一种基于信息测度的多属性决策方法
2022-06-23魏丽君吴海波章若冰
魏丽君,吴海波,章若冰
(1.中南大学自动化学院,湖南 长沙 410001; 2.湖南铁道职业技术学院,湖南 株洲 412001)
0 引 言
熵、相似性测度和交叉熵是模糊理论中的3个重要的研究领域,在信息融合系统、医学诊断等领域有着广泛的应用。熵对于测量不确定信息非常重要。从熵出现以来,它受到了广泛的关注。Zadeh首先引入了模糊熵的概念来衡量决策信息的模糊性。此外,Luca和Termini提出了模糊熵应该遵循的原理[1-8],Szmidt和Kacprzyk基于直觉模糊基数的比值,给出了直觉模糊熵测度的原理化要求,并提出了一种IFSS的非概率型熵测度方法[9-10]。Ye提出了2种IVIFS的熵度量方法,并建立了一个熵权模型来确定熵的权重[11-12]。Jin等人基于连续有序加权平均(COWA)算子研究了区间值直觉模糊连续加权熵来处理MADM问题。而Majumdar和Samant引入了熵函数来测量SVNV中涉及的不确定性[13]。
相似性测度和交叉熵主要用于识别信息的度量,当前已经对此进行了大量研究,对熵定义、距离度量和相似度量都进行了详细的阐述,并讨论了它们之间的基本关系。Vlachos和Sergiadis提出了直觉模糊交叉熵的概念,并讨论了交叉熵和熵之间的关系。Beliakov等人研究了一种定义IFSS相似性度量的新方法[14-18],其中相似性度量包含相似性和犹豫性2个部分。Ye提出了在SVNSS之间获得MADM问题中所有备选方案的排序顺序的3种向量相似度测度方法,并在相似性度量缺点的基础上,基于余弦函数,构造了SVNSS的修正余弦相似性度量[19-21]。Majumdar和Samant根据2个SVN之间的距离提出了几种SVN的相似性度量方法[22-24],并讨论了它们的特点。
本文基于模糊熵、相似测度和交叉熵的概念引入单值中智信息函数信息测度的3个公理化定义,并基于余弦函数构造其信息测度公式,讨论支持向量网络的这些信息测度之间的关系,在此基础上研究一种MADM方法。
1 单值中智信息测量
1.1 单值中智集的熵
SVNS的熵由Majumdar和Samant(2014)[17]定义如下:
定义1 SVNS的熵A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}是满足以下公理的函数:ε:A→[0,1]。
1)ε(A)=0,如果A是一个明确集。
2)ε(A)=1,如果〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉=〈0.5,0.5,0.5〉,∀x∈X。
3)ε(A)=ε(Ac)。
4)ε(A)≥ε(B),如果A比B更不确定,即:
TA(x)+FA(x)≤TB(x)+FB(x)并且|IA(x)-IAc(x)|≤|IB(x)-IBc(x)|。
然而,在某些情况下,定义1中的公理化需求4可能是不切实际的。因此,SVNSS的熵定义需要改进。
1)E(α)=0当且仅当αt=0或者αt=1,t=1,2,3。
2)E(α)=1当且仅当〈α1,α2,α3〉=〈0.5,0.5,0.5〉。
3)E(α)=E(αc)。
4)E(α)≤E(β),如果β比α存在更不确定性,即αt≤βt当βt-βtc≤0,t=1,2,3或者αt≥βt当βt-βtc≥0,t=1,2,3。
基于余弦函数,构造了SVNVS的信息测度公式如下:
(1)
1.2 单值中智相似度测度
定义3 假设α和β是2个SVNVS,α和β之间的相似性度量表示为S(α,β),应满足以下公理要求:
1)当且仅当αt-βt=1或者αt-βt=-1时,S(α,β)=0,t=1,2,3。
2)当且仅当〈α1,α2,α3〉=〈β1,β2,β3〉时,S(α,β)=1。
