非对称忆阻诱导的吸引子非对称演化与机理研究

武花干 周 杰 陈胜垚 陈 墨 徐 权*

①(常州大学微电子与控制工程学院 常州 213164)

②(南京理工大学电子工程与光电技术学院 南京 210094)

1 引言

由于纳米级制备工艺的限制，忆阻器尚不能像电阻器、电容器和电感器一样以独立元件形式走向市场。为便于科学研究，学者们采用物理器件近似建模[1,2]、数学理论建模[3,4]、仿真电路建模[5]和等效电路建模[6,7]等方法构建了多种忆阻模型，用以模拟忆阻物理器件的主要特性，从而探索忆阻器在人工智能[8]、计算神经科学[9,10]、电子信息科学[11,12]等领域的潜在应用。

忆阻器是含有内部状态变量的特殊非线性元件，具有不同非线性特征的忆阻模型，在振荡电路中诱发的动力学效应是有所差异的[13,14]。例如，文献[15]提出了一种非理想多分段3次忆阻模型，并将其引入Hopfield神经网络，新构建的忆阻Hopfield神经网络可以产生不同奇、偶数量的双涡卷吸引子。在一个Sallen-Key低通滤波电路引入忆阻二极管桥模拟器，可观察到周期与混沌簇发振荡现象[16]，在特殊参数条件下还可能存在超级慢通道效应[17]。文献[18]构建了一个基于流控型多项式忆阻的混沌振荡电路，生成了2×3-翼、2×2-翼与2×1-翼混沌吸引子。利用具有周期忆导函数的忆阻模型，文献[19,20]发现了周期切换的忆阻初值位移调控现象，为混沌信号无损切换控制提供了一种有效的实现思路。

端口紧磁滞回线是评测物理器件或数学模型是否为忆阻的关键依据[21]，其对称特性也是忆阻的重要特征之一。受到极板材料选择、介质反应机制等因素的影响，忆阻物理器件的端口紧磁滞回线存在着明显的非对称性，而多数忆阻数学理论模型、仿真电路模型与等效电路模型的端口紧磁滞回线则是对称的。通过破坏忆阻二极管桥中正向与反向电流流通路径的对称性，文献[22]提出了一种并联型非对称忆阻二极管桥(Parallel-type Asymmetric Memristive Diode-bridge, PAMD)模拟器，其端口紧磁滞回线具有非对称性特征。非对称非线性项的引入会造成动力学系统的对称性缺失，从而诱导出更加丰富而复杂的动力学现象[23,24]，如非对称同宿分岔、多稳定模态共存、气泡现象与临界转移等。鉴于此，本文提出一种有源PAMD模拟器，将其耦合到Sallen-Key高通滤波电路中，构建基于高通滤波器的无感忆阻蔡氏电路。研究无感忆阻蔡氏电路的复杂动力学现象，从而揭示有源PAMD模拟器的动力学效应及其产生机理。

2 有源PAMD模拟器及其指纹特征

受到双极性正弦电压激励时，忆阻二极管桥模拟器的端口伏安关系曲线呈现对称紧磁滞回线特征[6,16]。通过改造忆阻二极管桥模拟器中二极管整流桥的电路结构，比如在其中的一对桥臂上串联或者并联多个二极管，破坏整流桥电流正向和反向通路的对称性，获得了一个具有非对称的端口紧磁滞回线特征的忆阻模拟器[22]。本文将PAMD模拟器与负阻RN并联，得到了一个有源PAMD模拟器，如图1所示。其中，PAMD模拟器的二极管整流桥B1和B3桥臂上各并联m个二极管，m可作为PAMD模拟器的对称度控制参数。负阻RN由1个集成运算放大器和3个电阻Ra, Rb, RN连接而成，且Ra=Rb。有源PAMD模拟器的端电压为v，流经有源PAMD模拟器、负阻RN和PAMD模拟器的电流分别记为I, iN, iM，电容C0的端电压为v0。

图1 有源PAMD模拟器原理图

根据基尔霍夫电流定律，有

选择电路元件参数为RN= 700 Ω, Ra= Rb=1 kΩ, R0= 100 Ω, C0= 330 nF, IS= 5.84 nA,n = 1.94和VT= 25 mV，此时ρ = 10.3093 V-1。

