找规律先从有序思考和符号简化做起
2022-06-22江苏海安市开发区实验学校小学部226600沈永玲
江苏海安市开发区实验学校小学部(226600) 沈永玲
苏教版教材增设的“找规律”单元,为培养学生探寻规律的能力编排了优质的教程,且强调:找规律知识的落脚点在“寻找”,而不在对所发现规律的创新运用上。那么,如何在课堂教学中细化贯彻和落实“寻找”,使学生不断积累“寻找”的经验,提高“寻找”的能力呢?下面笔者就以“搭配的规律”教学为例展开说明。
一、渗透有序思考,摸清“找”的门道
【教学片段1】
师:同学们喜欢打乒乓球吗?(学生自由交流)
师:省乒乓球队现役球员中有陈红、李兰、马芬3 名女球员,杜刚和李勤2 名男球员。要选1 名男球员和1 名女球员参加男女混合双打项目的比赛,如果你是省队教练,你准备怎样安排他们上场?(学生自由回答)
师:看来有多种搭配方案,那么共有多少种呢?大家不妨推测一下。(绝大多数学生认为有6种)
师:到底是不是6 种搭配方案呢?现在请每个小组拿出老师分发给你们的球员照片摆一摆,模拟组队验证一下。
(让某位学生一边在电脑上拖拽图片演示一边解说选配经过)
师:他这样搭配条理清晰吗?是按照什么顺序依次展开的?有缺漏吗?
生1:他先选男球员,再分别搭配女球员。
师:还可以依照怎样的次序搭配?(让其他学生演示方案)
师(小结):只有井然有序的搭配才能做到不重不漏。谁能总结一下?
生2:先从球员照片中选出所有的男球员,再依次搭配女球员;或先从中选出所有的女球员,再依次搭配男球员。
【反思】找规律首先要有动机,教师创设男乒乓球员和女乒乓球员的搭配情境,能有效激发学生的探究兴趣。在学生说出搭配方案后,教师让学生拿出照片进行配对复盘。学生通过直观操作,由散乱随机搭配,出现重复或者遗漏的情况,到捋顺思绪,最终找到有序的排列方法。
数学教学的宗旨是培养和提高学生的思维能力,而有序思考则是衡量思维能力的重要指标,也是解决烦琐问题的一种捷径,可以将头绪复杂的问题条理化。搭配问题有两大基本解法——一一列举和算术运算,而算术运算的算理正是源自列举,其本质就是将随机列举变成依序列举,依照列举的规律归纳出计算公式。上述教学中请学生拼摆时,有部分学生随意拼摆,有部分学生会自觉运用有序思想,按照一定的先后顺序逐一拼摆,逐一排查。此时,教师提醒学生比较“有序”和“无序”两种摆法,并检查是否有重复或遗漏,从而彰显有序排列的优越性,让学生意识到“有序”拼摆才是“正道”。教师在提问中鞭策和督导学生将“有序”思想转化为行动,并在后续教学中继续强化“有序”思想。
二、研磨探究过程,优化“找”的措施
【教学片段2】
师(收起照片):如果没有球员照片,你会用涂画线条或者标记符号的方式呈现各种不同的搭配方案吗?请大家试一试。
(学生独立探究,教师巡查)
师(展示生1用文字表示的搭配方案:陈红—杜刚、陈红—李勤、李兰—杜刚、李兰—李勤、马芬—杜刚、马芬—李勤):生1这种搭配方案有何规律?
生2:他先暂定女球员陈红,然后分别依次搭配男球员;再暂定女球员李兰,然后分别依次搭配男球员;最后选定女球员马芬,然后依次搭配男球员。
师(展示生3用符号来表示的搭配方案:A1、A2;B1、B2;C1、C2):这里的英文字母A、B、C 代表什么,阿拉伯数字1、2 又有什么含义?你们看得懂吗?
生3:A、B、C 分别代表三名女球员;1、2 分别代表两名男球员。
师:对比上述两种表示法,它们有什么共通之处?你更倾向于哪种表示法?
生4:这两种表示法都是严格按照某种顺序依次进行的,都是先暂定女球员,再搭配男球员。显然,符号记录比文字记录更简便。
(教师展示生5用连线表示的搭配方案,如图1所示)
图1
师:你们能看明白这其中的奥妙吗?这里的每条线有什么含义?
生6:每条线表示两名球员搭配(组合)在一起。
师:这些线条是胡乱连接的吗?我们请生5解释一下。
生5:我先将陈红和杜刚、李勤分别连线,有2种搭配方法;再将李兰和杜刚、李勤连线,也有2 种搭配方法;最后将马芬和杜刚、李勤连线,也有2 种搭配方法。因此一共有6种搭配方法。
师:还有别的连线次序吗?
