基于多通道的跳频信号欠采样频率估计

陈祥维 赵知劲，2

（1.杭州电子科技大学通信工程学院，浙江杭州 310018；2.中国电子科技集团第36研究所通信系统信息控制技术国家级重点实验室，浙江嘉兴 314001）

1 引言

跳频通信在军事和民用通信领域已经得到广泛应用，相较于传统定频通信方式，其抗干扰、低截获和难破译的特点也对跳频通信侦察带来了更多的困难［1］。作为干扰和截获敌方信号的前提，跳频信号的频率跟踪估计是急需解决的问题。

跳频信号的频率估计有时频分析法［2-9］，子空间分解法［10-11］和原子分解法［12-16］等。文献［2-3］利用伪Wigner-Ville 分布估计跳频频率和跳变时刻，文献［4-6］利用短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但频率估计精度有限。文献［7-8］利用STFT和伪Wigner-Ville分布相结合的方法，不仅提高了时频分辨率，又抑制了交叉项干扰。文献［9］利用小波变换和STFT 缓解了跳频信号参数估计存在的时频不确定性问题。文献［10］利用二次STFT和多重信号分类法（multiple signal classification，MUSIC）完成对载波频率和跳变时刻的高精度估计，文献［11］在文献［10］的基础上，将FFT 与求根MUSIC 算法和旋转不变法相结合，提出一种具有可选结构的高精度频率估计方法，满足不同信噪比条件的需求，但计算量过大。文献［12］提出一种基于稀疏重构的跳频信号频率跟踪方法。文献［13］以Gabor 函数为基函数对跳频信号进行原子分解，并利用信息论准则测度对跳频信号进行参数估计。文献［14］提出一种分段压缩和原子范数的跳频信号参数估计方法，但这两种方法受限于原子字典规模，频率估计精度较低。文献［15］在文献［12］的基础上，通过频率搜索间隔细化提高频率估计精度，文献［16］利用基于自适应网格的变分贝叶斯稀疏重构算法，通过对字典的加权、聚类与缩放提高频率估计精度，但基于搜索的频率估计方法计算量依然过大。

由于跳频信号是宽带信号［17］，上述方法需要较高采样频率的模数转换器（Analog to digital converter，ADC）对其进行采样，对硬件性能、功耗和成本要求高。文献［18-19］利用多通道欠采样和中国余数定理（Chinese remainder theorem，CRT）估计高频信号的频率，但计算量非常大。文献［20］在文献［18-19］的基础上，将鲁棒CRT 的二维搜索算法优化为一维搜索算法，一定程度上降低了计算量。文献［21］提出一种鲁棒CRT 的闭式求解方法，大大降低了运算量，使基于CRT 的高频信号频率实时估计成为可能。然而，文献［18-21］所提出的CRT 频率估计算法余数值仅根据DFT 的谱峰搜索得到，忽略了DFT的栅栏效应导致的余数误差问题。文献［22］在不补零的基础上利用Candan 算法对CRT 频率余数进行校正，文献［23］在补零的基础上利用Fang算法进一步提高估计精度，但Candan 算法和Fang 算法对DFT 的点数选取不灵活，且估计精度有待进一步提高。本文提出一种新的频率校正算法，序列补零数量灵活，且增加补零数量可以进一步提高频率估计精度。本文还提出一种频率估计检错机制，可提高频率估计可靠性。

2 跳频信号频率跟踪估计模型

本文结合跳频信号的特点，先通过多路低采样频率的ADC 对信号进行并行欠采样，再利用FFT 和本文提出的频率校正算法对各支路的频率余数进行校正，最后应用鲁棒中国余数定理对跳频信号频率进行高精度估计和检错。另外，设计如图1 所示的滑动策略实现跳频信号频率跟踪，其中Tg为滑动窗长，Tp为滑动步长。跳频信号频率估计具体方案如图2 所示，前I个支路用于频率估计，后Q个支路用于检错。

