MIMO雷达相位编码波形集相关函数下界综述

孙进平 刘天趣 胡卫东

（1.北京航空航天大学电子信息工程学院，北京 100191；2.国防科技大学电子科学学院，湖南长沙 410073）

1 引言

多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷达采用多发多收天线，可以灵活配置天线方向图、合成虚拟阵列单元。对不同的任务环境，灵活的信号处理方式可以自适应地最优化MIMO雷达性能，比如提高抑制杂波和干扰的能力、提高参数估计精度以及改善系统能量利用率等［1-2］。这些优势均基于理想正交波形集的假定，但实际雷达波形的时宽带宽是受限的，只能实现部分正交波形集。部分正交波形集性能的重要指标为互相关函数，其值越小，波形集的正交性就越好。互相关函数下界确定了MIMO雷达部分正交波形集设计的边界条件，对MIMO 雷达的应用方向具有非常重要的理论指导意义［3-4］。

MIMO 雷达波形的正交性或者分集可以基于以下三种方式来实现：时分、频分、码分。时分波形虽然简单易实现，但会影响雷达脉冲重复频率范围和探测距离范围。频分波形在频域对互相关干扰进行抑制，缺点是需要占用更宽的频带，且可能产生相参增益损失。码分波形来源于通信领域中的码分多址（Code Division Multiple Access，CDMA）技术，在时宽、带宽利用率上比时分波形、频分波形高。更高的时宽和带宽利用率意味着更高的MIMO雷达分集增益，所以上述三种波形分集方案中，码分波形更有优势。又因为MIMO雷达系统输出级的功放一般工作在饱和区，恒模波形有利于工程实现，所以恒模相位编码波形集是被研究最多的MIMO雷达波形集［5-6］，本文对互相关函数下界的讨论也限定为针对恒模波形。

MIMO 雷达一般为脉冲雷达，与通信领域中的CDMA技术不同，MIMO雷达希望波形集具有尽可能低的非循环互相关函数，以获得更高的MIMO分集增益。为此，许多研究者提出了结构化的相位编码波形集表达式，或者对其参数进行优化设计来获得具有更低的自相关函数旁瓣与互相关函数峰值的波形集［7-9］。除了找到具有低互相关函数的波形集，确定互相关函数峰值的下界也是一个重要的研究方向，它确定了波形设计时互相关函数指标值的边界条件。尽管相关理论结果最初针对的是通信应用，但其实质是一个信号分析的基础问题。本文对已有恒模相位编码部分正交波形集相关函数下界的研究进行了总结，将其分为相关函数峰值旁瓣下界、相关函数积分旁瓣下界、互相关内积下界、互补序列相关函数下界四大类。相关函数峰值旁瓣下界与雷达的工程应用密切相关，相关函数积分旁瓣下界的提出是为了衡量相关函数的整体性能，互相关内积下界早在数学领域中被提出，互补序列相关函数下界的提出是服务于互补序列的设计。在这些下界之中，MIMO 雷达研究者最关心的是非循环相关函数峰值旁瓣下界，但是该下界是所有下界中最难以从数学上进行分析的。四类下界从不同角度反映了非循环相关函数的性质，除了从数学上直接推导更紧的非循环相关函数峰值旁瓣下界，现有研究表面，四类下界之间的联系对求解下界也可以起到一定的辅助作用。

目前，国内外几乎没有研究者提出非循环互相关函数达到或接近下界的结构化波形集，但在循环相关函数条件下，有不少研究者提出了许多性质优良的波形集，典型的波形集包括：Chu 序列［10］、P 序列［11］、Björck 序列［12］和Kasami 序列［13］等，本文仿真表明这些波形集中有几种波形的非循环相关函数也较低。除此之外，基于Multi-CAN［14］和BiST［15］等方法也可得到非循环相关函数较低的MIMO雷达相位编码波形集。本文仿真结果表明，已有的相关函数下界和现有波形集的相关函数指标之间还存在一定距离，说明这些下界还不是紧的，而找到更紧的界对MIMO雷达波形设计具有重要意义。

