基于中轴表达的三维模型轮廓提取方法

曹 力，吴 垚，徐宜科

基于中轴表达的三维模型轮廓提取方法

曹 力1,2，吴 垚1，徐宜科1

(1. 合肥工业大学计算机与信息学院(人工智能学院)，安徽 合肥 230601；2. 安全关键工业测控技术教育部工程研究中心，安徽 合肥 230601)

三维网格模型的轮廓信息在网格检索、网格简化、网格重建中有着广泛应用。现有的轮廓提取方法较为复杂，需要分析和过滤网格模型的几何特征，计算量大且有时无法生成完整的轮廓信息。近年来，三维模型的中轴表达研究趋于成熟，在表达模型几何拓扑关系上有独特的优势。因此，提出了一种基于中轴表达的三维模型轮廓提取方法：首先提取三维模型的中轴表达信息，将中轴角点投影到三维模型表面；然后根据每个区域的拓扑关系选择适合的角点连接关系，将投影点连接形成模型区域轮廓；再针对投影过程中产生的误差进行分析和纠正；最后合并区域轮廓得到三维模型的完整轮廓。通过对多个模型数据库中代表性的三维网格模型进行实验和重建误差比较，该方法的平均重建质量较现有方法约有10%的提升，在重建质量和轮廓信息完整度方面优于现有方法。

网格模型处理；轮廓线提取；中轴表达；特征提取；几何分割

随着三维图形技术的愈发成熟，三维模型在辅助设计、电子游戏、影视特效制作等领域中被广泛应用。三维模型的轮廓信息是模型几何形状简洁且有效地表达，可以在模型检索[1]、模型简化[2]、网格重建[3]等操作中提供关于模型几何特征的有效信息。但轮廓信息在提取时存在计算复杂、冗余信息难以过滤、易受模型细小特征干扰等难题。因此，如何从三维模型中获得高质量的轮廓信息显得尤为重要。

针对不同的应用需求，三维模型轮廓在模型编辑和检索方面有着广泛应用，产生了许多轮廓提取方法，如通过样条曲线逼近三维曲线法[4]、点云插值法[5]、通过特征曲线的过滤得到完整轮廓法[6]等。2015年，CAO等[7]提出了一种检测模型表面特征线并实现封闭回路的混合框架，可以组合特征线过滤、扩展，分块细分和边界平滑，通过凹面特征方法计算模型轮廓。2019年，LU等[8]在文献[7]的基础上利用三维模型提取完整特征曲线网络并生成高质量的分片布局，可从复杂的三维模型输入中提取出完整的特征曲线网络，并获得高质量的模型轮廓。ZHUANG等[9]通过一种相关聚类的方法获得特征曲线。Torrente等[10]将霍夫变换扩展到三维形状领域，用代数方法识别三维网格上的小特征。LAI等[11]引入特征敏感度量识别特征，并使用数学形态学的思想对特征进一步分类。BENJAMIN等[12]引入了热扩散以提供更好地分割结果。除此之外，一些研究中还引入了二面角[13]、法向投票张量[14]、最小二乘逼近[15]，SULTANA等[16]探索了二维空间中中轴与轮廓之间的关系，但局限于一种类型的模型。这些方法避免了估计曲率张量或曲率导数时巨大的计算量，但大多数是基于模型表面网格曲面分析。

本文提出一种基于中轴表达的三维模型轮廓提取方法。中轴表达是一种形状的描述方式，一般指的是二维或三维模型的最大内切圆(球)的圆心(球心)的集合[17]。中轴表达在许多工程领域上有着重要的用途，如有限元分析[18]、形状分析[19]、实体建模[20]等。

基于三维模型中轴表达信息，本文总结了一系列基本几何体中轴端点的连接关系，将输入模型的不同区域匹配适合的中轴角点连接关系，进而生成区域模型轮廓。再按照拓扑关系将区域轮廓合并形成完整的模型轮廓信息。在评估轮廓线质量时，通过重建模型计算Hausdorff距离来评判模型轮廓信息的质量。根据对各类模型的实验和重建误差比较，结果表明本文方法提取的模型轮廓线更准确、重建效果更好。

1 相关工作

1.1 三维中轴表达

如图1所示，三维中轴表达比二维中轴表达结构更加复杂，保留的拓扑信息更多。

图1 2种中轴表达((a)二维中轴表达；(b)三维中轴表达)

