具有无限类混沌吸引子的保守混沌系统自适应滑模控制
2022-06-24颜闽秀接敬锋
颜闽秀，接敬锋
(1.沈阳化工大学 信息工程学院，辽宁 沈阳 110142；2.沈阳化工大学 工业环境-资源协同控制与优化技术重点实验室，辽宁 沈阳 110142)
混沌系统具有运动轨迹的不稳定性，主要表现在对初始值具有较强的敏感性以及对微小扰动的极端敏感性，这些特征使得混沌系统更适合应用于保密通信领域[1-3]。自1963年美国气象学家Lorenz在研究大气湍流现象时发现第一个混沌吸引子，至今已经取得许多重要的研究理论并在很多领域广泛应用。不同类型的混沌系统不断被提出，例如Chen系统[4]、Lü系统[5]、Sprott系统[6]等，但这些系统大部分是耗散系统。保守系统是混沌学中极其重要的组成部分，相较于耗散系统发展相对缓慢。由于保守系统不具有混沌吸引子，对于初始条件更加敏感，使得系统的运动轨迹具有不确定性，存在丰富的混沌特性。因此，对保守系统的类混沌吸引子共存现象研究具有重要意义。
吸引子共存指系统在不同初始值下会进入不同的轨道，从而形成不同吸引子现象。存在吸引子共存的混沌系统具有更好的灵活性和鲁棒性、更加复杂的混沌动力学行为，适用于多种工作场景。近年来，许多学者通过构造不同的非线性函数产生各种类型混沌吸引子。Yu等[7]通过在典型蔡氏电路中构造双曲正切三次非线性函数生成多滚动吸引子，构造的系统具有多吸引子共存特性并应用于混沌图像加密及混沌数字电路。Yuan等[8]提出带正弦函数的电感模型，在此基础上设计得到守恒混沌系统，并对系统的自复制混沌特性和爆破振荡机制进行了验证，展现系统通过偏移增强复制混沌吸引子的特点，但未对产生无穷多吸引子共存的可能性作进一步探讨。Lai等[9]介绍一种由简单忆阻器混沌电路引入非线性反馈控制输入产生无限多平衡点和大量共存吸引子的混沌系统，但没有详细阐述引入非线性反馈的限制条件。
混沌同步是混沌研究的一个重要分支，是通过施加外部控制或内部耦合动作实现两个或多个混沌系统在不同初始状态下最终达到状态一致的过程[9]。混沌系统在混沌保密通信、混沌同步控制方面有着广泛的应用[10-11]。目前混沌同步控制方面已取得一定的成果，如滑模控制、模糊控制、反演控制、自适应控制等[12-15]。而自适应控制器能修正自身的特性以适应被控对象和扰动动态特性的变化，适用于对象特性或扰动特性变化范围较大的场合。滑模控制器具有很好的鲁棒性，当系统处于滑动模态时对被控对象的建模误差、外部干扰等具有极佳的不敏感性。将自适应与滑模控制器有机结合起来能很好地解决系统参数不确定或变参数问题，具有良好的过渡过程性能和鲁棒性[16]。
本研究针对混沌系统的多吸引子共存特性，在Sprott A系统[17]的基础上增加余弦函数构建新的保守混沌系统。针对该系统进行动力学分析和数值仿真，并通过类比推理得到产生无限类混沌吸引子的可行性方法，同时分析初始值变化对系统的影响。设计自适应滑模控制器，在未知参数以及干扰有上界的情况下实现对新保守混沌系统的同步控制。与以往保守混沌系统不同，本研究提出的系统能够产生无穷多个混沌吸引子和类吸引子。
1 三维保守系统模型
设计一个含有余弦函数的保守混沌系统，其系统模型为：
(1)
式中：x、y、z为状态变量，a、b为系统参数。系统(1)来源于Sprott A系统，数学模型为：
(2)
2 三维保守系统的分析
2.1 新系统的时间序列图
混沌系统对于初始条件的敏感性非常高，现就系统(1)的初始值敏感性进行分析。当参数a=2、b=2时，取两组具有细微差异的初始值(0.1, 0.1, 0.1)和(0.000 1, 0.1, 0.1)，通过Matlab进行数值仿真实验，x、y对应的时间序列展现了系统对初始值的强烈敏感性，如图1所示。
2.2 李雅普诺夫指数、维度及平衡点
当参数a=2、b=2时，通过Matlab计算得到系统(1)的李雅普诺夫指数为：
L1=0.312 3，L2=0，L3=-0.312 3。
(3)
通过式(3)可以得到系统(1)的最大李雅普诺夫指数为正数，并且李雅普诺夫指数之和为0，说明系统(1)为保守系统。
图1 系统(1)的时间序列图
李雅普诺夫维数为：
(4)
令式(1)的右边等于0，即
(5)
将y=0代入b-y2=0，等式不成立，表明系统(1)不存在平衡点。
2.3 对称性及耗散度
系统(1)在(x,y,z)→(-x,-y,z)的坐标变换下是不变的，因此系统(1)关于z轴旋转对称。计算系统(1)的耗散度，得：
(6)
3 大范围的混沌特性
设参数b=2，以a为变量参数分析系统(1)的混沌特性以及保守性。a∈[0，6]时，初始值设置为(0.1，0.1，0.1)，令李雅普诺夫指数和为SL，参数步长为0.02，分别计算SL与李雅普诺夫指数LE1、LE2、LE3，如图2所示。
