巧用（-1）n 求解“符号摆动”型数列的通项公式

曾中君　吴浩

[摘  要] 在各省市的中考题中，我们常能发现数字规律的题目被放到了中高档题的位置，并且难度较高，于是对数字规律题的研究也成为很多教师所关注的课题.通过研究发现，数字规律题的解题思想，在数学思想中占有很重要的地位，它不仅能够使学生养成良好的思维习惯，更有助于培养学生的创新型思维，同时也为学生高中学习数列打下了坚实的基础.

[关键词] 规律题;符号摆动;双摆动;三摆动

在数字规律题中，常有“-1，3，-5，7，-9，…”这样规律的一种数列，它们正负相间，体现了一种符号摆动的美.那么对于这种类型的规律题，能否有一种通解形式，用一个表达式来表示第n项呢？下面我们就来对这一类型数列进行研究.

我们知道当（-1）n=-1，（n为奇数）

1，（n为偶数），所以对于双摆动模型（符号正负交替），我们可以用“符号开关”：（-1）n和（-1）n+1来实现.

例1 观察下列各数：-2，5，-8，11，-14…，求第n项.

模型分析  为了让数列中的各个数正负相间，可以用“符号开关”：（-1）n和（-1）n+1来实现，那么这道规律题也就不难求解.

解  观察该数列的前几项的绝对值，先不看符号，可以发现2，5，8，11，14是等差数列，所以先给出它的通项为：3n-1，又因为数列中的奇数项为负，偶数项为正，可以选择（-1）n来调节符号，所以第n项是（-1）n（3n-1）.

受到正、负双摆动规律题的启发，我们又提出了以下问题：能不能找到符号为“正、正、负”“负、负、正”“正、负、正”和“负、正、负”三摆动的数列的一般表达式呢？

通过思考，在这里我们先给出让符号成“正、正、负”和“负、负、正”的三摆动模型的一般表达式的方法：

方法一：利用斐波那契数列1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，…作为-1的指数.

首先，介绍一下斐波那契数列.斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，89，…依次类推下去，可以发现，这个数列从第三项起，后一个数总是等于前面两个数的和，并且发现斐波那契数列的各项正好是按照“奇数、奇数、偶数”交替出现的，如果以斐波那契数列的通项公式作为（-1）的指数，就可以达到将符号调节成“负、负、正”的效果.

方法二：关于符号三摆动模型，其实还可以联想到三角函数. 由于符号三摆动模型的周期为3，所以笔者想到了：cos

=-，cos（2π）=1.利用三角函数变形的形式作为（-1）的指数.

容易得证，当n=3k-2时，= -2;当n=3k-1时，=-2;当n=3k时，=1，其中k∈N*.

所以（-1）作为“符号开关”，就能实现“正、正、负”三摆动的符号规律，（-1）+1或-（-1）就是“负、负、正”三摆动的符号规律.

其实只要找到“正、正、负”和“负、负、正”三摆动的符号的一般表达式，其余两种情况也就迎刃而解了！

（1）在“正、正、负”的“符号开关”表达式中的n变为n+1就可以变为“正、负、正”，所以（-1）、（-1）

正”三摆动的“符号开关”.

（2）在“负、负、正”的“符号开关”表达式中的n变为n+1就可以变为“负、正、负”，所以（-1）+1、-（-1）或（-1）

就是“负、正、负”三摆动的“符号开关”.

例2 观察下列各数：1，4，-7，10， 13，-16，19，22，-25，…，求第n项.

模型分析：通过观察可以发现，该数列呈现“正、正、负”三摆动的规律，这样可以用“符号开关”（-1）

+1或（-1）来调节符号，解决好了符号问题，这道题就十分简单了.

解  因为该数列若不看各项符号，其实就是一个以1为首项，3为公差的等差数列，其通项为：3n-2，再用（-1）来调节符号，那么第n项为：（-1）（3n-2）.

例3 觀察下列各数：-1，-2，4，-8，-16，32，-64，-128，256，…，求第n项.

模型分析  通过观察可以发现，该数列呈现“负、负、正”三摆动的规律，这样可以用“符号开关”-1

或-1+1来调节符号，只要符号问题得以解决，这道题后面的过程就被模型化了.

解  因为该数列若不看各项符号，其实就是一个以1为首项，2为公比的等比数列，其通项为：2n-1，再用（-1）

例4 观察下列各数：-1，3，-5，-7，9，-11，-13，15，-17，…，求第n项.

模型分析  通过观察可以发现，该数列呈现“负、正、负”三摆动的规律，我们可以用（-1）+1、-（-1）或（-1）

，也就是“负、正、负”三摆动的“符号开关”来处理即可.

解  首先观察数列呈现“负、正、负”三摆动的规律，可以选择（-1）+1来调节符号，再观察这列数的绝对值1，3，5，7，9，是一列正的奇数，其表达式为2n-1，

所以第n项的表达式为（-1）+1·（2n-1）.

模型三：其他摆动

受三角函数的周期性的影响，笔者又提出猜想：“能否出现其他的摆动规律呢”？比如像“正、正、负、负”或“正、负、负、正”的规律能实现吗？通过思考，这种符号摆动也是可以通过三角函数加工模型sin

所以在符号摆动规律问题中，高中的三角函数的周期性是解决问题的重要工具.

例5 观察下列各数：2，5，-10，-17， 26，37，-50，-65，…，求第n项.

模型分析  通过分析可以发现此数列的符号规律是“正、正、负、负”，由上面的总结是可以找到办法处理的，并且可以发现各项数字的绝对值也有“n2+1”形式. 这道题直接用三角函数加工模型就可以搞定.

解  因为该数列的符号规律是“正、正、负、负”，所以我们可以用sin

n-来作为“符号开关”，那么第n项为：sin

n-（n2+1）.

例6 观察下列各数：-4，-9，14，19，-24，-29，34，39，…，求第n项.

模型分析  通过观察可以发现此数列的符号规律是“负、负、正、正”，再次运用上面的总结也能很快将其解决.

解  因为该数列的符号规律是“负、负、正、正”，所以我们可以用cos

n-来作为“符号开关”，那么第n项为：cos

n-（5n-1）.

结束语

对于中考的初中数学规律题中的“符号摆动”型题目，一般而言，绝大多数的时候只考查“双摆动”模型.对于“三摆动”“多摆动”而言，这样的题目比较少，但是作为一名优秀的教师，我们应该立足于中考层面，但要高于中考水平来做研究，只有当我们的研究成果高于中考的要求，才能在教学中游刃有余，从而让我们的学生笑傲学坛，同时在研究中也更能够体会数学的魅力和乐趣.