3)S(α,β)=S(β,α)。
(2)
则等式(2)定义的映射S1(α,β)是α和β之间的相似测度。
1.3 单值中智交叉熵
定义4 假设α和β是2个SVNVS的α和β之间的单值中智交叉熵,表示为C(α,β),应满足以下2个公理要求:
1)C(α,β)≥0。
2)C(α,β)=0⟺〈α1,α2,α3〉=〈β1,β2,β3〉。
(3)
由等式(3)定义的映射C1(α,β)是α和β之间的交叉熵。
2 单值中智熵、相似测度和交叉熵之间的关系
令α为一个SVNV,那么S(α,αc)是其单值中智子熵,即:
E(α)=S(α,αc)
(4)
这足以证明S(α,αc)满足定义2中列出的要求1~4。
1)E(α)=0⟺S(α,αc)=0⟺αt-αtc=1或者αt-αtc=-1,t=1,2,3,即:
αt-(1-αt)=1或者αt-(1-αt)=-1,t=1,2,3
(5)
所以,若式(5)成立,则:αt=0或αt=1,t=1,2,3。
2)E(α)=1⟺S(α,αc)=1⟺〈α1,α2,α3〉=〈α1c,α2c,α3c〉
⟺〈α1,α2,α3〉=〈1-α1,1-α2,1-α3〉
⟺αt=1-αt,t=1,2,3⟺αt=0.5,t=1,2,3
⟺〈α1,α2,α3〉=〈0.5,0.5,0.5〉。
3)E(αc)=S(α,αc)c=S(αc,α)=S(α,αc)=E(α)。
4)如果αt≤βt,当βt-βtc≤0,t=1,2,3,可得βt-(1-βt)≤0,t=1,2,3,即:
βt≤1-βt,t=1,2,3,可得:
αt≤βt≤1-βt≤1-αt,t=1,2,3,即:
αt≤βt≤βtc≤αtc,t=1,2,3。
因此可以推断:S(α,αc)≤S(β,αc)≤S(β,βc),即:E(α)≤E(β)。
同样,如果αt≥βt,当β-βc≥0,t=1,2,3时,可得E(α)≤E(β)。
因此可以推出,令α是一个SVNV,则:
E1(α)=S1(α,αc)
(6)
令α和β是2个SVNV,则1-S(α,β)是其单值中智交叉熵,即:
C(α,β)=1-S(α,β)
(7)
1)因为单值中智相似度量S(α,β)∈[0,1],所以:
C(α,β)=1-S(α,β)∈[0,1]
(8)
很明显,C(α,β)≥0。
2)C(α,β)=0⟺1-S(α,β)=0⟺S(α,β)=1,当且仅当〈α1,α2,α3〉=〈β1,β2,β3〉时,S(α,β)=1。
令α和β是2个SVNV,则:
C1(α,β)=1-S1(α,β)
由此可以得到如下定理:
定理1 令α是一个SVNV,则1-C(α,αc)是其单值中智熵,即:
E(α)=1-C(α,αc)
推论1 令α是一个SVNV,则E1(α)=1-C1(α,αc)。
3 单值中智信息测度的MADM方法
3.1 确定属性权重的方法
为了得到最优的选择方案,首先提出一种基于熵和交叉熵的属性权重向量确定方法。一方面,考虑属性Cj的熵,属性Cj的平均熵E(Cj)如下:
(9)
每个E1(αij)可通过式(1)计算。根据熵理论,一个属性的熵在不同的选择中是较小的,然后该属性应该被赋予更大的权重。
另一方面,对于属性Cj,备选方案Xi对所有其他备选方案的平均交叉熵可以表示为:
(10)
属性Cj的平均交叉熵可以表示为:
(11)
其中每个Cj,C1(αij,αkj)可以通过式(3)计算。众所周知,一个属性的交叉熵越大,那么该属性就应该被赋予一个更大的权重。如果属性Cj,j=1,2,…,n的权重wj的信息完全未知,则可以使用以下的熵权方法来确定属性权重:
(12)
属性Cj,j=1,2,…,n的权重wj的信息可以通过构造以下优化模型以获得最优权重向量:
(13)
3.2 基于信息测度的MADM方法
在MADM问题中,让X+={α1+,α2+,…,αn+}和X-={α1-,α2-,…,αn-}分别作为它们的交易替代品和反理想替代品,其中αj+=〈1,0,0〉,αj-=〈0,1,1〉,j=1,2,…,n。