在有源PAMD模拟器的输入端施加一个双极性正弦电压激励v = Vmsin(2πft)，其中Vm为激励幅值、f为激励频率。固定激励幅值Vm= 4 V，激励频率f分别设置为10 kHz, 20 kHz, 40 kHz和60 kHz时，以m = 4为例，绘制出了有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线，如图2(a)所示。观察图2(a)可知，有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线呈现类“8”字的紧磁滞回线，且随着激励频率的增大，紧磁滞回线的旁瓣面积逐渐减小。当激励频率继续增大时，紧磁滞回线收缩为一条单值函数。因此，该模拟器的端口伏安关系满足忆阻的3个指纹特征[21]。

固定Vm= 4 V, f = 40 kHz。当二极管桥B1和B3桥臂上并联的二极管数量m分别设置为1, 4, 8和16时，有源PAMD模拟器的端口伏安关系曲线，如图2(b)所示。随着并联二极管数量的增多，该模拟器的端口伏安关系曲线始终保持非对称的类“8”字形的紧磁滞回线特征。此外，从图2中的细节图可以看出，该模拟器的紧磁滞回线有部分线段进入了第2, 4象限，表明其具有局部有源性。

图2 紧磁滞回线数值仿真结果

采用有源PAMD模拟器端电流i的峰值与谷值之比来度量紧磁滞回线的非对称度AS，即

不同激励参数与对称度控制参数下，有源PAMD模拟器的非对称度演化情况如图3所示，其中图3(a)的参数设置为Vm= 4 V, m = 4以及激励频率f =[1, 60] kHz，而图3(b)的参数条件是Vm= 4 V, f =40 kHz以及m = [1, 16]。观察图3(a)可以发现，当激励频率在[1, 5] kHz区间内逐渐增大时，紧磁滞回线的非对称度AS慢慢减小；而当激励频率增大至5 kHz后，紧磁滞回线的非对称度AS将随着激励频率的增加逐渐增大。从图3(b)可知，随着m的递增，紧磁滞回线的非对称度AS逐渐增大，但其变化率逐渐减小。

图3 随f和m变化的紧磁滞回线非对称度演化情况

3 无感忆阻蔡氏电路的非对称演化

3.1 电路结构与数学模型

通过电阻R耦合Sallen-Key高通滤波器与MC振荡网络，构建了一个新型的无感忆阻蔡氏电路，如图4所示。图4左侧暗红色虚线框内电路为Sallen-Key高通滤波器，右侧绿色虚线框内为MC振荡单元络。与经典蔡氏电路相比，图4所示电路中不含有电感元件，更利于硬件电路实现与测试。

图4 无感忆阻蔡氏电路原理图

无感忆阻蔡氏电路中包含4个动态元件，即电容C1, C2, C3以及有源PAMD模拟器GM。选取电路中各电容的两端电压作为状态变量，并应用电路基本理论对无感忆阻蔡氏电路进行数学建模。无感忆阻蔡氏电路的数学模型可以描述为

其中，v3= v, k = 1+Rf/Ri。各电路元件的典型参数值为C1= C2= 100 nF, C3= 6.8 nF, C0=330 nF, R0= 100 Ω, R1= R2= 150 Ω, Ri= 3 kΩ, Rf= 6.6 kΩ, R = 1.2 kΩ, RN= 700 Ω和Ra= Rb= 1 kΩ。

引入新变量并作无量纲处理，即

设系统式(7)的状态初值(x0, y0, z0, w0) =(0.01, 0, 0, 0)，有源PAMD模拟器的对称度控制参数m = 1。选用MATLAB-ode45算法，并将“MaxStep”与“RelTol”分别设置为“10-3”和“10-7”，时间长度为[50 s, 100 s]，时间步长为1 ms。仿真得到系统式(7)的典型混沌吸引子如图5所示，表明无感忆阻蔡氏电路可产生与经典蔡氏电路类似的对称双涡卷混沌吸引子。

图5 系统式(7)的典型混沌吸引子

3.2 非对称演化现象

选择系统参数a3与忆阻对称度控制参数m作为控制参数，固定系统的其他参数。通过改变忆阻对称度控制参数m控制忆阻对称度发生变化，从而揭示系统式(7)的动力学行为随着忆阻对称度变化而诱发的吸引子的演化特征。利用数值仿真方法绘制的系统式(7)在3种不同稳定模态下的吸引子演化情况如图6所示，其中红色轨迹的状态初值为(0.01, 0,0, 0)，蓝色轨迹的状态初值为(-0.01, 0, 0, 0)。

