“厘米”的前概念调查与教学分析

浙江杭州市萧山区任伯年小学（311241） 高丽红

浙江杭州市萧山区党湾镇第一小学（311221） 王 冬

“厘米”是“米制”单位下的一个长度单位，关于“厘米”，学生的头脑中已经具备了怎样的单位观念？学生对于长度与长度单位的观念已经有了怎样的意识？对于测量工具（主要是学生用的直尺）已经有了怎样的认识？带着这些思考，我们在教学第一单元“长度单位”之前，对学生进行了一次“厘米”的前概念调查。

一、设计与设想

在学习“厘米”之前，学生已经积累了一定的，甚至丰富的关于“厘米”的前认知。首先，学生在学校学习和日常生活中，经常有比长短、比高矮的情况，就会用一定的物品的长度作为单位来描述长度。其次，对于“厘米”这一个概念名称，学生可能已“有所耳闻”，因为二年级的学生在更早的时候已经认识并使用直尺了。为证实以上设想，我们设计了三个题目。

1.调查学生对长度与长度单位认识的已有经验

【题目1】 （1）有一红一绿两根小棒，绿色小棒长10厘米，红色小棒长18厘米，这两根小棒哪根长？（2）绿色小棒比红色小棒长多少？你能从回形针、橡皮、直尺中选一样，用来测出绿色小棒比红色小棒长多少吗？

设计意图：（1）了解学生比长短的已有经验，即学生比较小棒长短的方法。（2）观察学生所选择的工具，判断学生对“单位长度”这一概念的原始认知状态。

2.调查学生对刻度尺认识的已有经验

【题目2】 你对直尺有哪些认识，你能介绍一下吗？（根据学生的回答追问：（1）这把尺子上有一些怎样的格子？（2）1 大格里有几小格？（3）这些数表示什么？（4）0表示什么？）

设计意图：（1）了解学生对测量工具认知的原始状态。（2）了解学生在教师追问下有意识观察测量工具后的状态：是否对厘米有认知；是否能观察发现厘米与毫米之间的关系；是否了解0 刻度及每小格与每大格的含义。

3.调查学生对厘米认识的已有经验

【题目3】如果要把这两条线连起来（图略），请估一估，这中间空缺的地方需要摆几根这样的小棒？（小棒长1 cm，间隔3 cm）

（待学生回答后，教师可指着长1 cm 的线段进行引导：“你身上什么部位的长度大约是1厘米？”）

设计意图：了解学生对1 厘米单位长度表象刻画的精确度的已有认知状况，以及学生是否能够将空缺部分分成若干个单位长度后再估计。

二、统计与分析

调查采用个别访谈的方式，由三位教师组成一个团队，其中一位教师提问，一位教师记录，一位教师摄像。完成后，以记录单为基础进行统计，如果有疑问，再看录像进行核实。为丰富调查对象，我们选择了城区、城郊与农村各一所学校，每所学校在同一个班级中按学业成绩，从三类水平的学生中各选择10人作为对象。

1.“长度”与“测量”的调查统计与分析

第1 问：有一红一绿两根小棒，绿色小棒长10厘米，红色小棒长18厘米，这两根小棒哪根长？

学生的正确率是100%。在教师追问“你是怎么判断的”时，学生都会先移动两根小棒，让其中的一端对齐，再指着较长的一根小棒中多出的部分说：“这里多出来了，所以它比较长。”这说明，对于有着明显长度区别的实物或线条，学生可以很快地进行长短的判别，并且能够用合理的策略进行验证。

第2 问：绿色小棒比红色小棒长多少？你能从回形针、橡皮、直尺中选一样，用来测出绿色小棒比红色小棒长多少吗？

80%的学生选择了直尺，并且能够选择一些合理的方法进行测量。于是我们把用直尺测量的情况进行分类（如表1）。

表1

从统计中可以发现，有80%的学生能够根据实际情境优化测量的过程，最后都能够得出“长8 厘米”。这说明，虽然直尺还没有纳入这些学生数学学习的范畴，但有93.3%的学生已经在其他学科或各种活动中认识了直尺，并且能用直尺进行较为正确的测量，而且在此过程中已经有了“厘米”的观念，也能够直观地感受到，用直尺测量长度比用回形针或橡皮测量更加方便科学。

2.刻度尺认识已有经验的统计与分析

会测量是否就代表着学生对直尺的结构就认识了呢？是否存在测量时只关注机械的操作，没有关注刻度之间的关系的情况？题目2 可以进一步提供相关的信息。

（1）整体认识

提问：你对直尺有哪些认识，能介绍一下吗？

这个问题可以了解学生能否从尺子上的“刻度”与“数”中抽象出长度单位。结果显示（如表2），学生在介绍时，大部分比较模糊，只能够简单地说出“数字”“线”这些直尺中外显的东西，并没有我们设想中的学生能够依据刻度之间的关系自觉地发现毫米与厘米之间的进率。