1.2 模型轮廓提取方法

依据从点云或三角网格中提取模型轮廓线的方法，如文献[9]和最小二乘逼近[15]方法，大部分是通过计算点或边的法向信息，采用聚类或拟合网格点的方法。预先设定一个阈值，将法向在阈值内的点聚为一类，最终将整个点云或三角网格分成不相交的几类，类与类之间的连接处形成边界。拟合边界曲线并按照几何拓扑信息连接以实现轮廓线的提取。

由于聚类算法依赖于阈值的设定，在计算模型轮廓时经常出现因为阈值设计不合理导致生成轮廓变形的问题。如图2所示，在聚类时容易形成锯齿边缘，导致出现特征线1和2的错误特征线，最终生成错误轮廓。

图2 种子点出错得到错误轮廓

1.3 中轴表达与轮廓提取

MAT作为一种成熟的几何处理技术，能够从复杂的点云或三角网格数据中生成保留拓扑信息的点。其最大优势是生成简洁的MAT信息，提供的几何拓扑关系可以为图像处理提供在几何形状上的帮助。

在二维图形中，利用MAT端点的法向变化性质，可以将边界点筛选出来后与MAT端点连接形成图形轮廓。在建筑和医疗影像方面有广泛地应用[21]。

在三维模型中，提取MAT的方法趋于成熟，可以高效准确地提取出中轴[17]。但是由于三维模型中端点连接关系的不确定性，缺乏从MAT到模型轮廓直观的映射关系，如图3所示，很难直接从中轴信息中生成正确的模型轮廓。

图3 中轴表达生成错误的轮廓((a)中轴表达；(b)错误轮廓1；(c)错误轮廓2)

2 算法流程

2.1 算法流程

本文算法的输入是三维网格模型，经过中轴提取、区域分割、轮廓分析等处理步骤后，输出三维模型的轮廓信息。图4为轮廓信息的生成流程。

首先通过中轴提取，得到输入模型的MAT和区域划分。对于每个区域，通过MAT的中间网格和对应的端点提取方法得到区域的MAT端点并映射到原模型三角网格点。

然后根据本文所定义的基本几何体中轴端点连接关系，对每个区域使用最接近的基本几何体连接关系来连接端点，形成局部区域轮廓。

图4 本文算法具体流程

将得到的区域轮廓按照原模型的几何拓扑关系连接。连接时根据本文所定义的区域轮廓合并规则进行合并，得到完整的模型轮廓信息。

模型完整轮廓表达的生成步骤如下：

步骤1.对输入模型中轴转换并划分区域；

步骤2.提取每个区域的中轴角点并映射到原模型三角网格，生成模型轮廓端点；

步骤3.根据区域拓扑关系匹配不同的连接关系，连接步骤2得到的轮廓端点，生成区域轮廓；

步骤4.合并步骤3得到的区域轮廓；

步骤5.检查区域轮廓之间的完整性，扩展得到封闭轮廓线；

步骤6.输出模型完整轮廓。

2.2 模型中轴转换

如图5所示，通过三维中轴变换可以将Bird模型转换为中轴表达模型。

2.3 模型区域划分

基于SEG-MAT方法[19]，识别三维模型不同部分之间的连接，将模型划分为具有几何意义的区域。

图5 Bird模型转换为中轴表达

获取三维模型和结构化的MAT图，计算输入三维模型的MAT，将其作为基本图，并进行简化，将结构扁平部分的MAT图简化为片，将其余部分简化为线，得到结构化MAT图用来提供三维模型的结构化信息。

本文使用的区域分割方法为，首先利用结构化MAT图的连接关系，计算中轴网格的球体半径变化，以检测模型的急剧弯曲和厚度变化。将发生急剧弯曲和厚度变化的部分分割成不同的区域。通过检测中轴的方向变化来确定区域的连接边界，相邻的区域中轴方向的角度较小。

在得到每个部分的连接关系后，执行区域生长，在计算时，每次选择半径最大的区域作为生长种子点。从粗略分割中获得精细分割。

如图6所示，将分割结果映射到三维模型表面，得到最终的分割结果。

图6 Bird模型区域划分

2.4 提取区域轮廓端点

模型划分后，需要提取每个区域的轮廓，三维模型轮廓由端点和端点间的连接关系组成。首先要确定区域轮廓的端点。

由中轴表达的定义可知，通过内接球的方式生成的中轴网格中，最接近模型表面的点保留了模型的边界信息，可将这一部分点称为角点。因此提取模型轮廓端点则分为2步：①提取区域中轴表达的中轴角点；②将角点映射到模型表面得到轮廓端点。