2 恒模相位编码波形集相关函数

恒模相位编码波形集根据其信号相位的取值集合不同可分为二相编码、多相编码和连续相位编码等。无论相位码取值如何，MIMO 雷达恒模相位码序列都可定义为

其中M和N分别为波形数和相位码序列长度。对于连续相位码而言，P 即为复数域C，对于其他进制的相位码而言，P 都是C 的子集。对恒模复序列xm，要求|xm[n]|=1。在已有的一些相位编码波形集相关函数下界研究中，为了便于解析分析以得到近似解，有时会将恒模约束松弛为恒能量约束，即

无论具体相位码取值如何，相位码相关函数都被定义为

在MIMO 雷达中，相关函数最重要的性能指标主要包括互相关函数峰值比（Peak Cross-Correlation Ratio，PCCR）、自相关函数峰值旁瓣比（Peak Autocorrelation Side-lobe Ratio，PASR）和相关函数峰值旁瓣（Peak Side-lobe Level，PSL），定义为

其中ruv[k]可代表循环或者非循环相关函数，下文中，如果指标值的上标为P，则其针对的是循环相关函数，如果指标值的上标为AP，则其针对的是非循环相关函数。上述三个性能指标越低，MIMO 雷达各发射波形之间的互相关干扰以及自相关函数旁瓣就越低。由于自相关峰值总在时延为0 时取得，所以对于恒模相位码序列而言，|ruu[0]|2=N2恒成立，无论讨论相关函数何种性能指标，均将其作为比较的基准。除了上述三个指标之外，常用的指标还有相关函数积分旁瓣和互相关内积比。相关函数积分旁瓣（Integrated Side-lobe Level，ISL）定义为

互相关内积比（Inner-Product Ratio，IPR）不考虑相关时延，所以循环或是非循环相关函数不影响该指标值，IPR的定义为

简言之，ISL指标计算了相关时延不为0处的自相关函数值，以及所有互相关函数值的平方和，反映了相关函数的整体特性。PSL指标计算了自相关函数旁瓣峰值和互相关干扰峰值的最大值，反映了相关函数的局部特性。IPR 指标仅仅计算了相关时延为0 处的互相关函数值。PSL、ISL、IPR 等指标值均是越小越好，但不能小于下界，最紧的下界即数学意义上的下确界，在无法确定下确界时，更紧的下界离下确界更近。

3 相关函数峰值旁瓣下界

MIMO 雷达系统在匹配滤波之后希望相关函数峰值旁瓣越小越好，确定相关函数峰值旁瓣下界对波形设计有重要的参考价值，Sidelnikov最初在1971年提出了一种循环相关函数峰值旁瓣下界［16-17］

其中PSLP代表循环相关函数峰值旁瓣，参数k为整数且满足0 ≤k≤N2，p代表Sidelnikov 界针对的是多相码序列，且其相位取值为单位复数的p次根，Sidelnikov 界相关理论参见文献［18］，单位复数的p次根满足的方程为

此时式（1）中约束相位码取值的集合为

针对相位码取值为单位复数p次根的相关函数研究可参见文献［19-20］。

Welch 与Sidelnikov 差不多同时提出了不同的相关函数下界［21］，Welch 用组合数学的方法推导了循环、非循环相关函数峰值旁瓣的下界。Welch 界和Sidelnikov 界的大小关系在不同(M，N)参数下不同。Welch 界对任意相位码序列均适用，而Side⁃lnikov 界仅适用于多相码序列的循环相关函数。在非循环相关函数情况下，Sidelnikov 界无对应结论，只能参考Welch界，其定义为

其中q为正整数参数，PSLP和PSLAP分别代表循环和非循环相关函数峰值旁瓣，WP(M，N)和WAP(M，N)分别代表循环和非循环情况下的Welch 界。当q>1 时，对大多数(M，N)取值而言，上述界的值小于零，所以一般只有q=1 时的结果对波形设计有一定参考意义，即

