类比法在RLC串联电路分析中的应用

张宏根

（浙江省杭州学军中学，浙江杭州 310000）

物理学中不少不同部分的知识点之间有着紧密的联系，挖掘它们之间的关系，有助于理清物理学的知识脉络，并能够使所学的知识融会贯通.物理学习的研究方法很多，其中类比法是较为常见的一种研究方法.类比法指的是由一类事物所具有的属性，推测出其它类似事物也具有这种属性的一种推理方法.［1］这种方法能把具有相似之处的物理知识点放在一起进行对比，从而起到帮助记忆、加深理解，提高分析问题和解决问题的能力.［2］通过近年来的中学物理教学工作，笔者深刻认识到在教学中传授知识固然重要，但掌握好的学习和研究方法则可以让我们的学生终生受益.因此，在物理教学中教师应该注重传授物理学的研究方法，使学生学会运用这些方法解决问题，尤其是针对学习物理竞赛的学生，显得尤为重要.以下笔者就以RLC电路为例，探索类比法在物理学习和解题中的应用.

1 RLC串联电路的类比研究

物理中的不同知识点之间可能存在关联性和相似点，比如RC电路与RL电路，RLC 串联电路和LC电路分别与阻尼振动和简谐运动之间都具有很大的相似性，因此可以通过类比，将一种研究方法应用到另一种上，从而快速得出结论.以下就举例作简单的说明.

1.1 RC和RL串联暂态电路的类比

图1 显示的是RC 串联电路，其中电源电动势为E，电容为C，电阻为R.电容器充电后将电键开关接到2 的位置，电容器C通过电阻R放电，在放电的暂态过程中，电流i随时间t的变化关系可以通过基尔霍夫第二定律得到，具体如下.［3］

图1 RC串联电路示意图

通过对（1）式求导，并结合（2）式，得到RC 电路在放电暂态过程中的电流，即

可见，电路中的电流以指数形式变化，定义RC 串联电路的时间常数τ＝RC.

图2显示的是RL串联电路，其中电源电动势为E，电感为L，电阻为R.对比图1和图2，不难发现二者有很大的相似性，因此，可以类比RC 电路来分析RL 电路.当电键开关从1快速拨向2时，设初始条件t＝0时，i0＝.可以通过基尔霍夫第二定律，类比RC串联电路的（1）式，可以得到［3］

图2 RL 串联电路示意图

将（5）式和（3）式对比，不难发现二者高度相似，所以可以类比得出（5）式的解

通过以上对比分析不难得出短接的RC和RL电路暂态放电过程具有很大的相似性，表1 是二者的对照关系.

表1 短接的RC和RL电路暂态过程对比

1.2 RLC串联电路和阻尼振动的类比

图3 显示的是RLC 串联电路，其中电源电动势为E，电容为C，电阻为R，电感为L.假设电键开关从1快速导通到2，则在放电的暂态过程中，电流i随时间t的变化关系可以通过类比上述RC和LC 电路方法，由基尔霍夫方程得到，具体如下.［3］

图3 RLC串联电路示意图

将（2）式代入可得

此式与阻尼振动，即物体以不太大的速率在黏性介质中运动时，其阻力与运动的速率成正比（f＝－γv）情况下的微分方程类似，可以对两者进行类比.其中阻尼振动方程如下.［4］

综上所述，RLC、LC 串联电路分别与阻尼振动、简谐运动类似，其对应的电路物理量和振动的动力学物理量之间的对应关系如表2所示.

表2 RLC电路和振动的动力学各物理量的对应关系

2 类比法的应用举例

通过前述的类比我们发现：RLC 电路和动力学振动之间有极大的相似性，这种相似性表现在其方程的同构上.所以很有必要探索利用RLC 电路的相关知识来求解与之相似的动力学振动问题，或者利用动力学振动知识来求解RLC 电路问题，以期获得更为简洁的求解方法.以下就以两个相关的高中物理题举例说明.

例1.如图4，竖直匀强磁场B中放有两条平行无限长导轨，间距为l，导轨光滑无摩擦且为理想导体.在导轨上平行放着两根完全相同的质量为m的导体棒，每根棒上串联有电阻R，电容C，导体棒与导轨接触良好.初始时，棒1具有指向棒2 方向的速度v0，电容上无电荷，两棒间距足够大不会相撞.

