“大应用”数学观的思考与实践

广东茂名市光华小学（525000） 曾德统

“大应用”数学观是一种超越经验主义、实用主义和理性主义的应用观，是一种全面的、和谐的、特色化的育人观和方法论。它把数学育人提高到一个新的层次。“大应用”数学，大在过程，大在全人，大在整合，大在未来。

一、什么是“大应用”数学

“大应用”数学之“大”，是相对于狭义的“应用”而言的，它是一种基于理论基础和行动导向，综合的、融通的数学学习理念，是对知行合一精神的价值回归。“大应用”数学回归教育本源，改变生活实践能力欠缺的“考试人”“知识人”的状态，塑造全面协调发展的“社会人”。所谓“社会人”，可以从应用思维、应用行为、应用态度和应用文化四个维度来理解。

“大应用”数学，“大”在哪里？

首先，大在过程。2020 年发布的《深化新时代教育评价改革总体方案》提出结果评价、过程评价和增值评价，覆盖了教育长跑的起点、过程和终点，并以综合评价贯穿其中，构成了一个多维立体、全面动态的评价体系。“大应用”本身就是一个过程，但关注点却在于人的持续成长的过程，体现数学育人功能的多维和动态，在应用的过程中展示思维、思想成长的过程。通过应用过程去检验评价育人的效果，更能精准地进行科学的评价。

其次，大在全人。狭义的应用观侧重知识本身和技能技巧的应用，“大应用”数学则关注学生多方面的综合发展。真正的学习经验并非被动接受灌输而得到，它必须是作为主体的人，通过主动实践习得。“大应用”数学有利于加强教育的主体与学校外部世界的关联，为培养体脑结合全面发展的人提供了路径。

再次，大在整合。整合是新时代的一个热词，也是课程改革的重要方向。“大应用”数学关注的是整体协调发展，因此它强调学科的相互融合，课程内容的相互渗透、推陈出新。数学作为基础工具性学科，不应只是粗浅地学习“1+1=2”。我们从数学史中知道，从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系；到了近代，数学进入了人文社会科学领域；再到当代，数学与人文社会科学整合更是一种强大的趋势。“大应用”数学，是把数学与其他学科密切联系起来，在融入其他学科中绽放数学的光芒。

最后，大在未来。未来教育的样子，将会是大应用、大融合、智能化的场景：未来的学校，很可能会是一个开放的空间，与社区充分地融为一体；未来的课堂教学，可能会在大自然、社区、工厂和企业的作业场所中进行；未来的学习，在突出个别化学习的同时，还有广泛的同伴互助；未来的学生，更加关注职业启蒙和职业规划。“大应用”数学在未来的场景中将更具生命力，在高端的智能化场景中，知识只是载体，应用能力与意识、创新能力与意识才是未来公民的必备品质。

二、“大应用”数学提出的背景与理论依据

中外历史上对数学应用的探索从未停止。未来人类智慧、人工智能和智能制造的“三智”融合，使生产生活走向智能。这一切，都呼唤着“大应用”数学的到来。

1.弗兰登塔尔与现实数学教育

弗兰登塔尔反对把数学教育的目标看成“致力于智力（思维能力）的发展”。“虽然这些系统是完美的，但同时也是封闭的，封闭到没有出口和入口，完美到机器亦能处理。一旦机器可以介入，人的作用就不重要了。”他认为这类似于把学生训练成计算机的教育模式，没有留给学生发挥主动性和创造力的空间。数学在本质上是一项人类活动，应当使已经存在于头脑中的那些非正规的数学知识和数学思维，上升发展为科学的结论，实现数学的“再发现”。他还认为，数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始和结束，从生活中的问题到数学问题，从具体问题到抽象概念，从特殊关系到一般规则，通过学生自己的发现去学习数学、获取知识。

