促进算理理解的教学策略初探

浙江台州市仙居县皤滩乡中心小学（317319） 方中真

数的运算是小学数学课程的重头戏。纵观小学数学课程，整数、小数、分数的计算贯穿始终，是主轴，其他数学知识多是依托并围绕这根主轴铺展开。理解算理无疑是数的运算教学中最重要的一环。学生只有对算理洞若观火，才能掌握运算的精要，运算时才能得心应手、挥洒自如。下面笔者结合教学实践来谈谈促成算理理解的几点策略。

一、立足起点，追根溯源，在运算中回顾算理

1.理一理，摸底算理根基

学习永远是在旧知上添砖加瓦，换言之，吸纳新知必须站在旧知的平台上，如此才能增长新的知识和经验，学习算理概莫能外。例如，四年级“小数加法和减法”一课，貌似简单，似乎只要谨记“小数点对齐”这一铁律，重复操练即可。但实际教学效果往往令人大失所望，即使经过反复训练，也不能杜绝学生对错小数点。事实表明，即便是简单的计算，无视已有经验的承接，学生也会理解不透。于是，笔者在教学前先对旧知进行了梳理回顾。

【案例1】小数加减法教学片段

教师先出示计算式“475+2”，提问：“2 和哪个数字相加？为什么必须加到5 上？”让学生回想“数位相同的数字才能相加减”的规则；再改编题目为“4.75+0.2”，让学生继续计算；然后针对学生得出的结果“477”和“4.95”，引导学生辨析：“如何设法求证结果是4.95呢？”学生有的通过赋予现实意义法，添加单位“元”或者“米”来思考，有的则根据小数的特性，在0.2 末尾补加一个0，改变其计数单位以便在形式上对齐数位，还有的直接遵照规则“数位相同才能相加”，因为都是十分位，所以“2”直接加到“7”上。教师对小数加法的算理进行多维度的解释后，再对照“475+2”和“4.75+0.2”的竖式提问：“‘475+2’竖式中的‘2’和‘5’对齐，实际上就是末尾数字对齐，而到了‘4.75+0.2’中，则变成小数点对齐，计算规则发生了转变，是否有什么不变的主线贯穿始终？”在学习小数加减法之前，学生对整数加减法运用了好长时间，对“末位对齐”这一定律深信不疑，甚至奉为金科玉律，对整数中“数位相同才能直接运算”也有所领悟，但“末位对齐”也让学生产生了思维定式。因此，教师在教学中要举出反例，让学生重新树立“数位相同才能保证对齐”的正确观点。上例中，立足于学生对整数加法的起点，将整数运算中的“末位对齐才能保证数位对齐”转化为小数加减法中的“小数点对齐才能保证数位对齐”的新规，对比提炼出维系两者的同一主线——数位对齐。

2.退一步，回归算理起源

数的概念和运算，都是算理的起源，算理是从计数和运算需要中生成和归纳出的理论。如整数加减法的算理就是起源于数目增减的意义；小数的乘除法也是起源于小数扩大和缩小的意义；分数加减法的起源则是分数单位个数的增减；四则混合运算则需要各种运算定律和法则作为支撑。在计算教学中回归算理起源，往往能收到出奇制胜的效果。

【案例2】同分母分数的加减法教学片段

教师出示问题情境一：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……1 分米、2 分米、3 分米、4 分米……在这些数据中任选两个，编写一道加法计算题，并算出结果。

问题情境二：

在上面的两行数中任选两个，编写一道计算题，并算出结果。

对五年级的学生而言，计算类似3 厘米加2 厘米的问题，太过简单，但是正是有了这样浅显的积累，才能为后面的计算打下基础。其间教师放手让学生自行摸索，并引导学生领悟计数单位相同才能直接加减，如计数单位不相同则要化为相同后才能计算。

凡事在当下找不到出路，就回归本源。如在小数加减法计算中，若学生对小数点对齐这一法则不能完全接受，那就回归本质——看看整数加减法的运算法则是怎么回事。整数加减法可以看作是小数加减法的前身，从数型上看，小数只是比整数多了一个小数点。在整数加减法中要求数位对齐，只要将末位（个位）数字对齐，然后从右至左依次对齐。但是，在小数加减法中，两个小数的末位数字不一定处于同一个数位，所以无法继续运用末位数字对齐这一规则。但是其根本要旨是不变的，即数位对齐，只不过换了一个标准，小数加减法里，个位和十分位是相对固定的，分居小数点两侧，只要将小数点对齐，个位和十分位自然对齐，而这两个数位分别是整数部分和小数部分的起点。说到底，小数加减法中的小数点对齐和整数加减法中的末位数字对齐，都是先让个位对齐，然后让数位依次对齐。

分数加减法中，率先学习的是同分母分数的加减法，为何只有分母相同才能直接相加减？这就要回溯到分数加减法的本源，但这个本源“分数单位的累加”本身也不好理解，不得已再向上溯源，回归到计量单位（如厘米和分米）的叠加，只有长度单位相同才能直接将数据相加（如3 厘米+4 厘米=7 厘米），类比迁移到分数，也就是只有分数单位相同，才能将分子直接相加减（如）。