由于角点均位于最接近模型表面的区域，因此角点的半径在所有中轴点中最小。在遍历模型中轴网格时，根据此性质，将半径最小的中轴点提取作为角点集合。以Vase模型为例，将半径为0.35的中轴点作为模型角点。

因为中轴点位于模型内部，直接作为模型轮廓端点会存在误差。因此在得到中轴角点后，需要将角点映射到原模型距离最近的三角网格点，作为轮廓端点。

轮廓端点可作为模型轮廓的起点与终点，在得到轮廓端点后进入确定轮廓端点之间的连接关系，并得到区域轮廓。

2.5 生成区域轮廓

本文以锥体、圆柱、圆环3种基本几何体连接方法为例。通过对基本几何体连接方法的总结与拓展，得到3种轮廓端点间连接关系。每种连接方法分为2步：①连接轮廓端点形成轮廓面；②从轮廓端点中筛选出母线端点，与其余轮廓面连接生成区域轮廓。

2.5.1 锥体端点连接关系

将锥体分为圆锥和多棱锥进行分别处理。两者的区别在于底部端点中母线点的选取区别。

圆锥体可以看作圆柱体的一个变形，其中一个顶面半径为0。而圆锥体轮廓由底部圆和侧面母线组成，其中母线为顶点与底部圆边界上端点的连接线。

在提取端点后，可以得到圆锥体的端点集合，由于锥体的几何性质可知：顶点到其余端点的距离相等。将距离方差计算出的最小端点作为圆锥的顶点。

得到顶点后，其余的端点通过计算端点间的欧式距离，即将每个端点与距离最近的其他2个端点进行连接，得到圆锥体底部圆轮廓。

在得到顶点和底部圆边界点后，连接顶点和底部圆边界点得到锥体的母线。按照顶点到底部圆边界点的关系确定母线的2个端点，连接母线，从一个端点出发，在原模型三角网格中按照图深度优先的方法连接到另一个端点形成母线。母线与底部圆边界点连接后，形成完整的锥体轮廓。如图7所示，红色点为母线点，蓝色点为顶点。

经过测试，从底部圆端点中提取出8个母线点与顶点进行连接时，重建效果较好且重建误差趋于收敛。

如图8所示，在底部圆选取8个母线点时误差已经接近收敛。因此对于圆锥体，选取8个母线点是较优选择。

图7 圆锥体和四棱锥轮廓((a)圆锥体轮廓；(b)四棱锥轮廓)

图8 圆锥体轮廓母线点数量与重建质量关系

多棱锥与圆锥体不同在于顶部母线点的选取，多棱锥的底部为凸多边形，因此多棱锥的母线点为底部凸多边形的顶点。通过向量夹角公式计算底部轮廓中每个端点和与其相连的点向量夹角，将与自身最近的2个端点不在同一直线上的端点作为底部轮廓母线点。

将顶点与顶部母线点连接形成多棱锥轮廓，以图7四棱锥为例，将顶点与底部四边形4个顶点在原模型三角网格上按照图深度遍历方法连接生成四棱锥轮廓。

2.5.2 圆柱连接关系

圆柱的顶点连接关系需要确定顶部和底部轮廓，因与锥体连接关系不同，圆柱立方体顶部端点到底部端点也需要确定连接关系。

圆柱的顶面和底面的轮廓生成与圆锥底面生成类似，首先通过方差公式将中轴端点分成2个点集和，每个点集内通过距离公式进行连接形成顶面和底面轮廓。之后从顶面轮廓中选取母线点，如图9所示圆柱体在选取8个母线点时重建效果较好，且误差趋于收敛。

每个母线点与另一个点集中距离最近的点一一对应，作为母线的起点与终点。使用图深度遍历在三角网格上将起点与终点连接生成圆柱体的母线，圆柱体轮廓如图10所示。

图9 圆柱体轮廓母线数量与重建结果之间的关系

图10 圆柱体和圆环轮廓((a)圆柱体轮廓；(b)圆环轮廓)

2.5.3 圆环连接关系

圆环的顶点连接关系确定与圆柱类似，需要确定每个部分的顶部和底部轮廓。与圆柱不同的是，圆环的中轴表达为一条穿过圆环中轴的圆形曲线，其中轴点的半径大小基本一致，因此无法通过方差公式来确定每一块的顶部和底部轮廓。

