基于相关矩阵和动态集合覆盖的配电网故障诊断方法

夏炳森，李 翠，林文钦，王威丽

(1.国网福建省电力有限公司 经济技术研究院，福州 350012；2.重庆邮电大学 通信与信息工程学院，重庆 400065)

0 引 言

配电网作为电力网络中直接向用户供电的末端基础环节，其工作状态将直接影响电力用户的用电质量和用电体验。当前电力用户对供电可靠性的要求随着国民经济的快速发展变得越来越高，因此，当配电网中出现故障时，精确快速的故障定位是保证供电可靠性、降低电力用户停电时长的重要手段之一。

为了实现对配电网故障的精确定位，当前大多研究都是基于同时结合稳态和暂态电气信息的故障诊断方法。文献[1]提出了一种基于线路暂态重心频率的故障诊断方法，该方法根据故障点两侧线路零序电流重心频率的特征差异，利用K均值聚类方法定位出故障线路区段。文献[2]设计了一种基于故障馈线线路序电流的故障诊断算法，该算法可实时监测馈线线路的消弧线圈参数，并通过比较故障发生前后零序电压和电流的变化值定位出现故障的线路区段，但该方法的准确度会受配电网拓扑的影响。

馈线终端单元(feeder terminal unit, FTU) 的普遍使用使得对配电网运行数据的详细分析成为可能，因此，基于FTU反馈信息的故障定位得到了充分讨论和研究。文献[3-5]使用原理较简单的矩阵算法描述配电网的拓扑结构，经过矩阵运算得到故障判定矩阵从而实现故障定位。文献[6]提出了基于行波时频复合分析的配电网故障诊断方法、文献[7-8]提出使用线性整数规划法对配电网中的故障线路区段进行定位。但上述基于运算分析的故障诊断方法仅适用于小规模配电网。随着机器学习技术的广泛使用，BP神经网络[9]， Petri网络[10]，支持向量机[11]，贝叶斯网络[12]等智能算法被广泛应用于配电网故障诊断中。基于机器学习的故障诊断方法可用于大规模配电网中，但因缺乏对配电网拓扑结构的准确描述，使得其诊断精确度难以得到进一步提升。

本文充分利用矩阵分析法的简易性和机器学习算法的智能性，在准确描述配电网拓扑的基础上，使用机器学习方法实现对配电网故障的准确诊断。首先，根据配电网拓扑建立故障电流信息-故障区段相关矩阵，并利用隐马尔科夫模型(hidden Markov model, HMM)刻画每条线路区段的变化序列，基于每个时间周期FTU设备上报的故障电流信息集合，建立基于动态集合覆盖(dynamic set-covering, DSC)的配电网故障诊断模型。因该问题在时间上是相互耦合的，本文采用维特比译码求解满足集合覆盖条件的线路区段工作状态序列，实现配电网的在线故障诊断。

1 基于集合覆盖的故障诊断

为了方便配电网的故障定位，本文参照文献[12]对配电网中的相应节点和供电线路进行统一编号和定义，具体如下。

1)定义主电源向电力用户供电的方向为正方向，逆方向为反方向；

2)将距离主电源最近的节点编号为1，之后沿着正方向对其他节点依次进行编号；

3)供电线路的区段编号和其流入节点的编号一致。

需要指出的是，对供电主线路和分支线路的编号无严格的顺序要求。

为了详细描述配电网的拓扑情况，引入了可达矩阵对节点间的连通性进行了建模。假设节点i和节点j是某一有向图中的2个不同节点，则从节点i到节点j的可达性rij可定义为

(1)

若满足i=j，则rij=1。

图1给出了一个根据上述编号方法进行处理的简单配电网拓扑，总含7个节点和7条供电线路，其中每个节点都安置了FTU设备。

图1 简单配电网拓扑Fig.1 Simple distribution network topology

根据图1的拓扑结构和可达矩阵的定义可得其对应的可达矩阵为

(2)

使用S=[s1,s2,...,sn]表为所有节点的FTU设备上报的故障电流信息集合，其中，n表示节点个数，若节点j(1≤j≤n)的FTU设备监测到正向故障电流，则sj=1，否则sj=0。

同时，使用L=[l1,l2,…,lm]表示各供电线路区段的工作状态集合，其中，m表示线路区段数。若供电线路区段li的状态正常，则li=0，若该线路区段出现故障则li=1。

对配电网进行故障诊断的目标是根据各节点FTU上报的故障电流信息定位实际出现故障的供电线路区段。基于上述给出的可达矩阵R，可使用基于最小集合覆盖的分析方法定位带来正向故障电流的具体线路区段。

