重载6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台优化设计

刘国军

（湖南理工学院 机械学院，湖南 岳阳 414006）

0 引言

由于精度高、有效载荷大及具有高速运动能力，Gough-Stewart平台被广泛用于运动模拟器[1]。大部分六自由度运动模拟平台只有6个支路，但当负载很重时，会导致支路的驱动力会很大。为了解决这个问题，有很多公司在6个支路Gough-Stewart平台的基础上添加了3条被动气动缸，即为气源辅助式重载六自由度运动模拟平台，如Moog公司气源辅助式重载六自由度运动模拟平台的总移动载荷高达28 t[2]；天津福云天翼科技有限公司气源辅助式重载六自由度运动模拟平台的总移动载荷高达15 t[3]。但有时负载会特别重，如重载坦克运动模拟的负载会高达40 t。此时，采用气源辅助式重载六自由度运动模拟平台将不可行。由于冗余驱动可以减小支路驱动力的大小[4-5]，本文将在6个支路液压驱动Gough-Stewart平台的基础上再添加3条主动液压缸，即构成6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台。

很多学者对冗余驱动并联机器人的动力学建模和优化设计进行了研究[5]。Wang L.等[6]首先利用牛顿-欧拉方程对一个三自由度平面运动冗余驱动并联机器人建立了动力学模型，然后对一个与驱动力相关的目标函数最小进行了寻优。Wu J.等[7]利用虚功原理对平面运动三自由度4-RRR、3-RRR和2-RRR并联机器人建立了动力学模型，然后利用一个动力学性能指标函数对它们的性能进行了比较。Chen H.等[8]利用拉格朗日方程和达朗贝尔原理对冗余驱动并联机器人建立了动力学模型。赵和高等[9]首先利用虚功原理和支路雅可比矩阵对8-PSS冗余驱动并联机器人建立了动力学模型，然后通过提出新的动态性能指标对其动态性能进行评估。

据我们所知，关于6+3型冗余驱动六自由度运动模拟平台的动力学建模和优化设计的文献很少。本文将对6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台的系统进行描述，并建立动力学模型。提出优化设计方法，通过一个案例研究，说明了所提出的优化设计方法的有效性。

1 系统描述

如图1所示，6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台由1个动平台、1个静平台和9条支路组成。每条支路由1个液压缸通过虎克铰Ai（i=1…9）连接于动平台和虎克铰Bi（i=1…9）连接于静平台上。分别在动平台和静平台上建立了体坐标系{L}（即直角坐标系OL-XLYLZL）和惯性坐标系{W}（即直角坐标系OW-XWYWZW）。

图1 6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台

上、下铰点分别都在2个不同的平面上。它们的布置图如图2所示。其中rA是1～6号上铰点构成圆的半径，圆心为点O1；dA是1～6号上铰点构成的对称六边形短边的距离；rB是1～6号下铰点构成圆的半径，圆心为点O；dB是1～6号下铰点构成的对称六边形短边的距离；A7、A8和A9在以O1为圆心的另外一个圆上，它们分别为对称六边形长边的中点。B7、B8和B9在以O为圆心、半径为rB′的圆上，它们分别在对称六边形短边的中垂线上。

图2 铰点位置示意图

2 动力学建模

根据动平台上控制点的位置、速度和液压缸的位移和速度之间的关系，可以求得9个液压缸的伸缩速度为式中：pi为Ai在坐标系{L}中的位置矢量在坐标系{W}中的表示；bi为Bi在坐标系{W}中的位置矢量；l˙i为第i个液压缸的伸缩速度大小；t为坐标系{L}的原点O1在坐标系{W}中的位置矢量；vP为动平台上控制点在坐标系{W}中的平移速度；ωP为动平台在坐标系{W}中的转动角速度。