2.陶行知的生活教育理论

陶行知先生的生活教育理论包含三重含义。一是生活即教育。生活中的每时每刻都需要教育，不同的生活内容都具有教育的功效。二是社会即学校。社会是所有人接触和生存的环境，社会环境可以被看作一个教育的大环境，将学校与社会相结合，教育服务于生活，学校服务于社会，运用社会大环境来实现对学生的培养。三是教、学、做合一。即教师的“教”和学生的“学”应结合社会需要，将理论和经验付诸实际，来检验教和学的成果。陶行知先生从大教育观出发，指出生活的过程就是一种教育的过程，这和“大应用”数学提出的初衷和理念是一致的。

3.课程标准与数学应用意识

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》明确把“应用意识”作为十大关键词之一。“应用”这部分内容既不好教，也不好考，但是又很重要，它支配着我们解决实际问题的整个过程。课程标准提出“增强应用意识，提高实践能力”，并指出应用意识的主要表现，一是认识数学在现实生活中的广泛应用，二是主动运用数学知识解决问题，三是探索数学知识的应用价值，达到数学知识现实化、现实知识数学化的良性循环。

三、“大应用”数学背后的价值思考

“大应用”数学，追求的是成长主体通过真实的实践应用过程，将课本的理论知识与生活的实践活动相结合，进行知识的“再生产”、真内化，进而深化知识，增长才干，更好地解决主体成长过程中出现的理论和实践割裂、学与用分离以及教与学脱节等问题。“大应用”数学同样注重扎实的数学基础、数学思想方法，包括数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力，在应用中内化数学应用意识。爱因斯坦指出，教育就是当一个人把在学校所学的知识忘光之后剩下的东西。“大应用”数学的核心就是关注这些“剩下的东西”，统筹解决学生尚未了解的关键问题。

1.更能培养“社会人”。“大应用”数学以应用为载体，着眼通过处理好个体与社会、实践与认识、生活与学习等的关系，理性寻求实践与认识的交融处，实现学生潜在的价值，让学生更好地成为“社会人”。

2.更好地促进课程改革。新的教育评价更关注学生的成长动态过程性评价。数学课程改革重要的内容之一便是让学生学会如何将自己所学到的知识与实际生活联系起来，并能够在日常的生活中应用这些知识。“大应用”数学关注作为“整体的人”的发展，关注整合，着眼于未来。

3.更好地进行深层学习。应用是思维的试金石。小学生的年龄特点，要求我们从现实出发，从问题入手进行深层学习。“大应用”数学就像一面照妖镜，对于假深度、假学习等现象，一照便知。对小学数学课堂来说，深层学习体现在培养学生兴趣、发展思维，体现在课堂中见数学思想、有生产生成。

4.更好地培养应用意识。提出“大应用”数学教学理念，是为了更好地培养学生的数学应用意识。“大应用”数学能够最大限度地将数学课堂与实际生活联系起来，让学生学会如何在生活中应用自己所学到的数学知识，并思考知识背后的价值。

5.更能让数学持续生长。数学是基础学科、工具学科，但它不仅仅是工具和方法，也是一种思维模式，一门科学，一种文化，一种素质。“大应用”数学从认识论的视角思考，学生的整个认知过程，都将受到隐性知识的支配和影响，都将通过隐性知识指导自身获取显性知识，从而实现显性、隐性两类知识的相互促进和互相转化、良性生长。

四、“大应用”数学教学的实践

俗话说：“做到老，学到老。”其实也可以这样理解：学以致用，应用已学的知识、技能、方法和思想去解决问题，包括生活实践和未知领域的问题。反之，在应用的过程中提升“学”的层次，用就是学，学也是用，用与学互相促进。纵看，“大应用”贯穿人的学习全过程，贯穿人一生的成长，贯穿社会文明的代代传承与发展；横看，“大应用”体现跨学科的整合渗透，人与人、人与社会，甚至人与AI 机器之间的渗透支持、相互作用。课堂，是思想落地的地方。在小学数学教学中，以课堂为主阵地，用“大应用”数学的思想和意识引领课堂的重构，实现“大应用”数学的育人价值。