在圆环的顶点连接关系中，需要将完整圆环与残缺圆环分开讨论。首先随机选择一个中轴点，以点为起点计算圆环中轴表达的周长，计算出间距相同的5个点。并将圆环分成5个部分，再将每个点映射到模型表面形成母线点，将其进行连接得到完整轮廓。如图11所示，圆环在选取8个母线点时重建效果较好，且误差趋于收敛。

图11 圆环轮廓母线数量与重建结果之间的关系

5个部分中每2个部分中的母线点按照最近距离对应，作为母线的起点与终点。使用图深度遍历在三角网格上将起点与终点连接生成圆环的母线，圆环轮廓如图10所示。其他的一些基本几何体的面和母线点见表1。

表1 一些基本几何体的面与母线点

2.6 区域合并

在得到各个区域的区域轮廓后，根据区域划分时三角网格点的聚类信息，按照相邻区域进行合并。合并策略为：将待合并的2个区域设为和；分别选取和的母线端点，与另一个区域(或)的轮廓上最近的点相连。连接按照图深度遍历的方法，2个区域中2个点之间只产生一次连接关系。

在合并时，可能会出现因几何性质导致端点未连接的问题，本文采用端点生长的方法。在区域合并轮廓时，计算端点与其周围端点的距离，当该端点与周围较远端点有连接关系但与较近端点没有连接关系时，将该端点与较近端点进行连接，将轮廓线进行延伸。如图12所示，将轮廓线进行延伸得到完整的区域轮廓。

图12 区域轮廓合并过程

当2个区域的几何性质较为接近时，则合并2个区域的端点。首先计算2个区域合并处的端点，并将其进行合并。之后对齐2个区域的轮廓线，消除过于接近的轮廓端点产生的突起以减少其对轮廓的影响。

2个区域全部顶点连接完成后即得到2个区域合并后的轮廓。将该轮廓与原始2个区域的三角网格计算Hausdorff距离，选取Hausdorff距离较小的连接关系作为2个区域轮廓合并的结果。最后将所有区域合并以得到模型完整轮廓。

3 实验结果及分析

3.1 对比实验

为了评估轮廓信息的有效性，本文与现有VSA[22]，DFN[7]和FCNE[8]3种方法进行了比较，其中VSA方法是一种基于法线域度量标准的形状近似算法；DFN方法通过分析曲面片的谷线、脊线等特征线来形成光滑曲面边界和生成模型轮廓；FCNE方法使用二次曲面拟合技术过滤噪声特征曲线，通过特征扩展来形成闭合的曲线。通过上述3种方法和本文方法在选取的各类不同模型中提取模型轮廓信息，并重建模型，对比重建的结果(Hausdorff距离)以评价轮廓信息的优劣。Hausdorff距离描述了重建后的模型与原始模型的最大误差，误差越小代表重建效果越好。

重建使用的是基于曲率的曲面建模算法，根据2条轮廓线之间的曲率变化，对曲率进行平滑插值得到平滑曲面[23]。

使用本文方法重建出图13所示的模型分块，并得到模型重建结果。

图13 模型实验效果

表2中本文方法在处理由基本几何体组成的模型时，相比于VSA方法效果约有13%的提升，在处理Bird模型时可以减少19%的重建误差；相比于DFN方法有7%到17%的提升，在处理由多个圆环、圆柱和圆锥组成的模型时，效果提升明显；相比于FCNE方法平均有10%的提升。

由表3和表4可见，本文方法得到的轮廓线进行重建后的模型面数和RMS值较VSA，FCNE和DFN方法更少，为后续模型处理过程中提供了便利。表5由于使用了中轴信息来减少计算复杂度，在处理大部分模型时耗时较FCNE方法和DFN方法更少。

表2 不同方法的重建结果的Hausdorff距离

表3 模型轮廓重建分块数

表4 不同方法的重建结果RMS值

表5 不同方法的运行耗时(ms)

表2～5中缺失的数据是由于FCNE和DFN方法在处理Teapot和Telescope模型时生成的轮廓线互相独立且不闭合导致模型重建有误，因此无法与原模型进行比较并得到相关数据。