二、借助表象支撑，多维度理解算理

运算的算理是抽象的，也是理性的。根据小学生的心理特征，教学时先借助表象，建立直观算理模型，再引入公式也是可行的。

1.借助直观教具演示算理

【案例3】除数是整十数的除法笔算教学片段

除数是整十数的除法，受到除数是一位数除法的影响，学生常常出现以下错误：

如何让学生明白商4 的位置所反映的算理？教师不妨采用小棒来全面揭露整个算理的运作过程（如图1和图2）。

例1：92÷30=

图1

例2：140÷30=

图2

除数是整十数的除法，商的位置的确定是一个难点，可让学生试着列竖式，并通过圈画的方法确定商的大小以及商写在哪一位上。学生有了直观图的支持，就会对照理解竖式中每个数的含义，以及每一步运算的来历与始末。一位数除法与小数加减法相似，起始课看似简单，后期课程的难度却超乎想象，因此只有在起始课中对算理进行直观演示并深刻揭示，才能帮助学生搭建完整稳固的算理表象，降低后续学习的难度。

2.借助情境支撑理解算理

算法的建构如果赋予具体情境，往往可以变得直观形象。

【案例4】除数是两位数的除法（试商、调商）教学片段

（1）创设问题情境

图3

花费153 元买同一款足球，分别可以买几个？怎样列式？

（2）计算“153÷21”并交流。

教师提问：

①如何试商？有什么发现？

②根据生活经验解释出现这种情况的原因。

（3）计算“153÷32，153÷38”并交流。

教师提问：

①如何试商？有什么发现？

②根据生活经验解释出现这种情况的原因。

③对比“153÷21”和“153÷32”，它们有什么共同点？为何初次试商会偏大？

④对比“153÷32”和“153÷38”，它们有什么差别？为什么除数都是三十几？为什么“153÷32”初次试商会偏大，“153÷38”初次试商会偏小？

将除数四舍五入成整十数是口算试商的基本步骤，但“四舍”往往会导致试商偏大，“五入”则会导致试商偏小。借助购物这一生活情境可以直观地反映试商的过程和意义。“153÷32”中因为将单价缩小至30，因此买5 个足球的实际费用低于实价，实付160 元变成了估价150 元，资金153 元小于实价160 元而大于估价150 元，所以买5 个超支，只能买4 个，商要下调成4。通过两组算式“153÷21、153÷32”“153÷32、153÷38”的对比，更能揭示调商的原因。

试商一直是多位数除法的教学难点，受到一位数除法的影响，遇到除数是整十数的除法，学生不知道如何对待除数末尾（个位）的0，只针对非零数字进行除法运算，尤其是当遇到前面的非零数字相除刚好符合某句乘法口诀时，也就是刚好整除时，就会得意忘形，胡乱写商，将商写到十位上，并在后面加一个零，无缘无故地将商扩大10 倍，这是受乘法“直接将因数末尾的0 转移到积的后面”的负迁移作用的影响，而误将除数末尾的0 也转移到商的末尾。这种错误是不理解除法算理引起的，只有直观地操作演示才能让学生看清商的本质。除法计算与其他运算的根本区别在于，加、减、乘的得数都可以一锤定音，但是除法计算由于存在余数问题，不可能每一步都符合乘法口诀，因此有一个试商的过程。虽然任何一个数位上的商都不可能逃离0~9 这10 个数字，但是未必就要逐一尝试，而应最大限度地缩小试商范围，争取试两三次就敲定。为此，借助直观、情境化的合理推测是可行之法，如先将除数估计为整十数，再按乘法口诀来暂定“临时商”，然后一步步调整，最后确定“准确商”。

三、打通知识间的壁垒，突出主线，促成理解

通过创设情境，借助直观教具建立表象，可清除学生已有经验中的无关因素。在这一基础上，教师还应该通过类比其他知识，找到异同点和逻辑关联，细化算理，实现学生对算理的理解从形式化走向智能化。

1.展示思路

【案例5】十几减9的退位减法教学片段

根据“有15串糖葫芦，卖了9串，还剩几串？”可列式“15-9”。教师提问：“可采用什么方法解决问题？先独立思考，再交流。”学生摆小棒推演，展示不同算法。

方法一：从15根小棒中扣减9根，剩下6根。

方法二：想加算减，联想9+6=15，于是反推15-9=6。

方法三：破十法，15-9=10-9+5=6。

方法四：分批连减，15-9=15-5-4=6。

四种方法显露出学生的思维路径：“数小棒”直接运用减法意义，“想加算减”则是运用逆运算概念，“破十法”和“分批连减”则是应用了拆分数字的方法。上述方法中，“破十法”和“分批连减”的理解是难点，需要图形辅助。“破十法”是退位减法的直观雏形，也是退位减法的理论依据，意义重大。因此，教师需要重点演示“破十法”的详解过程，借助学具推演，在学生的展示和交流中诠释算理。

2.沟通反思

课堂中教师要及时指导学生进行新旧运算的对比，找出异同点，并用专业的学科语言陈述，实现算法和算理的融合，让学生达到心领神会的境界。如“小数乘整数”和“整数乘法”进行比较，“小数乘小数”和“小数乘整数”进行比较，从而引导学生掌握“小数乘法”中小数点的确定规则；“小数除小数”与“小数除整数”做比较，复习整理时，再将小数乘除法进行横向对比。可以说，学生对算理的掌握，就是在不断的比较中达成的。