2.1 跳频信号频率估计模型

在观测时间T内，单频跳频复信号可以表示为：

其中，K表示在观测时间T内的跳变频率数；A和Th表示信号幅度和跳频周期；fk和φk分别表示信号的第k个频率和相位；rect(t)是单位矩形脉冲；v(t)是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声。

以采样频率fs1，fs2，…，fsI对跳频信号x(t)进行I路并行欠采样，第i路欠采样信号表达式为：

其中Tsi=1/fsi为第i路的采样间隔，φki表示第i路第k个频率的信号相位，Nhi=Th fsi。故当滑动窗长为Tg时，第i路每个滑动窗内的样本点数为Ni=Tg fsi。

根据奈奎斯特采样定理可知，对信号的欠采样将使信号频谱以欠采样率为周期进行周期延拓，故一个滑动窗内第i路的欠采样信号频率fk与其归一化频率Fi及欠采样频率fsi的关系可以表示为：

其中ni为折叠系数；mi为该滑动窗内第i路的欠采样信号做Ni点DFT 得到的幅度谱峰值索引；δi为在幅度谱上真实谱峰与mi的距离，|δi|≤0.5。

故一个滑动窗内欠采样跳频信号频率估计问题可以看作是解模糊问题，且满足同余方程组：

其中，ri=为取模运算。故求解同余方程组（4）的关键是根据频率余数r1，r2，…，rI和采样频率fs1，fs2，…，fsI求出折叠系数n1，n2，…，nI。CRT为解模糊问题提供了方法。

2.2 鲁棒闭式中国余数定理简述

定义1［19］对于未知的正整数N，如式（5）所示N关于模J1，J2，…，JI的余数分别为r1，r2，…，rI，折叠系数分别为n1，n2，…，nI。对于J1，J2，…，JI，除去最大公约数J后，两两互质，即Ji=JΓi，且gcd(Γi，Γj)=1，i≠j，gcd(·)表示最大公约数。当且仅当0 ≤N

选择采样频率fsi=JΓi(i=1，2，…，I)，使多路欠采样跳频信号频率估计同余方程组（4）满足定义1 的条件，则当跳频信号的跳变频率fk处于0到JΓ1Γ2…ΓI之间时，可以利用闭式求解法［21］较为准确地估计fk。闭式求解方法步骤如下：

2.3 频率校正

由于DFT 的性质，一个滑动窗内的样本点数的大小会影响DFT 的频率分辨率，另外，如式（3）所示，栅栏效应导致各路欠采样信号经过DFT 得到的频率余数估计值只能精确到整数mi而丢弃小数δi，即精确到整数倍的DFT 频率分辨率。根据定理1，丢弃小数δi后的频率余数误差为，故丢弃δi将降低频率估计精度。因此本文将改进各路的δi估计，进行频率校正，提高频率估计精度。

由于跳频信号在每一跳内载频不变，所以在每一个跳频周期内可看作平稳单频信号，当滑动窗长满足Tg

2.3.1 已有频率校正算法

Candan算法［24］对第i路采样得到的Ni点信号直接进行DFT，得到幅度谱XCan[m]以及幅度谱峰值索引mCan，对δi的估计为：

而Fang 算法［25］对第i路采样得到的Ni点信号补零至2Ni点后再进行DFT，得到幅度谱XF[m]以及幅度谱峰值索引mF，对δi的估计为：

Ni为2的整数次幂时才可使用FFT 减小DFT 的运算量。而在一个滑动窗内，各支路采样点数满足Ni=Tg fsi，显然，若在应用FFT 的前提下利用Candan 算法和Fang 算法对各支路频率余数进行校正，只能对原采样序列进行截断处理，使Ni为2的整数次幂，这将影响算法的频率估计精度。

2.3.2 本文频率校正算法

对第i路信号补零至cNi点，称c为补零程度，其cNi点DFT为：

因为|δi|≤0.5，所以当c≥1.5 时，利用三角函数公式分别展开式（11）和式（12），并整理后可以得到：

两式相加，整理后可得：

最终得到各路采样信号的频率估计余数为：

可以看出，当补零程度c=2 时，本文算法退化为Fang 算法，但本文算法补零数量更加灵活，所以任意长度的滑动窗内的采样序列都能在补零至2的整数次幂后应用FFT进行频率校正。