最小集合覆盖需要在保证最小成本的前提下覆盖所有上报正向故障电流信息的节点。在无权重集合覆盖问题中，最小集合覆盖包含最少的故障位置。从故障线路区段中移除任一故障都不能覆盖所有上报正向故障电流信息的节点。根据可达矩阵R，图1中的配电网拓扑对应的电流信息{sj}-故障区段{li}的相关矩阵Q如表1所示。

表1中，{sj|li}=1表示当线路区段li出现故障时，节点j的FTU设备上报的电流信息为1，反之则{sj|li}=0。假设得到的故障信息集合为S=[1,1,1,1,0,0,0]，根据最小覆盖准则，推测出现故障的线路区段为l4，即得到各供电线路区段的工作状态集合为[0,0,0,1,0,0,0]。配电网拓扑中还可能存在多条线路同时出现故障的情况，如若得到的故障信息集合为S=[1,1,1,1,0,1,0]，根据最小覆盖准则，可推测出现故障的线路区段为l4和l6。但最小集合覆盖准则可能会存在隐藏的故障。例如，若出现故障的区段为l1和l4，得到的故障信息集合同样为S=[1,1,1,1,0,0,0]，此时l1的故障被隐藏，出现了漏判的情况。但在实际配电网中，一条区段出现故障的概率远远大于多跳区段同时故障的概率。因此，当出现漏判的情况时可在修复已定位的故障区段l4后继续观测是否依然存在正向故障电流，若存在，则可继续采用该方法判定出隐藏的故障区段。

表1 电流信息{sj}-故障区段{li}相关矩阵QTab.1 Dependency matrix Q between current information {sj} and faulty sections {li}

2 基于DSC的多故障诊断问题

使用DSC进行多个故障点的定位问题如图2所示。图1中，假设配电网拓扑中一共包括7个线路区段，在每个时刻，故障诊断算法需要找到覆盖所有正向故障电流信息的故障线路区段，这就是集合覆盖问题。

图2 动态集合覆盖问题Fig.2 DSC problem

图2中，假设在周期1， FTU上报的电流信息结果为S=[1,0,0,0,0,0,0]。DSC根据Q矩阵和电流信息集合S推断故障线路区段集合，此时线路区段l1是唯一的怀疑目标，其它故障点不可能是故障源，因为它们被正常的电流信息覆盖，因此线路区段为l1是时刻1的最小故障源。相似地，在时刻3，根据电流信息集合S和最小集合覆盖准则，推测出现故障的线路区段为l5和l7。DSC问题是在给定的正向故障电流信息集合S下推断一个时间范围内的故障线路区段(如图2中的时间范围为3个时间周期)，正常情况下，故障线路区段不会像图2一样是频繁变化的，为了清楚地解释基于DSC的故障诊断问题，我们在图2中考虑的是一种极端的情况。

集合覆盖问题是寻找能够覆盖限制矩阵中所有行向量的最小列集合，其中限制矩阵是相关矩阵Q中出现故障电流信息的行子集。在集合覆盖相关矩阵中，若行j可以被列i覆盖则qji=1。为了观测每条线路区段随时间的变化情况，本文引入DSC问题，该问题包含一系列时间耦合的集合覆盖问题。

基于DSC的故障线路区段诊断问题需要根据每个时刻上报正向故障电流信息的节点集合计算出能够覆盖该集合的最小故障线路区段集合，而线路区段的运行状态在连续时间周期上是相关的。因此，本文引入HMM刻画线路区段状态在时间序列上的变化情况，并将每个节点的故障电流信息定义为HMM中的观测状态，将每条线路区段的运行状态定义为HMM中的隐藏状态，因此，DSC问题可对应于m个相似的HMM。假设在时刻k第i条线路区段的状态可表示为xi(k)，则每一个条线路区段的状态xi(k)可以建模为双态的HMM。因此，DSC问题可表示为DSC={M,κ,Pa,Pv,S}，每一个元素表示的含义如下。

M={l1,…,lm}是配电网拓扑中m条可能出现故障的线路区段集合。

κ={0,1,…,k,…,K}是离散的观测时刻。让xi(k)表示线路区段i在时刻k的状态，则xi(k)=1表明在时刻k，线路区段i在最小覆盖的解决方案中，也即是线路区段i出现故障，否则xi(k)=0，表明线路区段i工作状态正常。时刻k所有线路区段的状态集合可表示为X(k)=[x1(k),x2(k),…,xm(k)]T。假设配电网中线路区段的初始状态集合X(0)是已知的。