利用凯恩方程[10]，得到6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台的动力学模型方程为

式中：J1i和J2i分别为支路i中液压缸活塞杆端和缸筒端质心处广义速度到控制点广义速度的雅可比矩阵；m1i和m2i分别为支路i中液压缸活塞杆端和缸筒端的质量；I1i和I2i分别为支路i中液压缸活塞杆端和缸筒端相对于各自质心处的惯量矩阵在坐标系{W}中的表示；a1i和a2i分别为支路i中液压缸活塞杆端和缸筒端质心在坐标系{W}中的加速度；ωi和αi分别为支路i在坐标系{W}中的角速度和角加速度；JC为负载和动平台综合体质心广义速度到控制点广义速度的雅可比矩阵；g为重力加速度；fe和Ne分别为作用于负载和动平台上各外力等效到综合质心处的合力和合力矩；mC为负载和动平台的综合质量；aC为负载和动平台综合质心在坐标系{W}中的加速度；αP为动平台在坐标系{W}中的角加速度；IC为负载和动平台综合体相对其质心的惯量矩阵在坐标系{W}中的表示。

3 优化设计

由于液压伺服系统设计时，需要负载匹配[11]，此时需要得到液压缸的出力和伸缩速度大小。本文采用在12种工况下液压缸出力和伸缩速度最大值的最小化作为优化目标。即优化目标函数为：

式中：f1为在12种工况下液压缸伸缩速度绝对值的最大值；f2为在12个工况下液压缸出力绝对值的最大值。

由于同时需要对2个目标函数进行优化，本文将采用进化算法NSGA-II[12]进行寻优，迭代次数设为1000，其它参数与文献[13]设置一样。

4 实例分析

本节中，利用1个设计实例来验证本文所提出优化设计方法的可行性。假设用户要求设计一台六自由度运动模拟平台。假设负载为20 t，并假设用户具体的运动要求如表1所示。

表1 用户的要求

把dA、dB、rA、rB、rB′和H0作为优化变量。其中H0是中位时上铰平面到下铰平面的垂直距离。dA和dB最小距离分别不能小于0.26 m和0.35 m。1 m≤rB≤4 m，1 m≤rA≤4 m，rA≤rB，1 m≤H0≤7 m，0.35 m≤dB≤rB，0.26 m≤dA≤rA，0.35 m≤rB′≤rB。

寻优结束后，优化结果如图3 所示。在50组优化参数中选择了f1最小和f2最小的两组参数，如表2所示。

图3 最终优化结果

当只有1号～6号液压缸（没有7号～9号液压缸），其它参数与表2中第一组参数一样时，采用非冗余驱动的六自由度运动模拟平台在12种工况下的液压缸的伸缩速度绝对值和出力绝对值最大值分别为f1=0.4597 m/s和f2=170.98 kN。非冗余驱动时比冗余驱动时液压缸的出力绝对值最大值多56.13 kN，即采用6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台比非冗余的液压缸最大出力减少了约32.8%，从而导致非冗余的液压缸缸径比冗余驱动的要大很多。根据负载匹配[11]，非冗余的液压伺服阀最大流量比冗余驱动的要大很多。

当只有1号～6号液压缸（没有7号～9号液压缸），其它参数与表2中第二组参数一样时，采用非冗余驱动的六自由度运动模拟平台在12种工况下的液压缸的伸缩速度绝对值和出力绝对值最大值分别为f1=0.5512 m/s和f2=162.72 kN。非冗余驱动时比冗余驱动时液压缸的出力绝对值最大值多55.27 kN，即采用6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台比非冗余的液压缸最大出力减少了约34.0%，从而导致非冗余的液压缸缸径比冗余驱动的要大很多。根据负载匹配[11]，非冗余的液压伺服阀最大流量比冗余驱动的要大很多。

表2 选择的两组参数

5 结语

本文首先利用凯恩方程对6+3型液压驱动六自由度运动模拟平台建立了动力学模型，然后利用进化算法对具有明确物理意义的2个目标函数同时进行优化，能得到多组优化解。通过实例分析， 采用6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台比非冗余的液压缸最大出力能减少30%以上，从而能选择较小缸径的液压缸和较小流量的液压伺服阀。从本文分析得到6+3型液压冗余驱动六自由度运动模拟平台可以作为重载运动模拟平台使用。