基于S-P结构的非线性宇称时间对称分析

肖伟号，黄旭红

(福建工程学院 电子电气与物理学院，福建 福州 350118)

无线电能传输是借助电磁场或者电磁波传输能量的一种技术，无线电能传输系统功能性好、可靠性高，安全性及使用寿命较高，加上其无接触无磨损的特性，使其能够满足不同条件下多种电工设备的用电需求和信息传输的需求。然而无线电能在传输距离上受到很大的限制，随着距离的增加传输效率会降低，造成电力资源的浪费。此外其传输能量的过程很容易受到耦合线圈位置的变动而变化[1-2]，电子产品要被放置指定的位置方可进行电力传输。

2017 年, 斯坦福大学范汕洄教授团队提出非线性宇称时间对称原理增强型无线电能传输，实现高效电力传输。宇称—时间对称是描述微观物体运动基本理论的量子力学中的概念，一般来讲，物理中的对称性是指一个系统在特定变换下所呈现的内在不变性，宇称—时间对称性即空间反射和时间反演下的不变性[3]，利用这一原理制成的系统可以在约1 m距离的范围内保持电力传输效率不变。基于S-P结构的非线性宇称时间对称电路，根据耦合模理论[4]对电路进行分析，比一般的无线电能传输电路传输效率更高，能够实现不受耦合谐振线圈位置的变动的影响，从而对电力进行恒定传输，在很大程度上解决了无线电能传输过程中电子产品因没有放置“正确位置”而导致充电效率差、电力资源浪费的问题。

1 模型建立与分析

宇称守恒定律是由许多粒子组成的体系，不论经过的相互作用发生什么变化其总宇称保持不变，即原来为正，相互作用后仍为正；原来为负，相互作用后仍为负[5-6]，这一定律对于许多情况都是正确的。同样，将宇称对称定律应用于无线电能传输里，搭建基于S-P结构的传输电路，目的在于使得传输效率更加高效。研究基于S-P型补偿结构的宇称时间对称电路模型如图1所示。在文献[7]和[8]中采用开关器件作为供能端[7-8]。受文献启示，本研究中增益电路由直流电压源和半桥逆变器组成的结构为发射线圈供能。其中包括发射线圈和接收线圈调谐电容C1、C2，以及线圈存在的内阻r1、r2，RL为负载。忽略半桥逆变器的死区和延迟时间，其中Vdc为输入电压源。

图1 基于S-P结构非线性宇称时间对称电路图Fig.1 Nonlinear parity time symmetric circuit diagram based on S-P structure

其中iL1为发射线圈电流，sgn为符号函数。

耦合模理论(coupled-mode theory，CMT)一般用于研究电磁波之间的耦合规律，是微扰分析法的一种特例，适用于分析谐振模式和传输模式下的物理耦合系统特性。耦合模理论能够真正描述 WPT 系统能量特性，是分析WPT 技术传输特性的基础方法。一般的S-S型以及S-P型WPT 系统均可看作两个单独的 LC 振荡电路通过电磁耦合构成，考虑无损系统仅适用于理论分析，在实际电路中，往往需要考虑损耗以保障参数设计的可靠性。假定|a1|2、|a2|2分别为发射线圈和接收线圈包含的能量;w1、w2分别为两线圈的固有谐振频率;g1为发射线圈净增益，k为两线圈的耦合系数。令k=k12=k21，根据电路建立耦合模模型：

(1)

其中g0为发射线圈电路总增益，τ1、τ2、τL为发射线圈、接收线圈固有损耗率以及负载损耗率，为了得到稳态状态下的解，建立特征方程如下：

[j(w1-w)+g0-τ1]*

[j(w2-w)-τ2-τL]+k2=0

(2)

当电路中发生谐振时有w1=w2=w0,

(3)

根据式(3)可得到稳态解，当w≠w0，系统处于强耦合区间，即k>τ2+τL,系统存在两个谐振频率。此时，

(4)

当w=w0，系统处于弱耦合区间，系统只有一个谐振频率,即式(2)中只有一个解，

图2 弱耦合区域内g1*(τL+τ2) 与耦合系数关系曲线Fig.2 Relationship between g1*(τL+τ2) and coupling coefficient in weak coupling region

由式(4)可知系统的谐振频率会随着耦合系数的变化而变化，从而维持系统的损耗与增益。系统的输出功率为:

PL=2*τL|a2|2

(5)

同理可求得发射线圈以及接收线圈损耗为：

(6)

图2表示的是弱耦合区间发射端净增益与损耗的内积和耦合系数的关系曲线拟合图，实线表示预期效果。根据系统的饱和增益机制，在强耦合区域随着耦合系数的改变，系统工作频率会发生变化，通过改变增益来维持恒定的效率，发射端净增益系数与损耗系数相等，且发射端与接收端膜值相等，|a1|/|a2|=1。