目前循环情况下有波形在部分(M，N)值时达到了WP(M，N)，但在非循环情况下没有波形达到下界WAP(M，N)。Sarwate 将PASR 和PCCR 分开推导，在Welch界的基础上导出了更一般化的结果［22-25］

将PSL=max(PASR，PCCR)代入可得到与式（12）和式（13）所示的Welch界。

依照Welch 和Sarwate 的推导思路，只考虑相关时延靠近0的一部分区间内的自相关函数副瓣和互相关函数，而忽略距离相关时延为0 位置较远的相关函数，这样得出的界被称为Tang-Fan界［26-27］

其中Lcz约束相关时延，|k|≤Lcz，循环相关函数情况下的Tang-Fan 界是WP的推广，当设置Lcz=N-1时，则下界考虑了相关函数所有时延位置的值，这样得到的结果即为Welch 界。同理用相同方法对Sarwate界进行操作，可得到类似结果［28-30］

可以验证当Lcz=N-1时上式即为Sarwate界。Tang-Fan 界和一般化的Sarwate 界在相位编码波形集设计领域也有重要参考意义。例如，We-CAN 算法［14］设计的一类波形集在自相关主瓣附近时延位置的互相关函数和自相关函数较低，而其他位置的相关函数可以高一点，当使用We-CAN 算法设计波形集时，Tang-Fan 界和一般化的Sarwate 界就可以作为参考。

现有的Welch 界、Sarwate 界等相关函数下界的推导均以下面的求和式为起点

其中Sq代表所有时延位置相关函数模的2q次方之和。但由式（3）可以直接发现，非循环相关函数在时延为k时的计算过程为N-k项求和，而循环相关函数不管k取值如何，均为N项求和。在Welch 界、Sarwate 界中，Sq均为直接相加，并没有考虑到非循环相关函数在不同时延位置的相关函数的独特性，这有可能是Welch 界和Sarwate 界在非循环情况下不够紧的原因。Levenshtein 首次在式（18）中引入加权系数来提高非循环相关函数的Welch界［31-34］，在说明如何加权之前首先介绍非循环相关函数的另一种表达方式，即

其中xu0N-1表示在序列xu后补N-1 个0 之后的长度为2N-1 的序列，Ts(⋅)表示循环移s位。经过加权后的式（18）为

其中，w为待定的加权系数向量，其定义及约束条件为

在限定波形为二相编码的条件下，对求和式（20）的不等关系进行推导可得到更紧的界，其表达式为

其中N2是作为参照的自相关峰值，Q2N-1(w，a)是一个二次型，其定义为

Levenshtein 得到的界在均匀权系数，即wi=1(2N-1)，i=0，1，…，2N-2 时就等于Welch 界。不难发现，权重系数影响的是不同相关时延位置的相关函数值在求和式（20）的比重，这与非循环相关函数的本质规律有联系。所以问题转化为求解式（22）所示的二相编码序列相关函数峰值下界的最大值，即求解使二次型Q2N-1(w，a)最小的权系数向量w。二次型Q2N-1(w，a)的矩阵为

求二次型最小值的问题表示为

其中T 表示转置，Q2N-1(a)是实对称矩阵，一定可以对角化，其特征值为

目前上述二次规划问题没有解析解，并不能用常规的二次规划方法求解，具体见文献［35-36］。一种简单直接的方式是尝试不同的权系数，据此Lev⁃enshtein 提出了两种界，均在一定的(M，N)取值范围内比Welch 界更紧。随后Liu Zilong等［37-38］也提出了一些新的权系数，采用了类似于正弦窗函数加权等形式，同样在部分(M，N)范围内得到了更紧的Levenshtein界，这些权系数向量、对应的Levenshtein界以及约束条件归纳于表1中。