基于上述分析,本文提出一种单值中智环境下的MADM方法,其主要步骤如下:
(14)
Step2利用等式(12)或模型(13)确定属性的权重向量:W=(w1,w2,…,wn)。
(15)
(16)
Step4计算方案Xi与理想方案的接近度为:
(17)
Step5按降序排列所有接近度T(Xi),i=1,2,…,m。
Step6根据接近度T(Xi),i=1,2,…,m选择最佳备选方案。最好的选择是最大maxT(Xi),i=1,2,…,m。
Step7结束。
4 验证实例
利用本文所提出的方法对该MADM问题进行处理。主要步骤如下:
Step2由于属性Cj(j=1,2,3,4)的权重wj信息完全未知,因此利用等式(12)计算属性的权重向量,如下所示:
w1=0.2107,w2=0.3011,w3=0.1067,w4=0.3815
Step3利用式(15)和式(16)确定城市Xi与理想城市X+和反理想城市X-之间的相似性度量:
S+(X1)=0.3317,S+(X2)=0.3845,S+(X3)=0.5319,S+(X4)=0.4486,S+(X5)=0.3627,S-(X1)=0.4481,S-(X2)=0.3977,S-(X3)=0.2885,S-(X4)=0.3419,S-(X5)=0.4240
Step4利用式(17)得到城市Xi与理想城市的接近度T(Xi)(i=1,2,3,4,5):
T(X1)=0.4254,T(X2)=0.4916,T(X3)=0.6483,T(X4)=0.5675,T(X5)=0.4610
Step5由于T(X3)>T(X4)>T(X2)>T(X5)>T(X1),可得到Xi(i=1,2,3,4,5)的排名是X3>X4>X2>X5>X1,受雾霾污染最严重的城市是X3。
Step6结束。
下面,采用文献[11]提出的方法进行比较研究。利用文献[11]的方法来处理上述问题,具体的决策步骤如下:
Step1同上Step1。
Step2利用SVNA和B之间的相似性度量公式(即文献[11]中的等式(6)):
可以得到城市Xi和理想城市X+之间的相似性度量T(Xi,X+)(i=1,2,3,4,5):
T(X1,X+)=0.2301,T(X2,X+)=0.1413,T(X3,X+)=0.3561,T(X4,X+)=0.2639,T(X5,X+)=0.2381
Step3根据相似性度量的结果,得出:
T(X3,X+)>T(X4,X+)>T(X5,X+)>T(X1,X+)>T(X2,X+)
那么所有城市Xi(i=1,2,3,4,5)的排名是X3>X4>X5>X1>X2。因此,受雾霾污染最严重的城市是X3。
根据上述实例,与文献[11]提出的方法相比,本文提出的方法具有以下一些优势。
1)本文提出的MADM方法的应用范围较文献[11]更广。此外,本文所提出的MADM方法可以管理决策信息为SVNVS的问题。
2)本文的方法以信息度量为重点,文献[11]提出的方法以距离度量为重点,这2种方法都适合处理备选方案权重向量未知的情况。然而,本文所提出的MADM方法得到的排序结果更合理和可信。
3)在决策过程中,采用MADM方法得到排序结果,考虑了所有决策信息,但文献[11]提出的排序结果会导致信息丢失,因为采用了豪斯多夫距离,忽略了一些中间值。因此,本文提出的MADM方法可以得到更准确的结果。
5 结束语
目前,许多信息测度方法应用于MADM问题,但这些方法不能用来处理单值中智MADM问题。在单值中智环境下,本文介绍了信息测度的3个公理化定义,包括熵、相似测度和交叉熵,在余弦函数的基础上构造了信息测度公式,然后讨论了单值中智信息测度之间的关系,并在此基础上提出了一种处理MADM问题的新方法。最后,通过数值算例验证了该方法的有效性。