论初中数学教学中分类讨论的原理与应用

蔡丽娟

[摘  要] 分类讨论思想是解决数学问题的一种基本方法. 研究者从分类讨论的原理与基本步骤出发，立足于教学实践，对它在概念教学、数学运算、位置关系、条件不确定以及解决实际问题中的应用谈一些看法与思考.

[关键词] 分类讨论;应用;原理

分类讨论思想是指在数学研究中，将待研究的问题根据不同标准进行分类，使得一个问题分化为多个小问题，再进行研究与解决的一种数学思想. 分类讨论思想在数学研究中占有举足轻重的地位，在培养学生思维的逻辑性、探索性、条理性以及综合性等方面具有重要影响. 这种思想方法在初中数学课堂的应用，能将一些复杂的问题变得简洁，模糊的问题变得清晰，同时还能激活学生的思维，开阔视野，提高学生的数学综合素养.

分类讨论的原理

分类讨论思想是从不同情境下，对学科问题进行发展的考量，它能从多方位解决数学问题. 分类与分步是分类讨论的两个基本原理，其中分一类，也可称为分类，而分一步也可称为分步. 分类与分步原理在数学研究中的应用又称为记数原理，即加法原理（与分类对应）、乘法原理（与分步对应）[1].

分类讨论过程主要遵循以下几个步骤：（1）有分类讨论的基本意识，这是实施分类讨论的基础与必备条件;（2）确定分类原则，这一步的关键是要吃透问题的本质，知道以什么标准来分类，分类具有哪几种可能性等;（3）选择一个分类方法，要做到不重复、无遗漏;（4）针对每一类情况，具体讨论分析，将每个问题的解决落到实处;（5）总结各类分析后的结论，作总结陈述.

以上五个步骤中，第（1）（2）两步的难度最大. 分类意识的培养有一个漫长的过程，分类意识的渗透并非通过几节课的讲解就能达成，需在教学各个环节长期的浸润，让学生形成一种惯性思维. 一般简单的问题不涉及分类讨论，也难以培养学生的分类意识. 这就要求教师引导学生多接触综合性的例题，让学生逐渐自主萌生出分类意识.

基于以上思考，笔者特整理出初中数学教学中几类典型利用分类讨论的例题，以展示几种常见的分类讨论方法，希望能给读者带来启发.

分类讨论法在数学教学中的应用

（一）在概念教学中的应用

概念教学是数学教学的基础，但不少教师受传统教学理念的影响，在概念教学中常常只关注概念“是什么”，而忽视概念的“为什么”，导致不少学生学完概念之后，虽然能流利、完整地背诵概念，却只能知其然而不知其所以然，对于概念的来龙去脉、蕴含的数学思想等一知半解.

殊不知，真正的概念教学过程博大精深，每个概念的形成都经历了一个艰辛、曲折的过程，我们今天所见到的每个概念都是经过生活的历练后高度概括而来，其中不乏大量的数学思想元素. 鉴于此，基于分类讨论思想渗透的数学课堂中，我们应化概念的结论教学为概念的过程教学，引导学生在探究概念的“为什么”中，激活思维，进行全方位的分类讨论，以获得概念的本质.

有些概念（如实数的绝对值）本身就是分类进行定义的，在应用的时候就需要分类讨论;也有些概念在定义时，就考虑到了研究对象的范围（如二次方程，求二次项系数不为零等），在解题时，当需要突破这些定义的限制时，就需要进行分类讨论，才能实现解题.

例1  已知x=3，y=1，xy<0，求x+y的值.

本题题干简洁，看似简单，但不少学生一做就错. 究其原因主要就在于对概念的理解不够透彻，有些学生忽略了绝对值分正负两类情况，大部分出错的原因在于对“xy<0”这个条件的认识不够充分，没有意识到x，y异号，需要分两种情况来讨论. 由此可见，掌握概念的本质以及分类讨论思想的应用，对解题具有直接影响.

（二）在数学运算中的应用

运算一直是制约学生数学学习的重要因素之一，不论哪个学段，学生因运算而导致的失分现象一直存在. 出现这种现象的主要原因在于：运算习惯差，遇到含字母等符号的运算就打心眼里感到畏惧;不擅长分析，缺乏良好的运算思路，不会辨析与权衡各种运算方法的利弊.