表1中的界是通过设置不同的加权系数得到的Levenshtein 界，其前提条件为波形集是二相编码的。事实上，Arlery等［39］证明了公式（22）所示的Levenshtein 界的表达式其对恒模多相码序列也成立，所以表1 中结论均可推广到多相编码情况下。除此之外，Arlery 所提下界还考虑了非循环相关函数在一些特定相关时延位置的特性，即

表1 Levenshtein界与其对应权系数向量Tab.1 Levenshtein bounds and their weight vectors

上述特性利用了如下性质：当非循环相关函数时延为N-1 时，函数值一定为两个模为1 的复数的乘积，所以其模为1，当非循环相关函数时延为N-d时，函数值一定为d个模为1 的复数的积的和，所以一定小于等于d。在推导Levenshein 界的中间过程增加式（27）和（28）所示的条件，可以得到一个受参数D控制的结果

其中D为d的最大值，意味着只考虑时延为N-D到N-1的项，Ad和的详细定义参见文献［39-40］。

4 相关函数积分旁瓣下界

虽然已有很多非循环相关函数峰值旁瓣下界的结论，但目前优化相关函数峰值旁瓣较困难，所以现有的几种性能最优越的波形设计算法优化的是相关函数的积分旁瓣，为了衡量它们的优化效果，相关函数积分旁瓣下界也被提出。最初Sarwate推导了相关函数积分旁瓣的下界［41］，无论是非循环还是循环相关函数，积分旁瓣的下界均为

其中BISL为积分旁瓣下界，文献［42］用另一方法得到了相同结果。目前在循环、非循环情况下均有波形几乎达到该下界，所以该下界被认为是紧的。除了考虑整体的积分旁瓣，Sarwate 还推导了更一般的相关函数求和式的不等关系［41］

若将上式中波形集（或称为序列集）任意两个序列的不等关系相加，即可得与式（30）相同的结果。

不同于相关函数积分旁瓣ISL 的定义，另一种类似的指标相关函数整体平方和（Total Squared Correlation，TSC）的定义为

其中TSCP和TSCAP分别表示循环和非循环情况下的TSC求和式。

5 互相关内积下界

互相关内积下界原本就是一个数学问题，它的理论结果对分析相关函数的性质有一定意义，可以作为其他类下界研究的基础。互相关内积不考虑相关时延，相当于只关心ruv[0]的大小，其对积分旁瓣、峰值旁瓣的大小有一定参考意义。Welch 也用类似于推导WP和WAP的方式推导了互相关内积下界［21］，表达式为

其中WI表示Welch 互相关内积下界，当M≤N时WI=0。当q=1时

不难发现，将式（36）中的M替换为乘积MN，则可得到式（12）所示的WP，这是因为它们都是根据离散数学的相关理论推导得出的［21］。因此，虽然互相关内积下界不直接影响MIMO 雷达波形集设计，但互相关内积下界的研究对相关函数峰值旁瓣下界的研究有参考意义。

文献［47］中提及了一种互相关内积下界，被称为指数界（Exponential bound），在约束条件为M>2N-1的情况下为

文献［48-49］中介绍并定义了另一种互相关内积下界，当M>N2时，表达式为

其推导过程与式（22）所示的Levenshtein非循环互相关峰值界类似。由于对M与N的限制条件，式（37）和式（38）所示下界对MIMO 雷达波形集无实际意义。

6 互补序列相关函数下界

互补序列相关函数下界的提出是为互补序列的应用服务的，互补序列最早由Golay 提出，Golay提出的互补序列包含两个码组，每个码组中的两个序列分别通过匹配滤波器接收，最后求和［50］。基于这种处理方式可以使得两个码组之间具有理想的互相关函数，互补序列随后被推广到更一般的多个码组的情况［51-53］。类似于上述相位码序列，对有M组互补序列组的波形集而言，每个互补码组由L个码长为N的相位码序列组成。互补序列的相关函数定义为

