打造线上线下混合式“金课”

涂强 陈立 向妮 陆伟

摘要针对“常微分方程”课程存在的问题，文章以线上线下混合式“金课”建设为目标，考虑线上资源的构建和线下教学模式的改进以及如何将线上线下模式进行融合，给出调整课程建设方案、丰富教学手段、改良评价考核方式的改革措施。通过多年的实践与建设，“常微分方程”混合式“金课”在课程体系重构、学生实践与创新能力培养等方面取得了一定的成效。

关键词金课;常微分方程;线上线下混合式;翻转课堂

中图分类号：G424文献标识码：A          DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2022.06.029

Create an Online and Offline Hybrid "Golden Class"     —— Take the course of "ordinary differential equations" as an example

TU Qiang， CHEN Li， XIANG Ni， LU Wei

（Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan， Hubei 430061）

Abstract  In view of the problems existing in the course of ordinary differential equation， this paper takes the construction of online and offline hybrid "golden course" as the goal， considers the construction of online resources， the improvement of offline teaching mode and how to integrate the online and offline mode， and gives reform measures to adjust the course construction scheme， enrich teaching means and improve the evaluation and assessment methods. Through years of practice and construction， the mixed "golden course" ofordinary differential equation has achieved certain results in the reconstruction of the curriculum system and the cultivation of students' practical and innovative ability.

Keywords  golden class; ordinary differential equation; online and offline hybrid; flipped classroom

“金课”的模式包含线下式、线上式和线上线下混合式、虚拟仿真式和社会实践式。线上线下混合式教学是将现代信息技术与传统课堂教育相融合的一种全新教学模式，这需要教学团队秉承“金课”建设理念，科学催化团队教师“主导”和学生“主体”作用。在此背景下，湖北大学教学团队结合学校实际情况，研究探讨如何合理利用数字化的教学工具和手段，将线下面对面传授和线上自主学习有机结合起来，积极推进“常微分方程”的慕课建设，打造出在线课程与传统教学相融合的混合式常微分方程“金课”。

1“常微分方程”课程教学现状

“常微分方程”是大学本科数学专业十分基础的专业必修课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。特别是在互联网和计算机等新技术的推动下，近几十年来常微分方程在现实中的应用不管是在广度还是深度上都有重大突破，也使得常微分方程的应用前景更为广泛和重要。因此，针对常微分方程课程进行教学改革，以适应新时代的发展需要，有着重要的价值。目前不少高校教师已在该方面进行了深入探索，比如国忠金、孙丹[1]从师范专业认证视角下从课程教学内容、教学方法、教学评价等方面提出了常微分方程课程教学改革的策略;林媛、刘伟明[2]分析了如何将常微分方程課程与思政教育进行有机结合，并提出了一些改革方法;刘倩[3]提出了推动常微分方程课程教学模式创新与实践探索的策略。

然而，经教学团队了解，当前“常微分方程”课程除了比较经典性的传统内容外，通过简单实例引入常微分方程学科的前沿领域鲜有人涉及。同时从现实生活遇到的实际问题出发设计问题，以数学建模为基础引导学生开展专题研究和讨论也是应该考虑的方向。这些对激发学生学习兴趣，加强学生的创新意识和创新能力，扩宽人才培养途径也有着重要意义。[4]

2 传统常微分方程课程教学存在的问题

2.1 教学内容过于注重理论以及计算，弱化了知识的应用

作为一门大学本科数学专业必修课，常微分方程课程中包含许多定理以及证明推导，特别是一阶常微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续依赖性和可微性、高阶常微分方程解的性质和结构等。这些知识点作为这门课程的理论核心，且与数学分析、线性代数有着密不可分的联系，在课堂上的讲解对学生数学思维的严密性和逻辑性是个很好的锻炼，但是过于频繁地强调这些理论的推导和证明，难以激起学生的兴趣，容易令学生感觉枯燥无味，注意力难以集中，从而导致课堂效率低下。而且事实上很多常微分方程模型都来自人们的日常生活以及学科领域，比如物理、化学、生物、经济、机械等领域的实际问题。常微分方程学科发展的过程就是不断从实践中抽象出理论，再用理论指导实践的过程。大多数老师对于常微分方程的实践应用上投入不多，没有充分将课程知识点和学科的前沿知识渗透到平时的教学中。这样会导致学生体会不到常微分方程的科学价值和应用价值。

