(m，5，2，4)光正交码最大容量的一种计算方法

2022-06-30卢晓立黄月梅

内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 2022年4期

关键词：汉明码字奇数

卢晓立，黄月梅，2

（1.内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010022；2.内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古呼和浩特 010022）

1 相关引理

设m，k，λa，λc为正整数，Zm为模m的剩余类加群，参数为(m，k，λa，λc)光正交码是一些长为m，汉明权重为k的(0，1)-序列的集合C，每个(0，1)-序列称为一个码字，且满足下列性质：

（1）自相关性：对于任意A=(ai)∈C 与任意正整数r，r∈Zm{0}，有

（2）互相关性：对于任意A=(ai)，B=(bi)∈C 与任意整数r，r∈Zm，A≠B，有

公式中的角标模m运算。一个参数为(m，k，λa，λc)光正交码，简记为(m，k，λa，λc)-OOC，所含的码字个数称为容量。对给定的正整数m，k，λa，λc，常用Φ(m，k，λa，λc)表示所有参数为(m，k，λa，λc)的光正交码中最大的容量。达到最大容量的光正交码为最优。

光正交码最早在文献［1］中被研究。起初，各学者主要是对λa=λc的光正交码进行研究。关于λa≠λc的情况，在文献［2］中，给出了k=4，λa=1和2，λc=3 时的一维以及二维光正交码的最优值。在文献［3］中，确定了k，λa=k-2，λc=k-1 的最优二维光正交码的码字个数的计算公式，并给出了k=5，λa=3，λc=4的最优二维光正交码的码字个数的确切值。

本文确定了k=5，自相关系数为3 时的光正交码的轨道代表元的表示形式，并且进一步给出了一种求解k=5，λa=2，λc=4 的一维光正交码的最大码字个数的计算方法。

令In={0，1，2，…，n-1}，Zm是模m的剩余类加群，集合Ω(n×m，k)为In×Zm的所有k元子集的集合。Φ(n×m，k，λa，λc)表示参数为(n×m，k，λa，λc)的二维光正交码的最大容量。

引理1［2］设n，m，k，α为正整数，且1 ≤α≤k-2，则

Θ(α)是集合Ω(n×m，k)在群Zm作用下满足λ(X)=α+1 时的所有轨道的集合。

故当n=1，k=5，α=2 时，结论如下。

推论对任意正整数m，有Φ(m，5，2，4)=Φ(m，5，3，4)-|Θ(2)|。

结合文献［3］中给出的结果，只需确定Θ(2)的值，即集合C5Zm在群Zm作用下满足λ(X)=3 时的所有轨道的个数。

2 预备知识

Zm是模m剩余类加群。令CkZm表示Zm中所有k‐子集的集合。对于C中的任意一个(0，1)‐序列A，相应地，在Zm上有且仅有一个k‐子集XA，使得i∈XA当且仅当A的第i个位置为1。根据上述条件，可以得到光正交码的一个等价定义，即一个汉明权重为k的一维光正交码可以看成一些k‐子集的集合{XA：A∈C }，每个k‐子集也称作区组。反之，设B ⊆CkZm，则B 构成一个汉明权重为k的一维光正交码要满足：

（1）自相关性：对任意的区组X∈B 和任意的i∈Zm{0}，|X∩(X+i)|≤λa；

（2）互相关性：对任意的区组X，Y∈B，X≠Y和任意的i∈Zm，|X∩(Y+i)|≤λc。

其中对于任意X∈B，有X+i={x+i：x∈X}，所有加法在Zm上进行。

对于任意k‐子集X∈CkZm，定义X的差集为多重集ΔX={a-b(mod m)：a，b∈X，a≠b}。定义ΔX的支撑为ΔX中所有互异元素组成的集合，记作supp(ΔX)。此外定义λ(X)为ΔX中出现最多次的差值的次数，则有λ(X)=max {mi(ΔX)：i∈ΔX}，其中mi(ΔX)表示正整数i在差集ΔX中出现的重数。再由光正交码的码字与k‐子集之间的关系，得λ(X)=max {|X∩(X+η)|：η∈Zm{0}}。对任意X∈CkZm和任意i∈Zm，在Zm作用下，结合定义X+i={x+i：x∈X}，集合{X+i：i∈Zm}称为X∈CkZm的轨道。X的轨道记作O(X)。若轨道O(X)中有m个互异的元素，则称为长轨道；反之，称为短轨道。在群Zm作用下，CkZm中的k‐子集被划分成了一些轨道。这些轨道代表元构成了对应的光正交码。

3 关于Θ(2)值的计算

设θ是在群Zm作用下的任意轨道，若X，Y∈θ，则ΔX=ΔY。于是，假定轨道θ的一个代表元X={0，x1，…，xk-1}。

引理2对于(m，5，k，4)-OOC，满足λ(X)=3 的码字集Θ(2)可以写成互不相交的轨道集的并集，即，具体分类为

以下为确定上述各集合的值。

引理3设m是正整数，若3|m，则|θ11|=[m/2]-ϵ，其中ϵ是当γ∈{4，6，9}时，满足γx≡0(mod m)的互不相同的正整数x∈(0，[m/2])的个数。否则为0。

