精心设计学习体验让学生“获得”算理理解

黄燕红

【摘 要】算理教学是计算教学中不可缺少的环节。学生只有理解了算理才能更深入地理解算法，才能更好地应对计算时千变万化的情况，从而提高学生的运算能力。如何让学生真正理解算理，也成为教学中的难点。算理的理解光靠教师讲解是不够的，学生一定要亲身经历算理研讨才能真正理解算理，所以教师一定要精心设计学习体验，才能让学生“获得”算理理解。

【关键词】整数除以分数 学习体验 算理理解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，運算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。由此可见，算理教学是计算教学中不可缺少的环节。学生只有理解了算理才能更深入地理解算法，才能更好地应对计算时千变万化的情况，从而提高运算能力。算理教学从一开始的不被重视，也渐渐地为广大教师所认同。在教学中老师们都为算理教学留下了一席之地，但是往往还是形同虚设，学生到最后记住的都只是算法，算理教学就如同学生眼前飞逝而过的一处风景，没有在学生的头脑中留下任何痕迹。如何让学生真正理解算理，也成为教学中的难点。

卢梭曾经说过：“不要给你的学生任何口头上的传授，他们应该只能从自己的体验中接受知识。”没有恰当的体验，只是分享自己对世界的理解和情感，注定要以失败而告终。因此，需要通过精心设计的学习体验来揭示核心内容的可能含义。算理的理解也是如此，光靠教师讲解是不够的，学生一定要亲身经历算理研讨才能真正理解算理。所以在计算教学中，教师一定要精心设计学习体验，让学生“获得”算理理解。

“整数除以分数”是六年级上册分数除法单元的主要教学内容之一，是在学生已经学习了分数除以整数的基础上进行教学的。相对于分数除以整数，整数除以分数的算理学生在理解上要困难一些。在本节课的教学中，为了让学生充分经历算理的理解，给学生一个深刻的学习体验过程，笔者主要做了以下尝试：

一、精心选择研究材料

作为教学设计师，我们不仅有责任选择好的教材来支持目标，还要确保使用教材中设计得好的部分，弥补其中不完备的地方，使教材在组织信息和提供练习以增强关键知识和技能方面发挥最大作用。

教材上例2是通过分橙子的问题情境，从整数除法的数量关系带出整数除以分数的算式，这样做有助于学生理解分数除法的意义。但是例3却没有沿用例2的教学情境，而是换成了剪4米长的彩带，应该是考虑到学生可以通过操作得到计算的结果。

在这节课的教学中，笔者放弃了教材上的研究材料，选择了“分江阴特产马蹄酥”这个问题情境，并通过这个问题情境把例2和例3的学习内容串联在一起，情境的一致性有利于学生思维的通达。马蹄酥这个操作材料更接近圆这个平面图形，分饼的过程更容易在直观图上呈现，也更有利于学生操作。

二、精心组织学习过程

“教学”最恰当的定义或许是对学习的组织。因此，成功的教学是为真正的结果组织学习……与大家所熟悉的教学定义（将其作为学习的引导或指导）相比，很明显这个定义更恰当些。它使我们从教师应该引导学习还是指导学习的争论中解脱出来—— 其实这些争论是无关紧要的，因为两者都是教师应该做的。笔者把研究算理、构建算法的过程设计分成了三个环节：

（一）复习整数除法，引导意义理解

1.复习整数除法得出数量关系，为引出分数除以整数做铺垫

整数除以分数的意义和整数除法是相同的，通过这两个整数除法的例子，顺利引出整数除法的数量关系：总数÷每份数=份数，帮助学生回忆起整数除法的意义：已知总数和每份数，求份数，也就是求一个数里有几个几，用除法计算。

2.变化除数引出整数除以分数，理解整数除以分数的意义

通过这道题让学生理解，总数还是4个，每份数变成了1/2个，也就是求4里面有几个1/2，也可以用除法来计算。因为数量关系没有变，学生能很好地理解整数除以分数的意义。理解了意义，学生才能更好地理解算理，它是算理理解的基础。

（二）经历算理研究过程，充分理解算理

1.让学生想象，为理解展翅

在学生研究4÷1/2时，直接抛出问题，让学生去想象分饼的过程：每人分得个，一共可以分给几个小朋友？不用操作画图，大部分学生能想到：1个饼能够分给2个人，那么4个饼就分给4个2人，4÷=4×2=8（人），所以一共可以分给8人。

后面通过继续变化每人分得的份数，可以得到“4÷”和“4÷”这两个算式。也可以让学生先想象分饼的过程，然后得出计算的方法。

2.借助直观图，为理解助力

（1）借助直观图，验证想象

不管是每人分个，还是每人分个，或者每人分个，通过想象分饼的过程大部分学生能理解算理，得出算法，但是他们的想法到底对不对呢？这时，笔者马上课件出示分饼的直观过程，来为学生的想象提供依据，验证想法的合理性。

通过直观图，已经得到结论的同学进一步验证了自己的想法，而一部分没有想法的同学也被点醒了，这样就能够帮助他们理解算理，同时也能得出算法。

（2）借助直观图，解决疑难

继续变化每人分得的份数，每人分得个，可以得到式子“4÷”。这里让学生想象分饼的过程是有困难的，这时就要让学生借助直观图来操作分饼的过程，在下图上圈一圈，每人分个，可以分给几个人？