事实证明，分类讨论思想在运算中具有重要作用. 如一些运算的实施，本身就存在一些條件，如0不可作为除数，在不等式的两边同时乘或除以数或式子时要考虑正负问题等. 如果在运算过程中想要突破这些运算的基本限制条件，则必须从某个角度进行分类讨论，以保证运算的合理性与完整性.

例2  求解关于x的不等式，3+ax>a+2x.

错解：移项后将不等式转化为（a-2）x>a-3，解得x>.

此解题过程看似没毛病，实则为典型的错误运算过程. 在移项这一步后，从不等式的性质出发，应将式子分为“a-2>0”“a-2=0”“a-2<0”三类情况进行分析. 而不同情况下，会呈现出不一样的解.

本题的正解为：

①在a-2>0时，a>2，该不等式的解为x>;②在a-2=0时，a=2，该不等式的左边等于0，右边等于-1，而0>-1，因此该不等式的解为所有实数;③在a-2<0时，a<2，该不等式的解为x<.

在实际的解题练习中，本题的正确率不高，错误原因基本都集中在没有进行分类讨论. 由此可见，分类讨论思想在数学运算中也占有非常重要的地位，一旦出现遗漏，则会导致错误的发生. 因此，教师在运算教学时，应引导学生从分类讨论的角度来分析问题，完善解题思路，让思维变得更具条理性.

（三）在位置关系中的应用

美国学者施瓦布提出：儿童自主参与知识的形成过程，能获得研究自然所必需的能力，为形成科学概念奠定基础，从而形成对未知世界积极探索的良好态度. 分类讨论思想在解决图形位置关系中，需要学生参与到图形的变化过程中去，以切身感知图形变化的种类，从而获得可靠的分类依据.

新课标提出：教师要为学生提供“自主、合作、探究”的机会[2]. 于初中学生而言，位置变化关系中的动态翻折、旋转、平移等问题，确实有一定难度，解决这些问题的关键就在于相对运动关系的获取与分类讨论思想的运用. 当遇到位置或形状难以确定的问题，则需要理清思路，展开全面讨论，才能实现正确解题.

例3  已知直线l上的某点P与圆心O的距离为5 cm，而☉O的半径长也为5 cm，则直线l和☉O之间具有怎样的位置关系？

分析：本题解题过程中，有不少学生将直线与圆的距离理解为OP，也就是将直线l上的点P理解为垂足，将直线与圆的位置关系直接认为是相切的关系，从而出现解题不完全的现象.

解析：（1）若OP⊥l，圆心O与直线l之间的距离为OP. 根据题设条件已知OP=5，R=5，因此OP=R，所以点P与直线l之间的距离为☉O的半径，直线l和☉O为相切的关系;

（2）若OP与直线l不是垂直的关系时，直线l与圆心的距离则小于OP，那么☉O与直线l为相交的关系.

基于以上两点思考，本题直线与圆的关系，存在相切与相交两种情况. 解题则需分别从这两种情况进行分析，如此才能确保解题无遗漏与正确性.

当然，本题作为圆与直线位置关系的基础题，在解决此题的基础上，为了强化学生对知识的理解，深化学生对分类讨论方法应用的认识，教师还可以适当地进行变式训练.

变式：直线l上的某点P与圆心O的距离为a，已知☉O的半径长为r，且a=r，则直线l和☉O之间具有怎样的位置关系？

此变式在原题的基础上稍有变化，其中不仅存在分类讨论思想，还蕴含着从特殊到一般、数形结合等数学思想，学生的思维随着问题的变化而活跃，解题能力也随着认知的完善而提升.

（四）在条件不确定中的应用

解题时，我们常会遇到一些条件开放性的问题，此类问题灵活，对学生的思维要求较高. 若稍有考虑不周，就会出现解题遗漏的现象. 一般条件开放类问题的结论不唯一，有时即使考虑周全了，解出所有结论，但结合问题的实际情况，又要舍掉不合理的结论. 面对如此复杂的情况，让不少学生感慨：数学真难！

其实，这并不是数学难，而是对思维的要求比较高. 要实现解题，学生必须有严谨的逻辑思维能力，面对问题做到不慌不乱，只要细致入微地思考到每一种情况，分门别类地一步步周密分析、求解，获得结论后再回归原题实际，进行代入分析，则可完美地解决问题.