2.2 授课形式单一，师生互动较少

在当今这个处处信息化、智能化的时代，传统的三尺讲台、一块黑板、一支粉笔的教学技术和手段亟需改变。长期以来老师将数学课翔实的理论推理、繁重的计算步骤单项灌输，学生被动接受，不同基础的学生都是采取统一的教学模式，教学过程中缺少师生的互动，学生对传统“填鸭式”教学方式已经厌倦。同时在2020年疫情期间，各高校普遍采取网课这一新兴上课模式，给学生的学习和教师的教学带来了很多问题和挑战。一方面网课这一新的信息化教学方式依然摆脱不了老师单项灌输，学生被动接受这一学习模式，自觉性较差的学生很难坚持跟上老师上课的节奏，课上互动性不强。另一方面目前信息化的教学手段更多地停留在使用教学课件等比较初级的阶段，如何合理地利用线上资源，以及结合互联网中新兴事物，比如动画、弹幕、短视频等方式增加课堂趣味性等，依然还需探索。基于这些现状，结合当前互联网发展热点，转变传统教学理念和模式以适应学生多元化的需求和个性化发展势在必行。2.3 考核方式单一，无法体现学生的综合素质

传统课程的考核方式主要是由“平时成绩（30%）+期中考试成绩（10%）+期末考试成绩（60%）”组成，其中平时成绩的考核主要由学生考勤和平时作业成绩组成。这种考核方式虽然在一定程度上避免了一次考试或一张试卷来评定整个课程的学习情况这种不合理现象，但是考核方式还是体现在做题、解题的能力上。学生为了提高成绩往往对课程的概念、定理、解题方法死记硬背，考试时生搬硬套，缺乏对理论的理解和深入思考。这种考核方式没有考核出学生的实践能力和创新能力，更无法体现学生的综合素质。这与当前人才培养的核心理念背道而驰。

3 建设线上线下混合式金课的改革措施

3.1 调整课程建设方案

一直以来，我国各大高校课堂使用的常微分方程教材都涵盖了常微分方程学科的经典知识框架，对双一流大学的数学专业本科生来说，无论在理论性还是全面性方面都是一本经典的教材。但是对于大多数普通高校的数学专业本科生和非数学专业本科生而言，教材内容太多而课程课时太少，而且由于本课程理论性和实践性都很强，学生普遍认为该门课程重要但难学。基于此我们教学团队根据多年教学经验以及我校培养应用型复合人才的教学目标，对常微分方程内容进行了重新规划和调整。团队精选了五章教学内容，主要包括常微分方程的基本解法，包含一阶常微分方程的初等解法，常系数高阶线性微分方程以及线性微分方程组的解法;基本概念，包括常微分方程与偏微分方程的定义与分类、高阶线性微分方程以及方程组解的结构与性质;定性理论，常微分方程解的存在唯一性定理等。

我们教学团队对精选的五章教学内容按照“基础模块+  辅导模块+实践模块”三位一体模块化课程内容，根据教学目标要求和章节特点，分块选择适合的混合式教学方式。“基础模块”主要通过线上学习让学生掌握“常微分方程”的一般理论和基本解法;“辅导模块”主要是通过线下对知识点的辅导和习题课的讲解，加强学生对知识点的理解和把握;“实践模块”主要是以数学建模为基础，设计问题，引导学生开展专题研究和讨论。

我们以常微分方程绪论部分为例，介绍三位一体模块化设计，首先结合线上的网络资源介绍常微分方程的发展历史，从17世纪微积分和微分方程的建立到18世纪利用微分方程推算海王星的存在，再到19世纪庞卡莱和李雅普诺夫对常微分方程定性理论和稳定性理论，再到20世纪60年代以后定性理论发展到现代微分动力系统的理论。让学生清晰地了解到目前常微分方程这门学科庞大理论体系的发展历程和历史意义。同时作为常微分方程的延伸和应用热点，可以介绍目前微分方程领域国内外数学家的成果，比如2018年菲尔兹奖得主之一 Alessio Figalli 所研究的最优传输问题;中国数学家彭实戈院士所开创的“倒向随机微分方程”;第二十九届诺贝尔经济学奖创立和发展的布莱克—斯克尔斯期权定价模型（Black-Scholes Op-   tion Pricing Model）等等。在实践模块，注重充分发挥学生的课堂主人翁意识，我们从新冠疫情等实际问题出发，引入常微分方程中的几类传染病模型：SI 模型和 SIR 模型。通过这些实例，让学生既深入参与了课堂教学，从中获得一种极大的满足感和自豪感，同时又对所学内容印象深刻，兴趣十足，让学生更有代入感和参与感。最后，由教师帮助学生对观点进行梳理和总结，达成一致的认识和理解，同时带领学生一起领略数学建模的过程：模型建立-模型的求解-模型的检验。当然学生也可以结合线上资源分小组学习这部分内容，在课堂上采用翻转课堂的形式将学习心得，微分方程建模案例与同学分享、讨论和交流。使线上线下两个渠道紧密配合，引导学生开展“自助式，讨论式”学习。