从图2(a)可以看出，当a∈[0,6]时，系统(1)的李雅普诺夫指数之和近似等于0，可以认定为保守混沌系统。
图2(b)表明，随着参数a的变化，系统(1)的动力学行为从混沌演变为准周期，再由准周期演变为混沌。当a∈[0，1.75]时，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系统处于混沌状态；当a∈[1.75，2.12]时，LE1=0，LE2<0，LE3<0，最大的李雅普诺夫指数为0，系统处于准周期状态；当a∈[2.12，6]时，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系统处于混沌状态，运动轨迹类似于混沌吸引子。
系统(1)中参数a的典型取值和对应的李雅普诺夫指数以及动力学性质如表1所示，相应的数值仿真结果如图3～6所示。
选取z=0作为截取平面，得到关于x-y平面的庞加莱截面图，如图7所示。由图7(a)可见，系统(1)处于混沌状态，运动轨迹是成片的密集点；图7(b)的庞加莱截面图上的密集点接近整圆，进一步表明系统(1)具有准周期特性；图7(c)表明系统正处在混沌状态，相图轨迹复杂，类似于混沌吸引子；图7(d)中的庞加莱截面图中具有成片的密集点，再次证明系统处于混沌运动状态。
图2 李雅普诺夫指数分析
表1 参数a的取值和所对应的李雅普诺夫指数以及动力学性质
图3 a=1时，系统(1)的轨迹相图
图6 a=5.5时，系统(1)的轨迹相图
图7 庞加莱截面图
4 无穷多的共存类吸引子
当a=3、b=2时，以(x0,0.1,0.1)作为系统(1)初始值，其中x0=2kπ，k为变量且k∈[-50,50]，以参数k作为控制变量，分析初始值的变化对系统的影响，如图8所示。
图8(a)中，当k∈[-50,50]时，分岔图上呈现密集点，从中选取k∈[-21,-19]以及k∈[19,21]的分岔图像，同样呈现密集点。如图8(b)所示,k=2时的庞加莱截面图清晰地展现了系统复杂的混沌特性。如图8(c)所示，系统(1)的李雅普诺夫指数LE1>0，LE2=0，LE3<0。如图8(d)所示，对李雅普诺夫指数LE1、LE2、LE3求和，结果为0，证明系统(1)为保守的混沌系统。
由于系统(1)中包含周期函数，使得系统产生类混沌吸引子共存现象成为可能。选取初始值(2kπ, 0.1, 0.1)，分别取k=-30、-29、-28、-27、-26、-25、-24，相应的类混沌吸引子如图9(a)所示；初始值选取(2kπ, 0.1, 0.1)，分别取k=-2、-1、0、1、2，得到形状轨迹各不相同的类混沌吸引子如图9(b)。显然，系统(1)存在类混沌吸引子共存的现象，在初始条件为(x0，0.1，0.1)，{x0|x0=2kπ，k∈Z}下，能够产生无穷多形状相似但轨迹各不相同的类混沌吸引子。
5 新型保守混沌系统的自适应滑模控制
选取系统(1)作为驱动系统，以如下形式表示：
(7)
图8 参数k变化对系统的影响
图9 共存的类混沌吸引子
响应系统为：
(8)
假定未知的Δfi(y)和ri有界，则存在未知正实数vi和di，使得
|Δfi(y)|≤vi,|ri|≤di。
(9)
定义同步误差ei=yi-xi,i=1,2,3。响应系统(8)减去驱动系统(7)得到误差系统
(10)
针对误差系统(10)选取滑模面
(11)
式中参数β的取值范围为0<β<1。设计控制器为：
(12)
设计自适应率为：
(13)
(14)
定理1在控制器(12)和自适应率(13)、(14)的作用下，误差系统的误差状态轨迹能够达到滑模面，并且误差系统渐近稳定。
证明：选取李雅普诺夫指数
求导得：
将式(10)和式(11)代入上式得：
(15)
根据式(9)进行放缩运算：
(16)
将式(12)代入式(16)得：
(17)
(18)
根据李雅普诺夫稳定性理论，误差状态轨迹能够达到滑模面，误差系统渐近稳定，证毕。
定理2误差轨迹到达滑模面，驱动系统与响应系统将在有限时间内实现同步。
证明：选取李雅普诺夫函数
求导得：
(19)
(20)
将式(20)代入式(19)中，得：
根据引理1进行放缩，得到：
根据引理2可知，误差系统将在有限的时间内稳定到0点，即驱动系统与响应系统在有限的时间内实现同步。综上所述，定理2证毕。
6 仿真分析
图10 驱动-响应系统同步的仿真框图
图11 同步误差e的仿真结果以及参数的辨识过程
7 结论
本研究对提出的新型多稳态保守混沌系统与耗散系统的混沌特性进行类比分析，分析了保守混沌系统特有的混沌特性。系统初始值的改变为实现无限类混沌吸引子提供了理论支撑。通过自适应滑模控制器能够对提出的保守混沌系统同步控制，进一步验证了自适应滑模控制器对于保守混沌系统同步控制的可行性。对保守混沌系统实现无限类混沌吸引子等方面作了进一步补充，在同步通信以及图像加密等领域具有一定的意义。