用改进WAP的相同的方法，文献［54-57］推导了更紧的互补序列相关函数下界

上述互补序列相关函数下界均源自于Welch［21］和Levenshtein［34］对普通相位编码序列相关函数的推导。除此之外，文献［58］借鉴了Tang-Fan 界的思路，推导了互补序列相关函数在指定时延范围内的下界。互补序列的相关函数下界的结果大多可以从相位编码序列的结果推广而来，事实上相位编码序列集可视为L=1 情况下的互补序列集。互补序列有更多的自由度，所以推导互补序列的下界也有更多的可能性，文献［59］给出了一种频域方法来优化权重系数向量w，得到了更紧的互补序列相关函数下界

其中M的约束条件为

7 相关函数下界之间的联系

从上述相关函数下界的结果中不难发现，其中很多结果有一定的联系。Welch 界在循环与非循环相关函数峰值旁瓣下界、互相关内积下界、互补序列相关函数下界中均有结论，根据式（10）和式（35）可知，Welch所得循环相关函数峰值旁瓣下界WP与互相关内积下界WI有如下联系

同理，非循环相关函数峰值旁瓣下界WAP、互补序列相关函数下界与WAP存在如下联系

这些下界之间的相互关系是基于Welch 的理论得出的，它们均来源于式（18）中的求和式及其不等关系。基于这种数学上的联系，对于某一类不够紧的界而言，可以根据(M，N)的参数变换来改进。例如，Soltanalian等［60］就通过比Welch 界更高的互相关内积界、式（45）～式（47）所示的Welch 界之间的联系给出了更紧的非循环互相关函数峰值旁瓣下界。除了Welch 界自身之间的联系，式（22）所示的Levenshtein 非循环相关函数峰值旁瓣下界(w，M，N)与Welch界也有联系，即

上述相关函数下界之间的关系从不同角度反映了相关函数的特性，相关函数是一个非线性的非初等函数，其中非循环相关函数的数学性质最不好，但其峰值旁瓣下界恰恰是MIMO雷达关心的指标。而循环相关函数、互补序列相关函数以及互相关内积的性质与其有一定相似性，所以在求解非循环相关函数峰值旁瓣下界时，上述下界之间的关系有可能起到辅助作用。

8 相位编码波形集相关函数下界数值仿真

现有的研究结果表明，循环相关函数峰值旁瓣下界、积分旁瓣下界、互相关内积下界和互补序列相关函数下界是紧的，即存在序列达到下界。而对MIMO 雷达正交波形集设计及应用最重要的非循环相关函数峰值旁瓣下界却不是紧的。所以本节主要仿真了不同波形数和相位码序列长度下的非循环相关函数峰值旁瓣下界，并将现有的非循环相关函数峰值旁瓣较低的波形集与下界进行了对比。

图1为M=2 时相位编码波形集非循环相关函数下界与现有相位编码波形集的对比。图1中圆圈表示Chu序列［10］的PSLAP指标值，由于Chu序列只在码长N为质数时存在，按照其表达式能产生M=N-1 个互相关函数性能优良的序列，而在其他(M，N)参数情况下没有解，所以本文从原始Chu 序列集中优选相应数量的码序列得到了图1 的结果，其中N=(17，31，61，127，509，743，1031)。图1 中Multi-CAN 算法［14］设计得到的波形集码长为N=（16，80，144，208，272，336，400，464，528，592，656，720，784，848，912，976，1040）。BiST 算法［15］的参数设置与Multi-CAN 相同。图1 中菱形表示文献［34］中的Levenshtein 界，星形表示文献［37］中的Leven⁃shtein 界。上述界的值均随N单调递减。从图1 的结果可以看出在M=2 时，Welch 界比Levenshtein界更紧，现有的性能较好的相位编码波形集PSLAP指标值也比下界至少高5 dB。