1.情境催生，让应用发自需要

教师精心设计不同的情境，把问题蕴藏在情境中，把学生带到情境当中，勾起学生的知识回忆，引发学生的情感共鸣，激发学生主动学习的意愿，让应用成为学生发自内心的需要。创设情境要注意情境的有效性、适切性、推动性和延展性。

【案例】近视率（2020.11 常州，芮建花老师公开课“认识百分数”片段）

武进区部分学校六年级学生近视情况统计表

2020年10月

学校A学校B学校C学校近视人数96 120 114总人数240 320 300近视人数占总人数的几分之几96÷240=114÷300=120÷320=

师：为什么要学百分数？你准备怎么比？

生1：总人数不一样，得到近视人数是总人数的几分之分，需要通分进行比较。

师：方法真好。3 所学校的近视率如何求？哪一所的最高？

生2：用近视人数除以对应总人数就可以。A学校的最高。

武进区部分学校六年级学生近视情况统计表

2020年10月

学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H学校I学校近视人数96 120 114 132 87 91 150 64 112总人数240 320 300 288 203 294 336 176 245近视人数占总人数的百分比96÷240=40%114÷300=38%120÷320=37.5%132÷288=45.8%87÷203=42.8%91÷294=31.0%150÷336=44.6%64÷176=36.4%112÷245=45.7%

师：有9所学校，如何比较？

生3：通分试一试，分母会比较大。

生4：通分太麻烦了。

师：看着这些数字，大家还有其他的看法吗？

生5：学生的近视情况不乐观，要注意眼睛保健。

【点评】这一环节的设计由简单入手，一开始，学生可以用旧知识解决问题，但是随着条件的增加、情况的变化，学生发现用旧知识解决当前的问题十分繁杂，因此急需找到简便的办法。这样设计，倒逼学生产生心底的需要，让学生“口渴”。

2.有效参与，让学生乐于应用

课堂中学生的参与包括行动的参与、认知的参与和情感的参与三个维度。数学教师要改变单一的说教模式，激发学生的参与热情，让学生真正参与到课堂中去，做课堂的主人，实现情智共生。

【案例】认识小数（2020.11 常州，张祖润老师公开课“认识小数”片段）

师：从0.6 继续涂色，0.7、0.8，直到全部涂满，现在是多少？（1.0）你是怎么想的？

生1：把长方形想象成1角。

生2：满十进一。

师：继续思考，增加一部分，合在一起，大概是多少？

生3：把右边的长方形和正方形拼接起来，我猜是1.2。

【点评】这个环节数形结合，让学生在初步认识小数的基础上，运用已有的经验，从0.6到1.0，再猜想大于1 的小数。学生在动态的思考中逐步加深对大于1 的一位小数的理解。这个教学设计符合学生的认知规律，易于学生理解和接纳。

师：正方形一边缩小，演变成线段，拼起来，你还能找到1.2吗？

生4：正方形表示1，数轴中的一个刻度表示0.1，1.2在1后面的第2个刻度。

【点评】这个操作环节十分巧妙，由正方形变成数轴，把面与线巧妙打通，数轴也变得更简约便捷，体现了数学的简约美，同时为下面巩固练习做了很好的铺垫。

3.渗透应用，让课堂有真生成

“大应用”数学教学是基于活动经验的积累，透过知识看能力；是基于问题解决的多样性，架起知行的桥梁；是基于思维发展的持续性，更好地培养问题意识。“大应用”数学教学追求应用水平的第三层次。杨坚老师“一张纸能折多少次”的公开课，由生活的“折”到数学的“折”，带领学生经历了一次极限与抽象的数学思想的洗涤。