图4

（1）求出电流随时间变化关系.

（2）将题中的电阻改成L的电感，其余不变，求电流随时间变化关系.

解析：此题的导体棒以一个初速度运动，可以类比为已经充电的电容器，其电压可以用导线切割磁感线产生的电动势Blv0来表示.在随后的运动过程，可以类比为RC的放电暂态过程和LC 电路的自由振荡过程.具体求解方法如下.

（1）如图5，假设两导体棒的运动速度分别为v1和v2，电流流向如图5 所示.由牛顿第二定律可得

图5

根据基尔霍夫第二定律，可得

两边求导，并结合（11）、（12）和（2）式，可得

令

则总电容就为C′，（14）式可以写成

（2）当电阻改为电感L时，根据基尔霍夫第二定律，并类比（13）式可得

两边求导，并结合（11）、（12）和（2）式，可得

将（15）式代入可得

将（21）式和简化的（8）式相比较，可以看出：两式具有完全一致的形式，所以串联电感的导体棒的运动过程可以类比为LC振荡电路.对照（10）式的解的形式，将串联电感电路中的C′、E0（＝Blv0）分别和LC 振荡电路中的C、E作类比，不难得出（21）式的解

例2.如图6所示，一个磁感应强度为B的均匀磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面，轨道平面与水平面有α的倾角.一根无摩擦的导体棒，质量为m，横跨在两根金属导轨上.若开关依次接通1、2，使电容为C或电感为L的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，求棒的稳定运动状态.

图6

解析：此题是将电容或电感与导体棒切割磁感线运动组合的一类问题.当开关接1，导体棒与电容器构成回路，导体棒开始以加速度a运动，并产生动生电动势而对电容器充电，同时电路中产生电流，此时棒会受到一个反向的安培力作用.当开关接通2，导体棒与电感线圈构成回路，棒开始运动后，随着速度增大，产生的动生电动势增大；电动势直接加在线圈两端，因此通过线圈的电流增大；而导体棒受到安培力的作用，越过平衡位置后减速，直至速度为0.电路电流开始时逐渐增大，在导体棒达到最低点时电路中电流最大.随后导体棒因安培力作用往回加速，动生电动势使电流减小，直至导体棒回到初始位置，电流减小为0.再重复上述过程，形成简谐运动.求解这类问题的常规方法是将导体棒和电容、电感分开分析，对导体棒应用动力学知识列方程；对电容、电感利用电学知识列方程.求解过程较为繁杂.我们可以根据例1的结论来进行求解，可以极大的简化求解过程，具体如下.

此时，就不需要考虑电学方面的问题，直接根据动力学知识，即牛顿第二定律就可以列出方程

此时的串联电路可以等效为LC振荡电路，得到其电流方程

从题中不难看出导体棒也将在平衡位置附近作简谐运动，此题通过类比法，将简谐运动化为LC 自由振荡电路求解，将极大简化计算过程.

不难得出当电流最大时，为导体棒的平衡位置，此时导体棒受力平衡，即重力沿着轨道的分力mgsinα和安培力ilB是一对平衡力，即平衡位置处的电流i0为

由题意知，初始时刻t＝0时的初始电流i＝0，可以类比LC振荡电路的解，并结合（27）式，得出（26）的解

在导体棒与电感线圈构成回路中，电压与电流的关系为

对（29）式两边积分，由初始条件，x＝0时i＝0，可得

将（28）式代入（30）式中，可得

即导体棒在作简谐运动.

3 结论

通过对RC和RL 电路类比，得出二者物理量之间的相似点；通过对比RLC 电路和阻尼振动，以及LC振荡电路和简谐运动，得出电学量与力学量之间的对应关系.这种类比法不仅便于学生快速掌握相关知识点，也有利于在解题和学习中开拓思维，触类旁通.为此，通过举例，利用导体棒做切割磁感线运动时的可以等效为电容C，进而可以通过RC 和LC 电路知识来求解这类电路串联电容和电感的相关问题；或者利用B2l2C将电容等效为质量m*，利用力学方法来求解电学问题.通过例题展示不难可以发现，使用这些方法可以得到更为简洁的求解过程.