由图13可以看出，由于本文方法通过中轴表达来获取模型的拓扑关系，避免计算复杂的三角网格顶点法向信息。针对聚类算法处理不佳的把手、圆锥圆柱等区域提取效果较好，重建质量较佳。从图14轮廓对比和图15重建结果对比可以看出，本文方法提取的轮廓信息整体质量优于其他3种方法。

图14 轮廓对比

图15 重建结果对比

3.2 本文方法的局限性

虽然本文方法使用中轴表达信息提供模型几何拓扑关系进行轮廓提取避免了对三角网格的复杂计算，但依然存在以下2点局限性：

(1) 由于中轴表达对于噪声较为敏感，在处理带噪声的模型时容易出现中轴表达的端点无法有效地保留该模型的几何拓扑信息。如图16所示，当原模型加上中等强度的高斯噪声(0.3，是三角网格的平均边长)后，中轴表达无法很好地保留原始模型的几何拓扑关系。

图16 带噪声模型的中轴表达

(2) 当模型的组成过于复杂，不能抽象为基本几何体时，中轴表达的端点与轮廓端点之间的拓扑关系会非常复杂，无法抽象出统一的对应连接关系。这时提取出的轮廓端点无法保留原模型的几何拓扑关系，也就失去了轮廓信息的意义。

在后续的工作中，将进一步扩大在已有连接关系基础上的应用，在保持轮廓信息有效的同时，简化连接关系的表达。将中轴表达应用到更广泛的模型中。

4 结束语

模型的中轴表达能够从复杂的点云或三角网格数据中筛选出保留模型几何拓扑信息的点集，再根据对模型进行区域划分，将模型的各个区域抽象为基本几何体。按照本文设定的基本几何体端点连接关系以模型轮廓的端点生成得到模型完整轮廓信息。由于在处理模型时通过中轴进行筛选，使得最终要计算的数据量大大下降，提升了提取模型轮廓信息的效率，避免因为迭代算法容易陷入局部最优解的问题。在处理由近似基本几何体组成的模型，如CAD模型，较传统迭代算法效率更高、准确度更好，从而在重建过程中快速得到具有重建误差更小的模型轮廓信息。

模型的轮廓信息可应用在模型的编辑、检索、重新网格化等各个方面。本文提出的基于中轴表达的模型轮廓信息生成方法可以为这些高级应用提供有效的模型轮廓信息，从而方便之后的模型处理工作。

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3D model wireframe extraction method based on medial axis expression

CAO Li1,2, WU Yao1, XU Yi-ke1

(1. School of Computer and Information (School of Artificial Intelligence), Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230601, China; 2. Engineering Research Center of Safety Critical Industrial Measurement and Control Technology, Ministry of Education, Hefei Anhui 230601, China)

The wireframe of 3D models is widely employed in mesh retrieval, mesh simplification, and mesh reconstruction. The complexity of the existent wireframe generation methods makes it necessary to analyze the geometric features of the mesh model and calculate the surface mesh of the model to obtain the wireframe. This entails a large amount of calculation and sometimes failures to complete the wireframe. To address the problems, a 3D model wireframe extraction method based on axis representation was proposed. Firstly, the axis representation information of the 3D model was extracted, and the corner points of the axis were projected onto the surface of the 3D model. Then, according to the topological relationship of each region, the suitable corner connection relationship was selected, and the projection points were connected to form the wireframe of the model region. After the connection operation, the errors in the projection process were analyzed and corrected. Finally, the region wireframes were merged to obtain the complete wireframe of the 3D model. Through experiments on and comparisons of reconstruction errors of representative 3D mesh models in several model databases, the average re-construction quality of the proposed method is about 10% higher than the three methods, outperforming the existing wireframe extraction methods in reconstruction quality and wireframe information integrity.

mesh model processing; wireframe extraction; axis representation; feature extraction; geometric segmentation

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022030461

A

2095-302X(2022)03-0461-08

2021-09-13；

2021-11-21

13 September，2021；

21 November，2021

安徽省重点研究与开发计划项目(202104e11020006)；国家自然科学基金项目(61602146)

Key Research and Development Projects of Anhui Province (202104e11020006); National Natural Science Foundation of China (61602146)

曹 力(1982-)，男，副教授，博士。主要研究方向为计算机图形学、几何分析等。E-mail：lcao@hfut.edu.cn

CAO Li (1982-), associate professor, PH.D. His main research interests cover computer graphics and geometric analysis. E-mail：lcao@hfut.edu.cn