当系统处于弱耦合区间(k<τ2+τL)时，随着耦合系数的减小系统增益值也在慢慢变小而损耗在增加，此时接受端的损耗衰减率远大于系统增益，当|a1|小到一定值时，增益电路又会对发射线圈进行供能。如图2所示，在耦合系数k=0.047时，发射端净增益与损耗内积和预期是有偏差的，这是因为系统由强耦合区间过渡至弱耦合区间时，随着损耗的慢慢累加，发射端增益并不会突然减小，随着供能电路结束供能，发射端增益开始慢慢减小，系统传输效率随耦合系数的改变而改变。

根据式(5)(6)分析，并对其进行计算，根据：效率=输出功率/输入功率。

可得到如下系统的传输效率为：

(7)

(8)

(9)

(10)

由式(7)可知系统计算出来理论的效率中，在强耦合区间效率会受到发射线圈以及接收线圈自身存在电阻值损耗的干扰，但是由于在实际电路中，发射线圈和接收线圈固有衰减率远远小于负载衰减率，发射线圈和接收线圈以及负载损耗分别为式(8)(9)(10)。可以看到当处于强耦合区间时系统的传输效率接近于1，表明在此时的传输效率是极高的，且此时的效率与耦合系数无关。根据式(7)验证了当系统处于强耦合区间时，系统的传输效率不再变化，即对线圈位置变化不敏感性，而当系统处于弱耦合区时，系统处于对称破缺状态，传输效率会随着耦合系数的变化而变化，电压、电流特性呈现分段的形式，在不同时刻，增益电路起到不同的作用。

2 仿真分析与实验分析

所谓“宇称”，可简单理解为“左右对称”或“左右交换”。按照这个解释，所谓“宇称不变性”就是“左右交换不变”[9]，有学者利用一侧(初级侧)控制的方法来进行恒功率传输[10]。为了验证基于S-P结构的非线性无线电能传输过程中能量的恒定性，研究结合理论与实践进行仿真实验与分析。

本研究的仿真参数分别设置为：输入电压源Vdc为30 V，电感L1、L2设置为101 μH，调谐电容C1、C2分别设为1.1 nF，线圈内阻r1、r2为1 Ω，负载阻值RL为15 Ω，谐振腔频率f0为471 kHz。

结合图1电路模型和仿真参数以及相关计算可以得到耦合系数与电路频率、电路传输效率的相关拟合曲线，从图3、4可以看出拟合曲线极大的拟合率，但K为耦合效率，与k耦合系数不同。

图3 耦合系数与频率理论值与实验值关系拟合曲线Fig.3 Fitting curve of the relationship between the coupling coefficient and frequency’s theoretical value and experimental value

k=(w×K)/2

(11)

影响传输效率的因素有很多，包括分析不同频带[11]会对传输功率产生影响，根据本研究分析电路中初始原边和副边谐振腔频率为f0=471 kHz,根据式(8)(9)(10)(11)可知电路的临界耦合系数为k=0.053,即当k≥0.053时，频率开始出现分裂，并且在w=w0时系统增益达到最大。此时处于强耦合区域，系统的效率不随耦合系数的变化而变化。根据w=2π*f结合式(4)可分析得到耦合系数和频率之间的关系式为:

耦合系数与系统传递效率以及耦合系数与频率关系的仿真拟合曲线如图3、4所示，由图3可知当系统频率大于0.052 74时系统中出现频率分裂，系统的传递效率不再随耦合系数的变化而变化，与理论分析中临界耦合系数为0.053时分析结果一致，且由图4可以看出传递效率达到90%以上,且以后不再随耦合系数的递增而变化，表明了在强耦合区域内，无线电能传输过程中的功率的恒定性。

图4 耦合系数与系统效率理论值与实验值关系拟合曲线Fig.4 Fitting curve of the relationship between the theoretical value and the experimental value of the coupling coefficient and the system efficiency

3 结论

根据第2节仿真参数进行实验，在保持直流输入电压Vdc为30 V，在强耦合区域，输入电压保持在10 V左右，功率15 W，传输效率达92%，且PT对称系统具有频率自适应系统能力，仿真结果符合耦合模理论。研究通过对基于S-P型结构的的PT对称的WPT系统电路进行分析，采用半桥逆变器作为负电阻为电路供电，通过耦合模理论对其分析维持恒定高效传输的机理，建立状态方程表达式，并根据系统结构对负载进行参数设计以及仿真实验分析验证了在PT对称强耦合区域内，系统传输效率的高效性和对耦合系数变化的不敏感性性。通过耦合模建模分析可知，研究所提高品质输电能力的全方向无线电能传输系统必须具备两个条件：原副边的固有谐振频率相等，即w1=w2=w0；另外线圈之间的耦合系数足够大，线圈的品质因数尽可能大，以降低系统损耗。基于S-P型结构的的PT对称的无线电能传输系统在一定程度上解决了因位置变动而带来的困扰，而且传输效率高，对无线电能传输的发展具有重要意义。