由图6可知，当m = 1(对称忆阻)时，系统式(7)可产生关于原点对称的双涡卷混沌吸引子、共存单涡卷吸引子以及共存周期4极限环。当m = 4, 8和16(非对称忆阻)时，系统式(7)产生的(共存)吸引子关于原点的对称性也被破坏了。此外，当m = 4时，双涡卷吸引子的右侧涡卷退化至消失，右侧轨迹遍历区域逐渐缩小；同样地，右侧的共存单涡卷吸引子与周期4极限环也发生了萎缩；3类吸引子的稳定模态与m = 1时一致。当m = 8时，吸引子右侧、右侧共存吸引子遍历区域进一步缩小，且a3=1.7142对应的吸引子的稳定模态变为周期态，表明了周期窗的出现。当m = 16时，吸引子右侧、右侧共存吸引子遍历区域继续缩小；特别地是，a3=1.2766对应的左、右共存吸引子稳定模态不一致，左边是周期6极限环，而右边是混沌态；类似地，a3= 1.2245对应的左、右共存吸引子稳定模态也不一致，左边是周期4极限环而右边是周期2极限环。左、右吸引子共存状态的不一致，说明此时系统式(7)发生了非对称共存分岔。

图6 3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况

综上所述，忆阻模拟器对称特性的变化会导致系统吸引子拓扑结构及对称特性发生变化，形成非对称双涡卷吸引子或者非对称共存吸引子；此外，忆阻的对称度逐渐增大后，系统的分岔行为也会变得更加复杂，可能出现更多的周期窗，且存在明显的非对称共存分岔行为。

4 非对称演化的机理分析

4.1 平衡点与稳定性

以a3= 1.7142为例，讨论忆阻对称度控制参数m对系统平衡点位置的影响。利用数值方法分别绘制出m = 1, 4, 8, 16对应的f1(·)和f2(·)函数曲线，两条曲线的交点即为非零平衡点坐标z¯ 与w¯的解，如图7所示。m变化时，平衡点E0和E1的位置始终不变，而平衡点E2的位置发生了迁移。为了图示清晰，将图7中不同m值对应的左侧平衡点与零平衡点分别记为E1和E0，而将右侧平衡点记为E2,m。从图7中的局部放大图可以清晰地观察到，随着参数m的增加，右侧平衡点的位置向左下方迁移，逐渐向零平衡点E0靠拢。

图7 由曲线交点获得的平衡点及不同m时平衡点E2位置的演化

进一步地，通过数值计算得到各平衡点的特征根，并在表1中列出。分析表1中的数据可知，m分别为1, 4, 8和16时，平衡点E0和E1的特征根保持不变，且E0为不稳定鞍点，E1为不稳定鞍焦，而平衡点E2,m为不稳定鞍焦，其稳定性维持不变，但是其特征根的数值发生了变化，即负实数特征根的数值变小，共轭特征根的实部数值变大。这表明随着m的增大，系统式(7)的平衡点E2,m对其邻域内轨迹的吸引力逐渐减弱而排斥力逐渐增强，导致系统右侧涡卷萎缩且轨迹遍历范围减小。因此，平衡点及其稳定性分析的结果与系统相轨图的演化趋势是相吻合的。

表1 m取不同值时的系统平衡点稳定性

4.2 共存分岔与多稳定模态

选取系统参数a3作为分岔参数，并设置其观测区间为[1.1, 1.5]。当忆阻对称度控制参数m = 1和m = 16时，绘制出系统式(7)的分岔图与有限时间的李雅普诺夫指数谱(Lyapunov Exponents, LEs)，如图8所示。数值仿真中，分岔图与相轨图的仿真参数设置一致，且红色轨迹与蓝色轨迹的状态初值分别为(0.01, 0, 0, 0)和(-0.01, 0, 0, 0)。有限时间的李雅普诺夫指数谱的仿真参数中，时间长度与时间步长分别为200 s与1 ms，MATLAB-ode45算法的“options”为默认值。

观察图8(a)的分岔图可知，系统式(7)随着a3的增大从周期1经倍周期分岔路径进入混沌状态，然后受混沌危机的影响，从混沌状态进入周期状态，中间存在多个周期窗。参数a3在[0, 1.29)范围内，系统式(7)可产生共存单涡卷吸引子或者极限环，且每组左、右共存吸引子的状态与拓扑结构是一致的，说明在该区间内系统式(7)存在对称共存分岔行为；a3在(1.29, 1.50]范围内，系统式(7)可以产生对称的双涡卷吸引子。对比两组不同状态初值的李雅普诺夫指数谱可知，分岔参数a3变化时，共存吸引子的稳定状态是保持一致的。