2.4 检错机制

利用中国余数定理进行频率估计会存在两种情况。一是估计误差的估计正确情况，其中为估计频率，fk为真实频率，τ为余数最大误差。二是由于余数选择错误引发的估计错误情况。在信噪比较低的情况下，欠采样信号频谱中的主频分量可能会被噪声淹没，导致根据幅度谱定位得到的频率余数是随机的且与真实频率余数相差在τ以上。只要I路欠采样信号中有一个出现上述情况，频率估计就会出现错误且频率估计值在全频段上随机取值。故本文引入一种检错机制，在估计错误时及时报警。

定义特殊距离da，b：

其中，G为余数a与b共同的模。

在I个用于频率估计的支路之外引入额外的Q个支路作为检错支路。各检错支路的欠采样频率分别为。由于真实频率fk和第q个检错支路欠采样频率存在如式（19）所示的关系：

3 仿真实验及分析

在高斯白噪声环境下，在0～5.9 GHz 范围内随机取100 个频率值作为跳频信号载频频率集，生成跳速为8000 hops/s 的跳频信号，每跳内为单频信号。故根据定义1，设置最大公约数J=100000，选用I=3 的频率估计支路，则欠采样频率可分别选为3.7 MHz、3.9 MHz 和4.1 MHz。选用Q=3 的检错支路，欠采样频率分别选为5.1 MHz，5.2 MHz，5.7 MHz。

3.1 滑动窗长对频率估计正确率的影响

不使用频率校正，利用CRT 进行频率粗估计的频谱频率分辨率为，则频率余数最大误差为，所以本实验中，当，认为频率估计正确。当信噪比为-23 dB～8 dB，窗长Tg为0.02 ms，0.04 ms 和0.08 ms 时，分别对三种窗长下各支路进行128 点、256 点和512 点的FFT，并利用本文算法进行频率校正，6000 次蒙特卡洛实验得到的跳频信号频率估计正确率如图3 所示。由图可知，当信噪比大于-5 dB 时，三种窗长的本文算法的频率估计正确率十分接近，考虑到频率跟踪性能和频率估计精度，下文取Tg=0.04 ms，即三个支路滑动窗样本点数分别为148，156和164。

3.2 频率估计性能

利用相对误差分析算法的频率估计性能，其计算公式为：

其中，P为蒙特卡洛实验次数，K为跳频频率集中包含的频点数量,为第k个频点第p次实验的频率估计值，fk为第k个频点的真实频率值。

为了使用FFT，Candan 算法需截取各支路样本点中的128 点作FFT，Fang 算法需截取各支路样本点中的128 点补零至256 点后作FFT，而本文算法将样本点补零至256 点和1024 点FFT。信噪比为-10 dB～40 dB，利用Candan 算法、Fang 算法和本文算法得到的跳频信号频率估计相对误差如图4所示，每条曲线是100次蒙特卡洛实验平均。

由图4 可知：当信噪比处于-10 dB～20 dB 时，三种算法的估计精度随信噪比的增大而提高，且在同一信噪比条件下，补零至256 点的本文算法估计精度最高，Fang 算法次之，Candan 算法最低。所有MRE 曲线都存在信噪比阈值，即当信噪比大于某个信噪比阈值时，算法的MRE不再随着信噪比的增大而减小，将此称为误差平台。从图中可以看出，补零至256 点的本文算法和Fang 算法的误差平台一样，而Candan算法的误差平台较高。通过对比补零至不同数量的本文算法MRE曲线可知，本文算法可以通过增大补零程度，进一步提高估计精度和信噪比阈值，且进一步降低误差平台。

