理通法自明——例谈学生运算能力的培养

山东临沂市罗庄区沂堂镇中心小学（277721） 王永胜

课程标准指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确运算的能力。培养运算能力有助于学生理解算理，寻求合理的途径解决问题。也就是说，培养学生的运算能力，实际上就是培养学生在理解运算意义和算理的过程中掌握算法、寻求合理算法解决问题的能力。

众所周知，证明与计算是数学研究的两大支柱，数学的发展在很大程度上可以说是计算、计算方法和计算工具的发展。

运算教学的重要性不言而喻，而对运算能力的培养来说，理解运算的意义是前提，理解算理是核心，运算能力也是数学核心素养的关键。那么在教学中，教师如何帮助学生在理解算理的基础上培养运算能力呢？下面，笔者从五个方面谈谈培养学生运算能力的策略。

一、启智：巧用比较，迁移算理

迁移是指一种学习对另一种学习的影响，简单来说就是已经获得的知识经验对其他活动的影响。数学是一门逻辑严密又彼此关联的学科，不同的数学知识之间有相同或者相似的因素，尤其是在运算方面，学生先前的运算经验、计算方法、对算理的理解都为新知的探索提供了可迁移的基础。在教学中，教师要善于引导学生从已有的知识和经验出发，尝试运用已有的知识和经验探索新问题，使学生的原有知识结构得到完善。

例如，在教学“除数是整十数的笔算除法”一课时，当学生在探究“92÷30”的算理时，笔者采取了“创境—回顾—比较”的教学策略。

首先，笔者创设情境，让学生提出两个问题：（1）把92本故事书分给一些班级，每班分3本，可以分给几个班？（2）把92 本故事书分给一些班级，每班分30本，可以分给几个班？

其次，笔者引导学生自主回顾“92÷3”的笔算过程，学生在这过程中巩固了“除的顺序”“商的位置”“余数的大小”等知识。这时，笔者追问：“这里的‘92’表示什么？第一次除得的商‘3’为什么写在十位上？”学生通过借助情境、画小棒图、打比方等方式对笔算过程进行讲解：“92 表示的是9 个十和2个一，第一次用9个十除以3，得到的是3个十，所以商‘3’要写在十位上……”

最后，笔者让学生自主计算“92÷30”，并追问：“为什么‘92÷30’的商‘3’写在个位上？”学生在自主探索的基础上，通过迁移旧知和已有经验进行了算理的辨析，有学生说：“‘92÷30’就好比是把9 个十元和2 个一元平均分给30 个人，先分9 个十元，每人不够1 个十元，于是把9 个十元换成90 个一元，和2 个一元合在一起分给30 个人，每个人分得3 个一元，最后还剩2 个一元，因此这里的商‘3’要写在个位上。”还有学生说：“92 可以看作9 捆小棒（1 捆有10 根）加2 根小棒，每3 捆分给1 个班，分给了3个班后还剩2根，因此‘3’要写在个位上。”

上课伊始，笔者巧用比较，抓住不同知识间的连接点激发了学生的思维，通过迁移旧知识，引导学生由此及彼，展开探究辨析活动，顺利实现知识的迁移，提高了学生的迁移类推能力，达到使学生触类旁通、举一反三的目标。

二、明理：直观操作，外显算理

美国教育心理学家布鲁纳提出学习的三种表征方式，即动作表征、形象表征和符号表征，并认为这三种表征方式之间存在一种严格的递进关系。儿童的思维是从动作开始的。在运算教学中，常用的动作表征活动有实物操作、画图操作和课件操作，适当的操作活动不仅能促进学生积极探索算法，还能将抽象的算理外显，进而促进学生运算能力的发展。

例如，在教学“小数乘法”一课时，学生在探究“要在‘3.2×4’的积的末尾点一位小数”这一问题时，笔者采取“画图—外显—明理”的策略。

笔者提出问题，引导学生说出3.2的含义，并用图表示3个一和2个十分之一，即用3个长方形和2个十分之一的小长方形表示3.2。

在用图表示数的意义的基础上，笔者启发学生继续画图表示算式“3.2×4”的含义（如图1）。学生通过画图探究出了计算“3.2×4”的方法并直观理解了算理，学生发现“2个十分之一乘4”得到8个十分一，不是一个完整的长方形，所以0.2×4=0.8。数形结合，能巧妙地将算理外显，从而帮助学生直观地理解抽象的算理。

图1

算理是运算的理论依据，具有数学的抽象特质，而学生的思维又具有具象的特点，因此在课中，教师要为学生提供自主操作直观模型的机会。直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形纸片或圆形纸片等。操作本身不是目的，而是为了促进算理的直观化和思维的可视化，强调的是学生的自主探究。教师要给学生独立思考、自主操作的机会，并适时点拨引导，实现从直观操作到符号表达的转化。

三、推演：字母表达，解释算理

课程标准指出：推理能力的发展应贯穿整个数学学习的过程；推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，两种推理的功能不同，却相辅相成。在计算教学中，教师可以根据学生的年龄特点让学生运用合情推理探索运算的规律，运用演绎推理解释算理。

例如，在教学“乘法分配律”一课时，让学生经历“大胆猜想—举例验证—得出结论”的学习活动后，得到乘法分配律的模型：（a+b）c=ac+bc。这个活动过程应该既是学生举例探索的过程，也是学生运用合情推理不完全归纳运算规律的过程，但多数学生的思维停留在了探索规律的层面，并没有深究乘法分配律的意义，因而学生的推理能力的训练效果大打折扣，不明算理致使他们在运用乘法分配律计算时错误百出。