证明由集合θ11的定义，若3 ∤m，则|θ11|=0；若3|m，设θ是集合θ11中的任意轨道，则θ=O(X)，其中X={0，x，x+m/3，x+2m/3，2x}，x∈(0，m)且|supp(ΔX)|=10。故得ΔX={±m/3，±m/3，±m/3，±x，±x，±2x，±(x+m/3)，±(x+2m/3)，±(x-m/3)，±(x-2m/3)}，且±2x，±(x+2m/3)，±m/3，±x，±(x+m/3)互不相同，详细计算得γx≡0(mod m)，γ∈{4，6，9}。另一方面，设X′={0，x′+2m/3，x′+m/3，x′，2x′} 与X在同一轨道，则ΔX′=ΔX，即{±2x′，±x′，±(x′+m/3)，±(x′+2m/3)}={±2x，±x，±(x+m/3)，±(x+2m/3)}。详细计算得到X′ 与X属于同一条轨道当且仅当x′=x，-x。由此x∈(0，[m/2])，故|θ11|=[m/2]-ϵ，ϵ是当γ∈{4，6，9}时，满足γx≡0(mod m)的互不相同的正整数x∈(0，[m/2])的个数。

引理4设m是正整数。

（1）若6|m，则|θ12|=m-1-ϵ，ϵ 为满足12x≡0(mod m)的正整数x∈(0，m)的个数。否则为0。

（2）若3|m，则|θ13|=m-1-ϵ，ϵ是当γ∈{9，12} 时，满足γx≡0(mod m) 的互不相同的正整数x∈(0，m)的个数。否则为0。

（3）若6|m，则|θ14|=(m-1-ϵ)/6，ϵ 为满足12x≡0(mod m)的正整数x∈(0，m)的个数。否则为0。

证明与引理3 的证明类似，此处略。

引理5设m是正整数。当m为奇数时，则有

当m为偶数时，则有

证明由集合θ15的定义，若3 ∤m，则|θ15|=0。若3|m，设θ是集合θ15中的任意轨道，则θ=O(X)，其中X={0，m/3，2m/3，x，y}，x≠y∈(0，m)且|supp(ΔX)|=16。故ΔX={±m/3，±m/3，±m/3，±x，±y，±(y-x)，±(x-m/3)，±(x-2m/3)，±(y-m/3)，±(y-2m/3)} 且±m/3，±x，±y，±(xm/3)，±(x-2m/3)，±(y-m/3)，±(y-2m/3)，±(y-x) 互不相同，详细计算得2x≡a(mod m)，a∈{m/3，2m/3，0}，y ≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，m/3，2m/3}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}。设E={(x，y)：x≠y∈(0，m)，2x≡a(mod m)，a∈{0，m/3，2m/3}，y ≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，m/3，2m/3，x+m/2}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}}，则存在(x，y)∈E使得任意轨道θ∈O(x，y)，其中O(x，y)=O({0，m/3，2m/3，x，y})，定义集合E到θ15的映射τ：任意(x，y)∈E有(x，y)→O(x，y)，显然τ是一个满射。故对任给的θ∈θ15，下面计算τ-1(θ) 的大小。对(x，y)∈E有θ=O(x，y)。若 (x′，y′)∈τ-1(θ)，则O(x，y)=O(x′，y′)，存在t∈Zm使得{0，m/3，2m/3，x，y}={0，m/3，2m/3，x′，y′}+t，显然t∈{0，m/3，2m/3，x，y}。若t=x，则{0，m/3，2m/3，y}={x+m/3，x+2m/3，x+x′，x+y′}，因此x+m/3 或x+2m/3 ∈{0，m/3，2m/3，y}，这种情况不存在，同理t≠y，故t=0，m/3，2m/3。详细计算得到X′与X在同一轨道当且仅当(x′，y′)∈B(x，y)={(x，y)，(x+m/3，y+m/3)，(x+2m/3，y+2m/3)，(y，x)，(y+m/3，x+m/3)，(y+2m/3，x+2m/3)}。验证得τ-1(θ)=B(x，y)。于是有|θ15|=|E|/6。

计算|E|。E1={(x，y)：x≠y∈(0，m)，2x≡a(mod m)，a∈{0，m/3，2m/3}}，E2是E1的子集，满足y≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，m/3，2m/3}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}，根据E的定义，|E|=|E1|-|E2|，

计算 |E2|。m≡3(mod6)，设集合M={m/3，2m/3}，E2={(x，y)：x≠y∈(0，m)，y∈Rx}。x∈(0，m)M且x取奇数或者偶数时有：Rx奇=[1，m- 1]∩{m/3，2m/3，±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x- 2m/3，(x+m)/2，(3x+m)/6，(3x+ 5m)/6}；Rx偶=[1，m- 1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x- 2m/3，x/2，(3x+ 4m)/6，(3x+ 2m)/6，m/3，2m/3}。任意x∈(0，m)M有

由此得

m≡0(mod6)，设集合M={m/2，m/3，2m/3，m/6，5m/6}，则E2={(x，y)：x≠y∈(0，m)，y∈Rx}。x∈(0，m)M且x取奇数或者偶数时有：Rx奇=[1，m-1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2xm/3，2x-2m/3，m/3，2m/3，m/6，5m/6，x+m/2，m/2}；Rx偶=[1，m-1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，x/2，(3x+4m)/6，(3x+2m)/6，(x+m)/2，(3x+m)/6，(3x+5m)/6，m/2，m/3，2m/3，m/6，5m/6}。则|Rx|分别为