表1给出了不同补零程度的本文算法对无噪声跳频信号频率估计的MRE 曲线的误差平台。从表中可以看出，当补零至2048 点后，继续增加补零数量，误差平台下降变得缓慢，但计算复杂度大大增加，所以下文本文算法都补零至1024点。

表1 无高斯白噪声下不同补零数量的误差平台Tab.1 Error floor with different number of zero padding without Gaussian white noise

当每跳跳频信号是BPSK 调制，1 跳内传输2 比特，即比特率为16 kbps，其余参数同前，Candan 算法、Fang算法和补零至1024点的本文算法的频率估计相对误差如图5 所示，每条曲线是1000 次蒙特卡洛实验结果的平均。从图中可以看出，当信噪比处于-10 dB～-2 dB 时，估计精度随信噪比增大而提高，本文算法的估计精度最高。与图4 的1 跳内为单频信号的跳频信号频率估计结果相比，三种算法的估计性能都有不同程度的下降，Fang 算法和Candan 算法的估计精度下降更明显，故由此得出Candan 算法和Fang 算法的频率估计性能对信号相位变化敏感，而本文算法对信号的相位变化不太敏感，获得高的频率估计精度。

3.3 频率跟踪性能

在跳频信号中选取任意1000 个频率跳变时刻为观测起点，观测时间T=0.3125 ms，获取1000个跳频信号观测段。分别利用补零至1024 点的本文算法和Fang 算法进行频率余数校正，滑动步长Tp为0.005 ms，滑动窗长Tg为0.04 ms，对1000个跳频信号观测段进行频率跟踪。若滑动窗处于频率跳变时刻时，视滑动窗中心位置的频率为此刻真实跳变频率值。利用式（21）表示的每个滑动窗内频率估计相对误差分析算法的频率跟踪性能。

其中，P为观测段总数，fp(n)和分别为第p个观测段的第n个滑动窗内的真实跳变频率值和频率估计值。当信噪比为15 dB，本文算法和Fang 算法在不同时刻的频率估计相对误差如图6所示。从图中可以看出，当滑动窗处于跳周期中间区间时，两种算法的频率估计相对误差较小且平稳，且本文算法误差更低；当滑动窗中心处于频率跳变时刻附近，两种算法误差增大，随后又能跟踪上且正确估计出频率。

3.4 检错机制准确率

在利用频率校正后，检错机制的条件设置可以更为严格，本实验中检错条件设为。在Tg=0.04 ms，信噪比为-23 dB～8 dB 的情况下，补零至1024点的本文算法中利用单个采样频率为5.1 MHz的检错支路进行检错和利用三个采样频率分别为5.1 MHz、5.2 MHz和5.7 MHz的检错支路对单频跳频信号进行检错的检错准确率如图7 所示，每条曲线是15000次蒙特卡洛实验结果的平均。

从图中可以看出，当信噪比为-23 dB 至8 dB时，检错正确率都高于93%，但当信噪比处于-13 dB左右时，单个检错支路的判断正确率下降。对比图3 的估计正确率曲线可以得知，此时频率估计的正确率为30%～40%，会出现大量虚警的情况，导致检错准确率下降。当使用三个检错支路时，检错准确率都高于95.5%。另外，当信噪比小于-17 dB时，不同数量检错支路的检错正确率都高于99.5%，从图3可以得到其原因是当信噪比小于-17 dB 时，由于信号频谱被噪声淹没，频率估计支路的估计频率正确率为0，检错支路的频率是随机取值，所以大概率不满足检错条件，得到高的检错正确率。

4 结论

本文提出了一种基于多通路和中国余数定理的跳频信号频率跟踪估计方法。该方法利用中国余数定理降低了传统算法中对ADC 采样率的要求；提出的频率校正算法改善了中国余数定理在频率估计应用中的估计精度，该算法性能优于Candan算法和Fang 算法，且补零数量灵活，滑动窗长度选取不受限制，增加补零数量可以进一步提高算法的频率估计精度和信噪比阈值，降低算法的误差平台；本文还给出了一种频率估计的检错机制，提高了算法可靠性。