笔者在此基础上深入一步，引入演绎推理，以此提升学生的运算水平。首先引导学生基于乘法的意义想一想（a+b）c表示的意思（c个“a+b”相加），然后引导学生进行转化表达“（a+b）+（a+b）+（a+b）+……”（一共是c 个“a+b”相加）。继而利用交换律将c个a 加在一起，再将c个b 加在一起，即（a+a+a+……）+（b+b+b+……）。最后利用乘法意义进行转化，c个a相加可以简写为ac，c个b相加可以简写为bc，从而运用演绎推理的方法证明了乘法分配律（a+b）c=ac+bc 的合理性。这一教学过程，笔者引导学生运用字母解释算理，不但让学生知其然，又知其所以然，更让合情推理与演绎推理相互补充，从而在发展学生的推理能力的基础上提高学生的运算水平。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此在运算教学中，教师要创设恰当的情境，给学生“大胆想”的空间，发展学生的数学思维，还要借助字母的表达式教给学生“小心证”的方法，发展学生的逻辑思维。

四、悟道：整体建构，打通算理

数学是一门逻辑性、系统性很强的学科。数学内容本身就是一个整体，它是由若干知识建构起来的具有严密逻辑关系的系统，前面的知识是后面知识的基础，后面的知识又是前面知识的延伸。因此，在运算教学中，教师要树立整体意识，适时帮助学生“回头看”，打通算理，实现整体建构。

例如，在教学“同分母分数加减法”一课时，学生得出“分母不变，分子相加减”的算法后，笔者适时来个“回马枪”，引导学生回顾整数、小数的加减法，帮助学生理解算理。在学生思考与交流后，笔者让学生观察和思考一组算式：4+3，400+300，0.4+学生从中发现，这些算式的数的类型看似不同，但计算方法却有相同之处：每个算式都有“4+3=7”这一步。笔者追问：“那它们的结果为什么不同呢？”学生发现是因为计数单位不同。这样就顺利沟通了知识间的联系：不论是整数、小数还是分数加法，其算法其实就是把相同计数单位的个数进行累加，“分母不变”就是计数单位不变，“分子相加”就是计数单位个数相加。

图2

再如，在教学“三位数乘两位数”一课时，学生根据“两位数乘两位数”的计算方法类推“三位数乘三位数”的计算方法，还发现了它们的计算方法是相同的。此时，笔者引导学生“回头看”，依次回顾“两位数乘一位数”“两位数乘两位数”和“三位数乘两位数”的算法，并提问：“观察这些竖式，你有什么发现？”学生在思考后发现，竖式中如果第二个因数是一位数，乘得的积就有一层，如果第二个因数是两位数，乘得的积就有两层……第一层的积都表示几个一，第二层的积都表示几个十。接着，教师引导学生推测：“如果第二个因数是三位数，它们的积会有几层？又表示什么？”经过探究，学生不但明白了算法，还理解了竖式计算的算理：“竖式计算的过程，其实就是先分后合的过程，也就是先分别算有几个一、几个十、几个百，再合起来。”至此，学生在整体建构中厘清了整数乘法的算理。

图3

教学实践证明，掌握知识的整体结构有助于理解知识和形成良好的认知结构。在学生初步理解了某一算法后，教师适时“回头看”，从整体上打通算理，能起到四两拨千斤之效。这样教学，学生才能真正悟到其中的道理。整体建构能让学生的学习从一种混沌的模糊状态提升为一种有意义、有结构的状态。

五、贯通：问题解决，应用算理

好的问题情境是选择合理运算方法的敲门砖，更是检验学生对算理的理解的试金石。在计算练习的环节，仍然需要教师创设合理的情境让学生基于算理的理解运用运算技能，在实际应用中对算理达到形式化的理解，提升运算水平。

例如，在教学“三位数乘两位数”一课时，笔者创设问题情境：A 市到F 市一日游每人309元，一个旅游团有21 名游客。引导学生提出问题“一共要花多少钱”，在学生列出算式并说明为什么用乘法的基础上，笔者提出了一个问题：“有个同学计算的结果是8325，他算得对不对呢？”在检验这个答案时，有的学生想到了看尾数的方法，309 的个位和21的个位相乘的积应该是9，不应该是5，所以这个答案是错的。还有的学生想到了估算的方法，把309 看 成300，把21 看 成20，3000 乘20 的 积 是6000，实际的积应该是6000 多，不可能是8000 多。学生在理解算式含义的基础上灵活地选择合理的方法进行检验。

在此基础上，笔者继续创设情境：旅行社的阿姨想用计算器来算309×21，可是数字键“1”坏了，你能帮阿姨想个办法用计算器算出309×21 的结果吗？学生给出不少方法：（1）309×20+309；（2）309×22-309；（3）309×7×3……学生在帮助旅行社阿姨解决问题的过程中，贯通了不同算法之间的联系，加深了对算理的理解与感悟，发展了高阶思维。

从创设情境到解决问题的过程，是学生对算法从认知到熟知，对算理从直观理解到应用理解的过程。事实上，学生应用抽象的算理解决现实问题是衡量其运算能力的标准，因此，在练习环节，教师应让学生用算理解决实际问题，从而发展学生的运算能力。

总之，培养学生的运算能力并非一朝一夕能完成，在教学的各个环节，教师要善于启智、操作、解释、串连和应用，避免让学生机械计算，并能根据学生的心理特征和数学学科特点不断革新教学方式，循序渐进地培养学生的运算能力。