一致分数阶积分的Hermite-Hadamard-Fejér型不等式和加权Iyengar型不等式

时统业 曾志红

(1.海军指挥学院，江苏南京 211800；2.广东第二师范学院 学报编辑部，广东广州 510303)

1938年，Iyengar建立了如下积分不等式[1]：

其中f是[a，b]上的可微函数，且存在常数M，使得对任意x∈[a,b]有|f′(x)|≤M。

文[2]将Iyengar推广为如下Iyengar型不等式：

(1)

文[3]利用Hayashi不等式给出加权的Iyengar型不等式。文[4]在弱条件下给出Iyengar型不等式的加权推广。关于Iyengar型不等式的更多结果可见文[5-9]。

文[10]给出一致分数阶导数和一致分数阶积分的定义。

定义1[10]设α∈(0,1]，f：[0,∞)→R在点t>0处的一致α分数阶导数定义为

当f在点t处可微时，Dα(f)(t)=f′(t)t1-α，如果f在区间I上每一点处的一致α分数阶导数都存在，则称f在区间I上是一致α分数阶可微的。

求一致分数阶复合函数的导数时，要用到链式法则[11]：设α∈(0,1]，f,g：(0,∞)→R一致α分数阶可微，h(t)=f(g(t))，则对任意t>0和g(t)≠0，h(t)是一致α分数阶可微的，且

Dα(h)(t)=Dα(f)(g(t))·Dα(g)(t)·(g(t))α-1．

特别地，设0<α≤1，h1,h2是一致α分数阶可微函数，h1在h2(t)是可微的，h(t)=h1(h2(t))，则

为了建立一致分数阶可微函数的差值与一致分数阶导数的联系，需要中值定理[10]：设α∈(0,1]，0≤a

利用一致分数阶导数的符号可以判断函数的增减性[12]：设α∈(0,1]，f：[a,b]→R在[a,b]上连续，在(a,b)内一致α分数阶可微，则如果对任意t∈(a,b)有Dα(f)(t)>0，f在[a,b]上单调增加。如果对任意t∈(a,b)有Dα(f)(t)<0，f在[a,b]上单调减少。

定义3[10]设α∈(0,1]，0≤a

存在，则称函数f：[a,b]→R在[a,b]上是一致α分数阶可积的。

设f是[a，b]上的连续函数，则对任意t∈[a,b]有[10]

对于一致分数阶积分，也有类似于经典定积分的分部积分法[11]：设α∈(0,1]，0≤a

一致分数阶积分的不等式引起众多研究者的兴趣[13-18]。这里只列出本文要加强或推广的两个结果。

定理1[13]设α∈(0,1]，f：[a,b]→R是一致分数阶可微函数，存在常数m,M,m

(2)

定理2[13](一致分数阶Hermite-Hadamard型不等式) 设α∈(0,1]，f：[a,b]→R一致分数阶可微。

(1) 若Dα(f)(t)单调增加，则有

(2) 若Dα(f)(t)单调增加，f单调减少，则有

本文将建立一致分数阶积分的Hermite-Hadamard-Fejér型不等式和加权Iyengar型不等式，得到定理1的加强和定理2的加权推广。为了证明本文的主要结论，我们需要下面的引理。

引理1设α∈(0,1]，0

(3)

证明由一致分数阶微分中值定理，存在c1∈[u,v]，c2∈[v,w]，使得

于是

因为Dα(f)(t)单调增加，c1

引理2设α∈(0,1]， 0

证明利用分部积分法即可得证。

首先建立一个一致分数阶积分的Hermite-Hadamard-Fejér型不等式。

(4)

于是有

(5)

由引理1有

(6)

(7)

将式(6)与式(7)相加得

(8)

(9)

综合式(5)、式(8)和式(9)，则式(4)得证。

下面给出一致分数阶积分的加权Iyengar型不等式。

定理4设α∈(0,1]， 0

(10)

其中

(11)

利用一致分数阶分部积分法和变上限一致分数阶定积分的求导公式，得

(12)

类似得

(13)

综合式(11)～(13)，得

其中

于是有

(14)

其中

发达生产事业，无论是资本主义者，或是社会主义者，都是绝对承认的 要想为中国无产阶级谋幸福而除去一切悲痛，首先就要使他们获得生活必需的资料。要使他们获得生活必需的资料，首先就要开发生产事业。所以发达生产事业的一件事，无论是资本主义者，或是社会主义者，都是绝对承认的，只不过生产方法不同罢了！

由一致分数阶微分中值定理知m≤S≤M，故有aα≤cα≤bα，即c∈[a,b]，令ε0=c-x，则有ε0∈[a-x,b-x]。当ε∈[a-x,ε0)时，Dα(φ)(ε)<0；当ε∈(ε0,b-x]时，Dα(φ)(ε)>0， 故φ(ε)在点ε=ε0处取得最小值，且

(15)

(16)

(17)

(18)

综合式(14)～(18)，则式(10)从右边数起的第一个和第二个不等式得证。

当m≤Dα(f)(t)≤M时， -M≤Dα(-f)(t)≤-m， 对-f应用上面已证结果，则式(10)从左边数起的第一个和第二个不等式得证。

定理4的条件“存在常数m,M,m

定理5设α∈(0,1]，0

证明对任意t∈[a,d]，有

对任意t∈[d,b]，有

当m≤Dα(f)(t)≤M时，-M≤Dα(-f)(t)≤-m，对-f应用上面已证结果，则式(10)从右边数起的第一个和第二个不等式得证。

推论1设α∈(0,1]，0

(bα-aα)m-2(xα-aα)S,2(bα-xα)S-

(bα-aα)M-2(xα-aα)S,

(19)

证明在定理5中取g≡1即可得证。

推论2设α∈(0,1]，0

(20)

注2式(20)给出式(1)在一致分数阶积分上的推广。

(21)

注3从定理5的证明过程可知，式(10)从左边数起第二个不等式的等号成立当且仅当

式(10)从右边数起第二个不等式的等号成立当且仅当

推论4设α∈(0,1]，0

(22)

(23)

证明在推论1中取x=b则式(22)得证。在推论1中取x=a则式(23)得证。

注4由一致分数阶可微函数的中值定理，若f是[a,b]上的一致α分数阶可微函数且存在常数m,M,m

因为α∈(0,1]，tα是[a,b]上的凹函数，故有

从而有

类似可证

因此式(22)强于定理1的式(2)。

(24)

其中

证明在区间[ti,ti+1](i=0,1,…,n-1)上应用定理4有

(25)

在式(25)中对i从0到n-1相加，则式(24)得证。