这样的直观操作，就如给学生的理解注入了一股力，学生通过操作很容易发现4个饼，每人分个，一共可以分给6个人。

3.促学生思理，为理解深入

学生通过直观图得出：4个饼，每人分个，一共可以分给6个人。这时借助直观图进一步激励学生思考：为什么4个饼，每人分个，一共可以分给6个人呢？想一想：前面每次分饼的过程，我们都先想了什么？学生得出：每次都是先想每个饼可以分给几个人？这时引导学生通过观察操作图得出：1个饼可以分给1个半人，也就是个人。再让学生思考讨论：为什么1个饼能够分给个人呢？促进学生进一步去深入思考。最后学生通过讨论得出：因为1个饼中有3小份，每人得2小份，所以3÷2=（个）。这个结论的得出为学生进一步研究算理打开了门路，层层深入的提问，也促使学生对算理的理解一步步走向深入。

4.定语言导向，为理解定格

通过重点研究“4个饼，每人分个，一共可以分给几个人”这个问题，学生对算理的理解基本有了方向，思考“几个饼分给几个人”的问题，要先思考“1个饼可以分给几个人”。

这时出示：6个饼，如果每人分个，可以分给几个小朋友？

列出算式后提问：要思考这个问题，我们可以先想什么？思考“1个饼可以分给几个人”可以怎么想？让学生先通过思考说一说分饼的过程。

6个饼，如果每人分个，每个饼分成5小份，每人得3小份，所以5÷3=（个），1个饼可以分给个人。这样6÷=6×=10（个）。

然后让学生在下面的图上圈一圈，进一步验证自己的想法，通过验证得出这样的想法是合理的。

这时再出示：那么如果有10个饼，每人分个，可以分给几个人？

这道题学生列出算式后，直接让学生想象分饼的过程，并说一说。

10个饼，如果每人分个，每个饼分成9小份，每人得5小份，所以9÷5=（个），1个饼可以分给个人。这样10÷=10×=18（个）。

这次不再借助直观图，而是让学生想象分饼的过程，这是学生从算理直观化走向算法抽象化的过渡过程。经历这个过程，学生才能真正理解算理，最终完成算法的主动建构。

以上的教学过程由浅入深、由表及里，引导学生在经历算理研究的过程中充分理解了算理，也为下面算法的得出做好了充分准备。

（三）引导学生回顾计算过程，得出算法

通过前面的教学，算法的得出可谓是呼之欲出，水到渠成。通过刚才这么多整数除以分数的计算，你们能说一说整数除以分数的计算方法吗？此时教室里小手雀跃，大部分的孩子都能得出计算的方法。正是有了前面经历的算理理解的一步步过程，学生才能自主地构建算法，计算方法的得出就是顺势而为。

三、做好学习活动的指导者

追求理解的教学更接近指导而不是讲授， 特别是在学习活动流程和学习活动对教师的要求方面。“对某个观点的口头交流可能激发一个人对问题的自我认识，并思考类似的观点，要不然， 他的智力兴趣可能会受到抑制，在思考上的努力也可能会受到束缚。 但他直接获得的还不能称为观点，只有当他自己直接处理问题的各种状况，从中寻找和发现他自己的方式时，他才能获得真正的观点。”

在学生探究“整数除以分数”这个学习活动中，一定要让学生成为学习活动的主角，教师的任务是组织好学生的活动。学生自己能想到的，让学生自己去想;学生自己能动手操作的，让学生自己动手操作;学生自己能表达的，让学生自己去表达。可能学生的想法不一定完美，可能学生的操作不一定恰如其分，可能学生的表达不一定一语中的，但是经历错误、经历曲折，才能使学生真正掌握所学习的内容。教师要做的是在学生经历错误、经历曲折卡壳时进行指导，让学生走出死胡同，找到正确的思考方向。

例如在本节课的学习中，笔者进行了几处有意识的指导：（1）初次遇到一个数除以几分之几时，学生会出现错误的想法，甚至一下子得不到正确的计算结果，这时适时指导学生借助画图操作，很快就能找到正确的计算结果。（2）在学生得出计算结果后，要指导学生进一步深入思考，促使学生想到要算几个饼分给几个人，就要想清楚每个饼分给几个人，而每个饼分给几个人更是理解算理得出算法的关键。指导学生进行讨论交流就很有必要。（3）指导整数除以几分之几的算理表达。每一次都要让学生说清楚每个饼分给几个人，并且说清楚为什么。引导说清楚这個问题，就是弄清楚整数除以分数的算理，这样学生在思考和表达中对整数除以分数的算理就逐渐清晰了，算法的得出也就水到渠成了。

总之，在计算教学中，一定要精心设计教学过程，组织教学活动，让学生充分经历由算理直观化到算法抽象化的过渡和演变过程，获得深刻的学习体验，使学生达到对算理的深度理解和对算法的切实把握，完成算法的主动建构，从而进一步提高学生的运算能力。