由图8(b)可以看出，系统式(7)在参数a3连续变化下，存在3种分岔路径，即倍周期分岔、切分岔和逆倍周期分岔；此外，分岔图中存在着明显的气泡现象[26]。参数a3在[0, 1.29]范围内，系统式(7)可以产生共存单涡卷吸引子，但是共存吸引子的结构大小不同；另外，在多个区域内，左、右共存吸引子的稳定状态也是不同的，表明在这些区间内系统式(7)存在非对称共存分岔行为，以图8(b)中虚线划分的区域为例，在对称的状态初值下，红色分岔图呈现出周期状态，而蓝色分岔图则是混沌状态，两者稳定模态不一致，表现出明显的非对称共存分岔行为。

图8 与参数a3相关的分岔图和李雅普诺夫指数谱

进一步地，固定分岔参数a3= 1.2632，状态初值y0= 0, w0= 0，分别绘制出忆阻对称度控制参数m = 1和m = 16时，状态初值平面x0-z0的局部吸引盆，如图9(a)和图9(b)所示。由图9(a)可知，当m = 1时，系统式(7)的吸引盆是关于原点对称的，吸引盆对应的两种稳定模态记为L-CH1和R-CH1，表明此时系统式(7)具有双稳定模态，可产生关于原点对称的左、右单涡卷吸引子，如图10(a)所示。而观察图9(b)可知，当m = 16时，系统式(7)的吸引盆则是非对称的，吸引盆显示系统式(7)存在着4种不同的稳定模态，分别记为L-P3, R-P3,L-CH2和R-CH2，可产生的左、右周期3极限环和左、右单涡卷混沌吸引子，如图10(b)所示，两组共存吸引子关于原点都是非对称的。

图9 不同参数m时系统式(7)的吸引盆与共存吸引子

图10 不同参数m时系统式(7)的共存吸引子

上述分岔分析与多稳定性分析的结果表明，相比于对称的忆阻二极管桥模拟器，有源PAMD模拟器引入振荡电路后，促使振荡系统发生非对称演化，可诱发更加复杂的动力学行为。

5 硬件实验

根据图1和图3所示的电路原理图，制作无感忆阻蔡氏电路的实验电路，主要元器件包括1个精密可调电阻(RN)、8个金属膜电阻(R0～R2, R, Ra,Rb, Ri和Rf)、4个独石电容(C0～C3)、多个1N4148型二极管以及1片AD711JN型集成运算放大器(U)，并采用±15 V的双直流电源供电。利用Tektronix TDS 3034C数字示波器采集实验电路中各电容的两端电压，并在X-Y模式下获得捕捉对应的相轨图。注意，在采集电容C2的两端电压时需要使用一个增益为1的减法电路。

通过调节精密可调电阻RN的参数值、改变并联到二极管桥B1和B3桥臂上的二极管数量，以改变无感忆阻蔡氏电路的参数，电路实验捕捉到的相轨图如图11和图12所示。需要说明一下，系统式(7)是无感忆阻蔡氏电路的归一化无量纲方程组，两者对应的状态变量满足(x, y, z, w) = ρ(v1, v2, v3,v0)。对比图11与图5可知，实验测量结果与数值仿真结果是一致的。对比图12与图6，不同RN值条件下，两者所反映的随m值变化的吸引子演化趋势是一致的。但是，图12中的非对称共存吸引子的稳定模态与图6中的相应吸引子稳定模态存在差异，这可能是实验电路参数误差以及非对称共存分岔区间狭窄的原因导致的。

图11 硬件实验捕获的典型混沌吸引子

图12 实验捕获的3组不同稳定模态吸引子随m的演化情况(横轴变量均为v3，纵轴变量均为v1)

6 结论

鉴于忆阻物理器件通常具有非对称的端口紧磁滞回线特征，本文通过改造忆阻二极管桥模拟器，提出了一种有源PAMD模拟器，并进行了忆阻指纹特征验证和紧磁滞回线对称特性分析。结果表明，有源PAMD模拟器的端口紧磁滞回线的对称度随激励频率发生变化，改变并联二极管的数量可以实现对称度控制。此外，研究了有源PAMD模拟器在无感忆阻蔡氏电路中的动力学效应。当无感忆阻蔡氏电路中忆阻二极管桥模拟器的对称特性从对称变为非对称时，致使系统对称性缺失，系统动力学行为产生显著变化：(1)系统参数分岔路径复杂化；(2)(共存)吸引子非对称化；(3)系统稳定模态多样化。非对称忆阻建模及其应用电路特性的研究可以为忆阻物理器件的工程应用奠定合适的理论基础。