假设配电网拓扑中每条线路区段有2个工作状态。在每个时刻，对于线路区段i，其出现故障的概率Pai(k)和该故障恢复正常的概率Pvi(k)可分别定义为Pai(k)=Pr(xi(k)=1|xi(k)=0)和Pvi(k)=Pr(xi(k)=0|xi(k-1)=1)。

矩阵Q(Q={qji|1≤j≤n,1≤i≤m})用于表示正向故障电流信息和线路区段之间的关系，其中故障线路区段为矩阵中的列，正向故障电流信息为矩阵中的行。若qji=1，表示当故障线路区段i出现故障时，节点j的FTU可以检测到正向故障电流信息，也即是说i能够覆盖j。约束矩阵Qs(k)包含k时刻出现故障电流信息的行子集Sf(k)⊆S。其中，(qs(k))ji表示Qs(k)的第{j,i}项。

为了实现配电网的故障诊断，DSC问题需要找到最小的故障线路区段集合(列)，该集合能够覆盖每个观测周期的正向故障电流信息集合(行)，也即是配电网中所有线路工作状态随时间的变化情况，XK={X(1),X(2),…,X(K)}，该序列能够最好地解释观测序列SK。此时，基于集合覆盖的故障诊断问题就可通过寻找最大后验概率(maximum a posteriori, MAP)的方式解决

(3)

(3)式中，J1,K(XK)=P(XK|XK,X(0))。

定义

fk(X(k),X(k-1))=ln{Pr(X(k)|X(k-1))}

(4)

根据故障间相互独立的假设可以得到

(5)

由此可得

Pai(k)(1-xi(k-1))xi(k)·Pvi(k)(1-xi(k-1))(1-xi(k))·

(1-Pvi(k))xi(k-1)xi(k)}

xi(k-1),xi(k)∈{0,1}

(6)

根据文献[13]，可将DSC问题转化为一个非线性二进制规划问题，具体如(7)式所示。

(7)

(7)式中，fki(xi(k),xi(k-1))是xi(k)和xi(k-1)的非线性负函数，可表示为

fki(xi(k),xi(k-1))=

(1-xi(k-1))(1-xi(k))ln(1-Pai(k))+

(1-xi(k-1))xi(k)ln(Pai(k))+

xi(k-1)(1-xi(k))ln(Pvi(k))+

xi(k-1)xi(k)ln(1-Pvi(k))

(8)

考虑每个时刻的目标函数fki(xi(k),xi(k-1))不仅是累加的，且是2个连续时刻相耦合的。因此，它可用(9)式进行重写。

fki(xi(k),xi(k-1))=

μi(k)xi(k)+σi(k)xi(k-1)+

hi(k)xi(k)xi(k-1)+gi(k)

(9)

gi(k)=ln(1-Pai(k))。

3 基于维特比译码的根因分析解决方案

因为问题(7)中的目标函数是2个连续时刻相耦合的，可以使用维特比算法求解每个HMM以得到每条线路区段i的时间状态序列。首先，在初始时刻，需要计算目标函数的值以用于维特比算法的初始化。在这里，迭代周期t内时刻1的最大目标函数值用δ1(xi(1))表示，目标函数取最小值时xi的值用ψ1(xi(1))表示，则可得

μi(1)xi(1)+gi(1)

ψ1(xi(1))=φ

(10)

初始化后需要在整个时间周期使用维特比算法进行循环递归，也即是在时刻2到时刻K上运行。在每个时刻和初始化时一样执行相同的步骤，即

(11)

当遍历完K个时间周期后，算法终止

(12)

算法终止后，进行最优状态序列回溯，得到线路区段i在K个时间周期上的最优状态序列，即

(13)

在得到每个时间周期上的最优状态序列后，若该时间周期上线路区段的最优状态集合不能满足覆盖条件P1，则可根据目标函数增量最大化准则继续将不在当前解决方案中的线路区段i放进解决方案，循环直到满足每个时间周期的覆盖条件P1为止。基于维特比译码的故障诊断方法如下。

输入：观测周期K，观测信息SK，相关矩阵Q

输出：线路区段状态序列：X*

1)根据(10)式初始化维特比算法的目标函数得到δ1(xi(1))和ψ1(xi(1))

2)fork=2,…,Kdo

3)根据(11)式对维特比算法进行循环递归得到δk(xi(k))和ψk(xi(k))