表2

从学生的回答来看，虽然学生能够用直尺进行测量，但对于直尺的具体构造却并不十分理解，如把“刻度”称为“线”，把“长度”称为“数字”。

（2）追问“数”的认识

关于直尺中的“数”的认识，设计了两个追问。追问1 是“这些数表示什么？”，主要调查学生是否能从“长度”的意义来认识这些数，结果如表3所示。

表3

追问2是“0表示什么？”，结果如表4所示。

表4

关于“0”，一年级上册专门有“0 的认识”一课，从“猴子吃桃子”的情境图（如图2）中自然地抽象出“0”表示“盘子里的桃子吃完了”，即“没有”，而直尺中的“0”应该表示“起点”。

图2

但从这一节课后续的练习来看，主要是“0”与其他5 以内数的加减运算的练习，即更多地强化“0”表示“没有”，而“0”在直尺中的“起点”意义再也没有出现。

（3）追问“格子”的认识

在直尺中，相邻的两个格子（包括大格与小格）之间的距离就是一个长度单位。在学生用的直尺中，为了后续测量的需要，在1 厘米之间又分出了10 格，并且又用一条较长的刻度线把这10 格平分成两个部分。学生能否顺利地区分这些“大格”中套着“小格”的情况，并说明两种格子之间的关系？带着这样的思考，我们设计了关于“格子”的两个追问。

教师根据学生的回答追问：“刚才你说尺子上有线（或刻度），这些线（或刻度）有长有短，将直尺分成一些不同的格子。请你说一说，这把尺子上有一些怎样的格子？”60%的学生能够区分出“大格”与“小格”。教师接着追问：“1 个大格里有几个小格？”原本以为，学生既然能够区分“大格”与“小格”，就应该能够数出两者之间的关系，但学生在表述大格与小格的关系时却出现了多种情况，结果如表5 所示。

表5

可见，学生在理解直尺中的大格与小格上还是有差异的。教师还可以进一步追问：“你所说的2小格、4小格或8小格分别指的是哪里？”

3.对厘米感知能力的统计与分析

“厘米”作为测量较短物体长度的一个单位，学生可以用怎样的方式建立起相应的长度观念呢？我们设计了两个有联系的问题，让学生用目测的方式来“连接”中断处，结果如表6所示。

表6

很显然，用1 厘米的小棒作为单位目测中间断开的长度，当断开长度等于或超过3 根时，学生出现多估的可能性更大一点。因为1 厘米的小棒较短，学生在用这一个单位估测时，往往会把这一个单位“再适当”地缩短。

对于教师的引导设问“你身上什么部位的长度大约是1 厘米？”，调查显示，学生一般会想到手指的关节与指甲，但如教材中用食指的宽度作为1 厘米的情况出现得极少。

三、反思与启示

调查是为了更好地了解学生的前概念，并在此基础上，更好地加工教材，更科学地设计与实施教学。“厘米”的前概念调查给了我们四个方面的反思与启示。

1.怎样让学生感受长度单位？

对于二年级的学生而言，如果把直尺作为测量工具的选择之一，就会有80%左右的学生选取，在这样的情况下，出示其他的物品作为长度单位的选择就显得多余了。同样的，如果已经有了用直尺作为测量工具的经验，再让学生探究其他的物品长度作为测量的工具也显得多余。因此，在统一长度单位这一个环节，可以不用探究，而是用图片展示与动手操作，让学生经历“以身为度”与“累黍定尺”的过程。在此基础上再引出直尺，让学生观察直尺后思考：在直尺上能够看到哪些长度单位？它是怎样表示出来的？

2.什么时候引出直尺更加合适？

在一年级上册的“0 的认识”中虽然出现了直尺，但并没有深入学习，这可能是一种遗憾。因此，在本节课中可以从0 的认识的角度初步学习用直尺测量和长度单位“厘米”，使学生形成关于“0”的两个认识维度。

在教学“0 的认识”时介绍刻度尺，可以让学生更加全面地认识“0”，再通过列举实例，在操作与计算的过程中丰富学生的学习经验。

3.学习直尺是否需要有两个阶段？

由于直尺上刻度的多样性与复杂性，使得学生在二年级上学期时难以建立起大格与小格的联系，是否可以在教学“厘米”时，用的直尺省略中间的小格子，这样有利于学生测量，也有利于学生更好地建立“厘米”的观念。到学习“毫米”时，再让学生测量不是整厘米数的物品的长度，并提问：“到底是几厘米多几（或少几）呢？”在学生自由创造后，出示有毫米刻度的尺子，让学生再次测量与表示，从而认识长度单位“毫米”。

4.厘米概念的建立有哪些合理的策略？

要建立起厘米的概念，首先要建立起“1 厘米”的观念。让学生列举身上的某一部分或某一样物品的长度大约是“1 厘米”后，可以让学生自主地用尺子的“1 厘米”进行比较，是正好1 厘米，还是比1厘米多或者少，如果有较大的误差，可以让学生进一步寻找。请学生自主寻找后汇报寻找的过程，以实现策略的共享。最后，让学生估测几厘米的物品的长度，并通过直尺测量来验证后不断地修正估测结果，并逐步形成“几厘米”的长度观念。

总之，测量与长度单位的教学可以与数的认识进行整合，作为用“数”来描述“形”的一个重要的教学方法，这能够促进学生在理解数的意义的基础上，建立起具体的长度单位与抽象的数之间的联系。