生7(边指边说):先将杜刚依次连上面的三位女球员,有3 种搭配方案;再将李勤依次连上面的三名女球员,也有3 种搭配方案。因此一共有6 种搭配方案。
(教师展示生7用符号连线表示的搭配方案,如图2所示)
图2
师:能看懂这其中的玄机吗?谁来解说一下。
生8:他的方法其实和生5的如出一辙,只不过这里用不同图案表示不同球员,更加简便直观。
师:这么多方案,哪种方案最好?请说出理由。
生9:符号连线法是最佳方法,因为它又直观又简洁。
师:复杂的问题往往可以通过符号变得直观明了,“数形结合”是一条解决问题的坦途。
【反思】直接拿真人照片摆弄,属于最直观的实践性操作,但是这种方法无法使学生形成细致缜密的有序思维,学生也无法归纳出一种数学理论,只有进行符号化的处理才能促进学生数学思维的形成。先将图片抽象为人名,两两配对连线,这是停留在筛选排序阶段;再将人名抽象为字符(字母和数字),组合成各种不同的数码,进一步将筛选排序升级为组合排序;然后将人名按性别分为上下两行,通过连线来完成搭配,此时达到初步几何直观排序的层级;最后将人名抽象为几何图,按性别设计成不同形状的四边形和三角形,彻底完成几何化的直观排序。这样层层递进的抽象化排序,让学生彻底摆脱文字描述和数量关系的束缚,直指有序思想的核心——符号化处理所有元素。
有序操作虽让学生摸清了门路,但不可能每次找规律都靠拼摆,而是要具有抽象的思维脉络。而帮助学生转化提炼的过程,不是突兀地展示抽象图,而是让学生在充分地探究创新后,进行交流、评析并优化,形成情感式体验,这样才能内化为专属个人的“找”的谋略和智慧。由于学生的思维存在差异,所以个性化的思考可以提示和启发其他同学。为此,在展示环节,教师有意识地将学生的搭配方案按照由粗到细分层展现,完美演绎搭配方法的“进化”过程,让学生更清楚地了解自己所用方法的优劣,使学生的思维能力也随之不断提升。在每次的探讨与交流、磋商与改进中,学生都能够增加体验、扬长避短、取长补短。教师最后进行概括,点明主旨,提出“找规律”的重要手段——数形结合。
三、赋予实际意义,为抽象“找”提供依据
【教学片段3】
师:基于前面的实践探索,你能归纳出一个算式吗?(3×2=6或2×3=6)
师:如何理解这个算式的合理性?
生1:第一位女球员可搭配两名男球员,有2 种方法;第二位女球员可搭配两名男球员,也有2 种方法;第三位女球员可搭配两名男球员,也有2 种方法。因此就是3个2种。
生2:还可以这样理解,第一位男球员可搭配三名女球员,有3 种方法;第二位男球员可搭配三名女球员,也有3种方法。因此是2个3种。
师:如果增派一名男球员,会有多少种搭配方式?想象一下,该如何搭线?如何列式?
生3:增派一名男球员,即第三位男球员,他可搭配三名女球员,也有3 种方法,就是3 个3 种,3×3=9。
师:如果再增派一名女球员,一共有多少种搭配方式?有几个几种?
生4:新增的这位女球员仍然要和三名男球员搭配,也有3种方法,因此就有4个3种,4×3=12。
师:假若有10名女球员、8名男球员,又有多少种不同的搭配方法呢?(学生有的搭线,有的直接列式)
生5:第一位女球员可分别与8 名男球员搭配,有8 种方法;第二位女球员可分别与8 名男球员搭配,也有8种方法……
生6(打断生5):不要再往下说了,10 位女球员自然就有10个8种,所以是10×8=80。
师:为什么选择连线的同学中断了?
生7:线条太多,横七竖八的,数不过来。
生8:只需连完第一位女球员的所有搭配形式就好了。
出示表格:
男球员人数3 3 4 1 0女球员人数2 3 3 8搭配总方法数6 9 1 2 80
师:现在你能概括出搭配规律的公式了吗?
生9:男球员人数×女球员人数=搭配总方法数。
生10:可以推广为,一种“配件”的数量×另一种“配件”的数量=搭配总方法数。
师:你们觉得哪种定理描述得更恰当?
生11:第二种。因为生活中需要搭配的事物数不胜数,不光是男球员和女球员。
【反思】抽象连线仍只是停留在一一列举阶段,没有达到数学模型的高度。数学是一门精练的学科,要想从直观的操作中归纳出数学模型,还得回归文字,让学生从对情境的描述和理解中概括出算理。有了前面的直观操作,学生对算理的探析会更加有理可依。学生一边回顾前面多种操作形成的表象,一边描述推理过程,用男球员搭配女球员,每位男球员的搭配方案数就是女球员的人数,而这个数字是一定的,由此可得搭配总方案数就是男球员人数乘以女球员人数。教师通过不断增加男球员人数和女队员人数来增加逻辑难度。最后,抛开选配球员的情境,教师引导学生通过类比迁移归纳出:任何搭配方案总数的计算都是各种“配件数”的相乘。
探寻规律本质上属于“数学建模”的范畴,在小学阶段通常都是通过归纳概括得出,而从半直观、半抽象的图示法到完全抽象的符号化算式,更有利于学生确认这一规律的普适性。探寻得到的算式很简单,无非就是将各种“配件”的数量相乘,但如果不领悟乘法运算的深刻含义,那就不能算得到了规律。教学中,教师设计了增派男球员和女球员的环节,让搭配总数持续呈现动态变化。学生在动态变化中发掘隐含的恒量,将前面操作的经验迁移到新情境下,很快想出“几个几”。最后,教师一下子将男球员和女球员增至10人和8人,两个因素同步改变,且数目较大,画图推演变得异常困难,但有先前对“几个几”的反复演练与强化,现在只需画出一名女球员的所有搭配情形,就能找到参照基准——“一个几”。这也体现了理解算理的巨大作用。
综上,在教学中教师注重渗透和揭示算理,是希望学生能站在理解的高度上。只有这样,学生在运用时才能做到心中自有主张。