【案例】数学地“折”（2020.11 常州，杨坚老师公开课“一张纸能折多少次”片段）

师：请选择1号或3号纸，把每次对折后的大小记录下来，填入表格中，再观察数据，说说发现。

生1：我发现折的厚度乘2，长宽交替除以2。

生2：我发现对折后会有一个数据不变……

师：再对折下去，会怎样？

生3：越来越厚，折不下去了。

生4：假设可以无限次对折。

师：继续对折纸张，它的厚度加速增大。当厚度接近纸的短边时，就不能再折。

师：我们来换个方向再折，发挥想象，能对折100次吗？

（教师播放折纸实验视频……）

【点评】本环节依托操作实验，展示了学生在生活中不曾深思的折纸现象。教师在引导学生动手操作的过程中，层层追问，使学生从生活的“折”走向数学的“折”，使研究方向从生活走向数学抽象，实现了数学应用思维的大飞跃。

4.实践体验，让应用真正发生

“纸上得来终觉浅”，没有来自实践的体验，就难以理解知识。“大应用”数学渗透在各个实践体验环节中，教学中充分调动学生参与体验的积极性，积极实践，让应用真正发生。

【案例】漏掉的一枪（2020.11 常州，查人韵老师公开课“认识千以内的数”片段）

师：美羊羊、懒羊羊进行射击比赛，各射击6次。请看靶盘说出他们的得分各是多少。要求添上珠子，并写出得分。

生1：美羊羊的得分是321 分，懒羊羊的得分是104分，他还漏一枪没打。

师：懒羊羊有没有可能得到冠军？他可能得多少分？

生2：懒羊羊可能得1104 分、204 分、114 分、105分。如果懒羊羊射中靶心（1000 分），那么他就是冠军。

生3：根据前面的记录，懒羊羊的成绩并不好。我想这一枪他很有可能打偏了，根本没在靶上。如果这样，他的得分就是104 分，那么美羊羊就是冠军。

【点评】这个环节设计“漏掉的一枪”，开放性较大。学生真正参与了实践活动，先猜后补，再推想，真正让思维飞了一会儿。在这个过程中，学生的思维被一一揭露出来，争议碰撞，灵感不断。

5.放眼未来，跳出应用看应用

“大应用”数学的实施，关注人的未来成长，既不局限于眼前狭隘的应用，又不好高骛远、大而不实。把数学知识、技能、方法和思想应用渗透到各个学科，深入到各个领域当中，从小节微处做实，落实好教育的根本任务——立德树人，这就是开展了“大应用”数学教学。

【案例】纸月饼（2020 年9 月，曾德统老师公开课“节余多少钱”片段）

师（播放新闻报道信息）：“纸月饼”被某些别有用心的商家当成了牟利工具。比如，商家先印好一张面额为500元的饼券，以400元的价格卖出，消费者购买后送给他人，而回收商以250 元的价格回收饼券，之后又以300 元的价格把饼券卖给商家。这样一个循环下来，商家并没有售出月饼，但是每张饼券却净赚100元。

师：看完这则新闻消息，请分享你的想法。

生1：商家以400 元卖出饼券，300 元收回，用一张券白赚到100元。

师：商家究竟是怎么赚的钱？赚了谁的钱？

生2：消费者消费了400 元，而受赠的人实际收到250 元，剩下的150 元，其中100 元被商家赚了，50元被回收商拿走了。

师：对于商家的这种行为，你有什么看法？

生3：我觉得学好数学，就不容易上商家的当。

生4：要文明经商，这种行为不好，对实际社会没有帮助。

【点评】这个环节设计安排在一堂课的后面，是在应用提升部分出示的兴趣拓展题。播放新闻的目的是让学生感觉到数学与我们的生活密切相关，激发学生应用数学知识去明辨是非、开展讨论，在分享中陶冶学生的品格，开阔学生的思维。这样的应用设计着眼全人成长，关注了学生的未来发展。

“大应用”数学不应是封闭、静态的，它应该是一个开放、动态发展的体系。让我们带着“大应用”的思想，放眼未来，重构过程，与生共舞。