图2与图3分别为M=4和M=16情况下的结果，其参数(M，N)设置与图1完全相同。与图1的Chu序列相似，图2和图3中Björck序列［12］的PSLAP指标值也是通过从原始Björck序列集中优选出M个序列得到的。与图1对比可知，M=4时Levenshtein界和Welch界接近，M=16时Levenshtein界更紧。同时可以发现，无论是M取值多少，最优相位编码波形集的PSLAP指标值均远高于下界，总体而言M越大、N越大，差值就越大。在M=16，N=1040时，最优的PSLAP指标值比下界高了差不多10 dB。

为了仿真波形数M对不同相位码序列和下界的影响，固定相位码序列长度N=61 不变，波形数设置为M=(2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16)，计算下界和不同相位码的PSLAP指标值。仿真结果如图4 所示，波形数M越大，下界越高。同时，现有相位码序列PSLAP指标值在不同波形数下均离下界有较大距离。

除了波形数M和相位码序列长度N，相位编码进制K对相位码的PSLAP指标值也有影响。本文使用BiST 算法在不同相位编码进制K情况下设计了相位码序列，参数取值为K=(2，4，8，16，32，64)以及(M，N)=(4，61)。仿真结果如图5 所示，其中五角星代表BiST 算法设计的不同K值的相位码序列。结果表明，随着K变大，相位码序列的PSLAP指标值不断变小。虽然四相码的PSLAP指标值比二相码低很多，但更高编码进制的相位码的PSLAP指标值基本不变，它们仍然距离下界较远。

从图1 到图5 的结果可知，不同类型下界在特定的参数范围下更紧，但没有一种下界在本文仿真的参数范围内可以和现有序列接近。所以无论是找到更紧的下界，还是找到相关函数峰值旁瓣更低的波形集都是亟待解决的问题。一方面可以对相位编码波形集本身展开深入研究，例如CAZAC序列受限于码长为质数，如果能够进一步研究将CAZAC序列拓展到非循环、任意码长的情况下，也许可以找到非循环相关函数峰值旁瓣更低的波形集。另一方面，可以更深入地分析相关函数峰值旁瓣的性质，例如Levenshtein 下界推导中的二次型涉及的Toeplitz矩阵［36］就与相关函数的本质特性有关系，未来该矩阵的研究结论有可能对寻找更紧的下界或设计相关函数峰值旁瓣更低的波形集有帮助。除此之外，从仿真结果不难发现，Soltanalian 下界在所有参数下均比Welch界更紧或者相当。利用这种思路，当其他类型的下界理论有所突破时，可以利用不同类型下界之间的关系来改进当前的非循环峰值旁瓣下界。

9 结论

MIMO 雷达利用其波形自由度高的特点来实现雷达探测性能的提升，如何快速有效进行波形设计是MIMO 雷达的一个重点研究方向。MIMO 雷达波形相位编码波形集相关函数下界研究是波形设计的一个边界条件，对波形集设计有一定辅助作用。此外，非循环相关函数峰值旁瓣下界可以确定MIMO 雷达探测性能的极限，对MIMO 雷达系统设计也有重要的指导意义。

迄今为止，恒模相位编码波形集相关函数性能指标下界的研究主要包括相关函数峰值旁瓣下界、相关函数积分旁瓣下界、互相关内积下界以及互补序列互相关函数下界，目前的下界结论大部分都源自于Welch和Levenshtein的理论。本文的仿真结果表明，目前的下界都不够紧，尤其在波形数较多、码长较长时，即使在下界与波形集相差最小的参数下，下界也比最优的波形集低5 dB。

从数学角度上看，下界的研究仍然是一个困难问题，Welch 和Levenshtein 的下界不够紧的原因是它们使用的是松弛后的恒模约束条件，如何将严格的恒模约束条件与现有的理论相结合是一个可能的研究方向。除了直接从数学上解决该问题，MIMO 雷达波形集设计、结构化正交波形集的数学构造方面的研究也很多，未来如果可以将波形设计、结构化波形集的构造、下界研究这三者的理论有机结合，或许能发现更紧的下界。