导轨间距、电阻与双棒质量构成时间常数τ，该常数决定了模型从暂态到稳态过渡的时长．在“只有初速度”的模型中，与限流和能耗相关的参数R对暂态过程系统损失的机械能及回路中通过的总电量不产生影响，基于这一点，可将问题拓展至不忽略导轨电阻的更贴近实际的模型．双棒模型涉及面广，求解时容易错漏，加强对基本原理的应用和数学建模能力[3～5]， 是正确求解此类问题的关键．