例4  甲、乙二人分别从距离30 km的两地同时出发，相向而行，此二人在3小时后的距离为3 km，再过2小时，甲到B地剩下的路程为乙到A地剩下路程的2倍，分别求甲、乙二人的速度.

分析：本题受思维定式的影响，不少学生将“在3小时后两人的距离为3 km”的条件，理所当然地认为两人并未相遇，而实际况却存在两人已经相遇，背向而行的情况. 因此，本题应分以下两类情况进行讨论：

（1）3小时后，甲、乙两人并未相遇，假设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，列式为30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30-3.

（2）3小时后，甲、乙两人已经相遇过，假设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，列式为30-5x=2（30-5y），

3x+3y=30+3.

通过本题可见，解题不仅要有分类讨论意识，还要有敏锐的观察力，只有发现问题的存在，才能实现无遗漏的解题. 而这种观察力与分类讨论意识的培养，则需渗透于日常教学的各个环节. 学生在教师有意、无意的思想渗透下，逐渐形成良好的审题能力与数学思想，既为核心素养的发展奠定了基础，也为形成可持续发展的学习能力做好了铺垫.

（五）在实际问题中的应用

初中数学教材涉及的一些法则、定理、公式等，都是为了更好地解决生活实际问题所服务. 在解决一些实际问题时，教师应引导学生习惯性地从分类讨论的角度去分析，让学生在多次、反复的练习训练中，感知分类讨论思想的实际价值：分类讨论能让解题过程更具条理性，结论更加完整、准确.

纵然不使用分类讨论，也能解决问题，但出错的概率相当高. 实践证明，分类讨论不仅能实现解题的严谨、科学性，还能帮助学生学会概括与总结，尤其是具有一定规律或内部联系的知识，应用分类讨论则让知识的逻辑更加清晰，内容更具条理性，使学生的思维变得更加缜密.

例5  婚庆公司在周年庆来临之际，准备将之前每对新人的照片刻录成光盘送给客户. 如果到电脑公司进行刻录，每张光盘需要交付8元的费用;如果公司自己刻录，需要花120元租赁刻录机，然后再支付每张光盘4元的成本费. 若你是老板，是去电脑公司刻录这批光盘，还是自己租机器回来刻录呢？

解析：选择哪种方式更划算，由待刻录的数量所决定. 设待刻录光盘的数量为x，那么送出去需花费y=8x元，自己租刻录机回來刻录的费用需要y=4x+120（元）.

至此，就要分三种情况进行讨论了：①若y>y，8x>4x+120，可解得x>30;②若y=y，8x=4x+120，可解得x=30;③若y<y，8x<4x+120，可解得x<30.

综上可知，当需要刻录的光盘数量为30张时，自己刻录与送到电脑公司刻录所花费的金额一样;当刻录的数量大于30张时，自己租机器回来刻录更划算;当刻录的数量小于30张时，送到电脑公司刻录更划算.

本题的解题关键是用代数式列出光盘刻录所需要花费的金额，通过对结论的类比分析，即可获得最佳的方案. 显然在解题过程中，应用了分类讨论的方法. 正因为这种数学思想的应用，才让解题变得清晰、简捷.

思考

通过以上对分类讨论法的分析和对经典例题的应用解析，我们应明确一旦在解题过程中遇到条件、结论等不明确，问题中的图形位置呈现动态变化或题中含有参数等棘手的问题时，可从分类讨论的角度去思考与分析，或将求解的问题进行分割，分门别类逐个进行研究与探索，如此可帮助学生理清思路，实现解题.

作为一线的数学教师，应在教学中有意识地培养学生的数学分类讨论意识. 当遇到需要分类讨论的问题时，应抓住一切契机，引导学生自主探索，实施分类讨论. 值得注意的是，分类时要明确标准，一件事物从不同的标准出发，会有不同的分类，而所有的分类都应是无重复、无遗漏的过程.

总之，教师在日常教学中，应带领学生多研究、实践与探索，让学生在潜移默化中形成良好的分类讨论意识. 当遇到实际问题时，学生则能够不假思索地加以应用，学生的思维随着分类讨论思想的应用也会变得更加严谨.

参考文献：

[1]M·克莱因. 古今数学思想[M]. 张理京，张锦炎，江泽涵等译. 上海：上海科学技术出版社，2009.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.