3.2 丰富教学手段

传统的教学手段主要采取板书和多媒体并用的形式，新冠疫情以后在网课的带动下也出现了一些新兴的互联网教学方式，比如弹幕、直播、短视频等。这些互联网互动方式比较能引起学生兴趣和吸引注意力。本教学团队尝试将这一互动方法引入到常微分方程的教学过程当中。本团队将所有的课程内容都录制成一段段十来分钟的短视频，方便学生平时预习和复习，特别针对常微分方程重要定理和理论的推导，通过短视频的方式呈现数学逻辑推理过程，有助于培养学生的数学思维。同时借助学习通平台，适当增加反思总结，发起问卷调查以及问题讨论，第一时间掌握学生真实的学习情况，然后根据学生的反馈调整教学节奏和侧重点。特别针对疑难部分以及错题难题，可以借助学习通平台与学生进行在线讲解和交流，打破了传统的学生只有上课才能找到老师解答问题的尴尬。基于学生对常微分方程的整体把握和认识，启发学生从实际问题中体会常微分方程怎么用，并在教学内容中注意融入课程思政的元素。这些也离不开丰富的教学手段，特别是对于常微分方程在实际问题中的应用，需要将反映前沿性和时代性的课程内容引入到课堂，这对老师专业知识面的广度和深度都有一定的要求。本教学团队成员从偏微分方程研究和指导数学建模的经历中收集了很多反映前沿性和深度的实例，以视频讲解、Matlab 软件数值模拟以及指导学生查阅整理文献等多种方式来完成教学实践。比如从最优传输问题出发引入介绍目前微分方程领域的研究前沿——蒙日安培方程;通过天气预测的混沌理论从思政教育的角度教育学生勿以善小而不为，勿以恶小而为之，贯彻了习近平总书记[5]提出的把思想政治工作贯穿教育教学全过程的精神;通过历年全国大学生数学建模竞赛以及美国大学生数学建模竞赛真题的分析，带领学生一起印证课程知识点的应用。

3.3 改良評价考核方式

“常微分方程”课程考核体系由线上学习和线下学习两个部分构成。线上学习成绩包括视频学习，平台课后作业和完成发布任务三个方面，占总成绩的30%;线下学习成绩包括课堂表现，平时测验成绩，期末考试成绩三个方面，占总成绩的70%。

考核内容能力化，将对学生的结果评价转为过程评价。在每个章节学习完毕，增加学习总结报告，作为平时测验成绩的一部分，提升课程学习的深度;强化应用和建模能力考查，提升课程学习的广度;期末试卷中增加微分方程适定性问题，提升课程学习的难度。

4 总结

通过教学评价反馈可以看出，大部分学生对混合式教学，翻转课堂模式给出了高度肯定，学生上课的积极性和认同感明显提高。改革成效主要体现在以下几个方面：（1）线上学习作为预习和补充，网上丰富的资源和资料扩展了学生的视野和知识面，同时也使老师在课堂上有更多的时间扩充知识的广度和深度;（2）增强了学生自主学习能力和团队协作精神;（3）引入数学建模和科研成果，让学生通过拓展阅读，了解微分方程的应用及现状。线上线下混合式的教学模式对“常微分方程”有很大的改革优势，充分体现了“以学生为中心，以能力培养为导向”。

基金项目：2019湖北大学研究生教育教学改革项目“数学学科研究生拔尖创新人才培养模式研究”（070014544）。

参考文献

[1]  国忠金， 孙丹.师范专业认证视角下常微分方程课程教学改革探索[J].科教导刊，2020（12）：148-149.

[2]  林媛， 刘伟明.基于课程思政背景的常微分方程课程教学改革研究[J].湖北师范大学学报（自然科学版），2021（41）：108-112.

[3]  刘倩.高等院校常微分方程教学模式创新与实践探索[J].科教论坛，2019（8）：48-48.

[4]  洪丽莉， 何希勤.提升学生创新创业能力视角下的常微分方程课程改革探索[J]教育观察，2017（21）：114-116.

[5]  习近平.把思想政治工作贯穿教育教学全过程开创我国高等教育事业发展新局面[N].人民日报，2016-12-09.