4)end for

5)当遍历完K个时间周期后，算法终止，并进行最优状态序列回溯，得到线路区段i在K个时间周期上的最优状态序列

6)while不满足覆盖条件P1 do

7)根据目标函数增量最大化准则将不在当前解决方案中的线路区段i放进解决方案

8)end while

9)得到最优区段状态序列：X*

4 测试算例

本文运行测试算例使用的操作系统为Windows10，处理器为 Inter(R) Core(TM) i7 CPU 3.40 GHz，仿真软件为MATLAB R2015b。测试算例图中的节点已进行统一编号。本文算法验证选择的测试算例如图3所示，每个编号节点均配置了FTU，算例系统共包含4个分布式电源。

为了验证本文提出的基于DSC的配电网故障诊断算法的性能，将所提算法和随机选择法(random selection, RM)[15]，最佳传播图法(best propagation graph, BPG)[16]，基于RS-SVM的故障诊断方法[11]和基于可达矩阵和贝叶斯定理(RM-BT)的故障区段定位方法[12]进行了详细对比。其中随机选择法会以随机顺序检查每条线路区段，可通过随机排列的方式模拟这种诊断方法。而最佳传播图法会给每一条线路区段建立一个故障传播图，其中每个节点代表可从目标线路区段到达的其他区段。该方法将故障诊断问题转化为选择阶数最小的故障传播图问题。其中传播图的阶数由从源线路区段到其它故障区段的最小总距离计算得到。

为了数值化故障诊断算法的性能以方便比较，引入了2个评估标准，平均故障定位精确度和平均根因分析准确度。平均故障定位精确度表示定位准确的线路区段在实际出现故障的线路区段中平均所占比例。平均根因分析准确度表示准确分析出每一个正向故障电流信息出现原因的平均概率。

图4为不同故障区段数目下RS、BPG、RS-SVM、RM-BT方法和本文提出的DSC方法的诊断性能对比图。从图4可以看出，本文提出的故障诊断算法的诊断性能明显优于其他4种算法。此外，随着配电网中同时出现故障的区段数目的增加，所有算法的平均故障定位精确度和平均根因分析准确度均会降低，这意味着5种故障诊断算法的诊断性能均会随着故障区段数目的增加下降。但本文提出的DSC方法的诊断性能下降幅度明显比其他算法的下降幅度要小，故本文所提算法可取得更好的故障诊断性能。

图4 不同故障区段数目下不同故障诊断算法的性能对比图Fig.4 Performance comparison among different diagnosis algorithms under different faulty sections

图5为不同线路区段总数下RS、BPG、RS-SVM、RM-BT方法和本文提出的DSC方法的诊断性能对比图。从图5可以看出，本文提出的故障诊断算法的性能在不同的线路区段总数下均优于其他4种算法。此外，随着配电网规模的增大和线路区段总数的增加，5种算法的平均故障定位精确度和平均根因分析准确度的数值均会降低，这意味着5种算法的诊断性能均会随着配电网规模的增加而下降。但本文所提算法在网络规模变大时依然可以取得较好的诊断性能，故本文所提算法的故障诊断性能在配电网规模变化时稳定性最佳。

图6为不同线路区段总数下RS、BPG、RS-SVM、RM-BT方法和本文提出的DSC方法的运行时间对比图。从图6可以看出，RS算法所需的运行时间最少，但从图4和图5可知，其诊断性能最差。而本文所提算法在不同线路区段总数下所需运行时间比BPG、RS-SVM和RM-BT方法要少，结合图4、图5和图6可知，本文所提的基于DSC的故障诊断算法可在较低的运行时间下取得较好的诊断性能。

图5 不同线路区段总数下不同故障诊断算法的性能对比图Fig.5 Performance comparison among different diagnosis algorithms under different number of sections

图6 不同线路区段总数下不同故障诊断算法的运行时间对比图Fig.6 Running time comparison among different diagnosis algorithms under different number of sections

5 结束语

在配电网中出现故障时，精确快速的故障定位是保证供电可靠性、降低电力用户停电时长的重要手段之一。为解决配电网故障线路区段定位问题，本文提出了一种基于相关矩阵和动态集合覆盖的配电网故障故障方法。本文充分利用矩阵分析法的简易性和机器学习算法的智能性，首先根据配电网拓扑建立故障电流信息和故障线路区段相关矩阵，并引入隐马尔科夫模型刻画每条线路区段随时间变化的状态序列；其次，建立基于动态集合覆盖的配电网故障诊断模型，并使用维特比译码求解该问题，实现对配电网的在线故障区段定位。最后，通过仿真实例验证了所提故障定位方法的准确性和稳定性。