考虑动应力-动应变关系及剪切波速相似的模型软岩配制方法

王志佳，黎洪磊，李胜民，吴祚菊，段书苏，谢朋

(1. 海南大学 土木建筑工程学院，海口 570228；2. 西南科技大学 土木工程与建筑学院，四川 绵阳 621010)

模型试验作为一项有效的研究手段，一直以来被广泛运用到土木工程研究中，通过模型试验，可以对复杂岩土工程抗震问题进行缩尺研究，进而全面、真实地再现复杂岩土工程结构的受力变形特征。为保证复杂岩土工程模型试验的真实可靠性，需研制与原型岩体物理力学特性相似的模型材料。学者们针对相似材料的问题开展了大量研究[1]：左保成等[2]提出利用石英砂、石膏和水泥对岩体介质的物理力学特性进行模拟，并以灰岩为例进行了模型试验相似材料的配制试验，给出了骨料与胶结物配比(砂胶比)、胶结材料配比及养护方式对相似材料强度的影响规律；王汉鹏等[3]经过大量力学试验，以铁矿粉、重晶石粉和石英砂为骨料，石膏粉作为调节剂，酒精溶液和松香作为胶结剂，研制出一种新型岩土工程模型试验相似材料，且该新型相似材料在使用过程中展现出抗压强度与弹性模量低、容重较高、性能稳定等优势，是一种比较理想的相似材料；杜时贵等[4]以高强水泥、标准砂、硅粉、水和高强减水剂等为原材料，配制出一种可模拟原岩结构面特性的模型试验相似材料。张定邦等[5]通过物理力学性质试验及大量配比试验，以铁矿粉、重晶石粉和石英砂为骨料，不饱和树脂和石膏为胶结材料，研制出超高陡边坡与崩落法地下开采模型试验矿岩相似材料；Burgert等[6]以环氧树脂加3%～5%的硬化剂为原材料研制出一种脆性模型试验相似材料；Fatahi等[7]、Kim等[8]认为岩土体介质的非线性对地震作用下的桩-土相互作用影响明显，并在试验中考虑土体动应力-动应变关系进行相似材料的配制。

以上相似材料配制的研究成果大多基于试样的强度、弹性模量、黏聚力和内摩擦角满足相似比要求的原则，而部分虽然提到了在振动台试验中考虑土体动应力-动应变关系进行相似比配制，但并未针对软岩相似材料考虑动应力-动应变关系的配制过程进行深入研究。基于以上现状，笔者根据模型试验的相似原理，同时考虑岩土体动应力-动应变关系及剪切波速的相似，利用正交试验，并通过对数据进行极差和方差分析，研究了模型试验相似材料组成成分对其密度、参考应变以及初始剪切模量的影响规律，随后通过配比试验研制出一种新型软岩相似材料。

1 模型相似设计特征方程的选择

1.1 相似材料的选择

试验目的主要是确定软岩相似材料的配比，为了使模型与原型尽可能相似，选取黏土、重晶石粉和石膏为主要配比材料，黏土选取原场地土样，密度为1.9～2.2 g/cm3，重晶石粉密度为3.4～3.8 g/cm3，石膏密度为2.3 g/cm3。在进行土与地下结构动力相互作用振动台模型试验时，一般要求模型软岩的动应力-动应变关系、动剪切模量衰减特性、阻尼特性、剪切波速、密度、抗压强度等多个参数与原材料相似，但在实际实施过程中，由于相似材料限制，不可能满足上述所有参量的相似要求，故根据地下结构地震响应的实际情况，选择软岩的动应力-动应变特性和波的传播特性为相似控制因素，其余的非关键因素尽可能满足相似要求。

软岩在地震荷载作用下的动应力-动应变关系是反映软岩动力特性的重要参数。研究非破坏条件下动应力-应变关系时，可采用Hardin等在往复荷载作用下动应力-动应变间骨干曲线的双曲线形式作为基础，则动应力-动应变关系表示为[9]

(1)

由式(1)可得动剪切模量函数的基本表达式

(2)

或写成

(3)

式(1)～式(3)中：G为初始剪切模量；τd为最大动剪应力；τr为某一剪应变对应的实时剪应力。初始动剪切模量Gmax和参考应变γr值确定以后，就可以得到土的动应力-应变关系曲线。所以，控制动剪切模量比G/Gmax和参考应变γr满足相似比关系就能得到满足要求的动应力-应变关系，且根据文献[9]，初始剪切模量Gmax可以采用波速法确定，即

(4)

由式(4)可知，当初始剪切模量Gmax和密度ρ满足相似关系时，剪切波速νs同样满足要求，这样配制出来的相似材料才能较好地反应原型软岩的动力特性。

1.2 正交试验设计

相似材料配比试验中，对相似材料物理力学性质产生影响的因素和各因素水平数较多，因此，采用正交试验方法对试验次数进行优化。采用的正交试验具体设计过程和试验步骤如下：

第1次正交试验：选用3因素4水平的正交试验方案，以黏土、重晶石粉、石膏含量作为正交设计的3个因素，根据现场勘察资料，含水率控制在14%，根据试验需要，制作标准试块进行动三轴试验，主要测试动剪切模量比G/Gmax和参考应变γ等参数，并对正交试验结果进行评估，以此作为第2次正交试验的依据。

第2次配比试验：为精准获取振动台模型试验相似材料的最终配比，根据第1次正交试验的结果，与需满足的模型材料要求进行对比，缩小试验因素的取值范围，并以此为基础开展第2次配比试验，得到基岩相似材料的最终配比。

以黏土、重晶石粉、石膏含量作为正交设计的3个因素，每个因素设置4个水平，相应的材料配比方案见表1，表中列出了各相似材料的质量比。

表1 相似材料配比试验方案

续表1

2 试验过程

对于模型试验，软岩施工开始距试验模型振动数据采集之间约有7 d时间，所以，事先制备好圆柱状试样，然后放入保鲜袋保存7 d，随后进行试样动三轴试验，试验设备及试验过程分别如图1、图2所示。试验为单向激振动三轴试验，主要模拟动力荷载的波型、方向、频率和持时。对于地震来说，可将地震荷载简化为等效谐波作用，谐波幅值剪应力τc取为0.65τmax，加载幅值为40 N，等效循环次数选择8级地震对应的30次，频率为1 Hz，地震方向按水平剪切波考虑。

试样施加围压由土层实际应力状态确定，根据原场地的土层分布情况，可确定其基岩实际应力状态，因此，试验应力状态应尽可能真实地反应基岩在地震荷载作用下的状态。基岩的容重为24 kN/m3，地震前作用的竖向应力为363 kPa，水平应力为290.9 kPa，所以，试验围压确定为300 kPa。

图1 动三轴仪Fig.1 Dynamic triaxial

图2 试样制备

3 试验结果分析

试验目的主要是配制动应力-动应变关系和剪切波速满足相似比的模型材料，其中，应力-应变关系采用Hardin-Drnevich模型，具体表达式如式(3)所示，即配制模型材料的G/Gmax～γ关系曲线与原型材料G/Gmax～γ关系曲线的相关性为评价模型试验配比的重要指标。

第1次相似材料正交试验主要是明确黏土、重晶石粉、石膏对曲线变化的影响趋势，故选取参考应变γr与统计分析所得到的岩石的初始剪切模量Gmax,引入相关函数Correl(X,Y)，计算式如式(5)所示[10]。

(5)

原型材料G/Gmax～γ关系曲线的参数采用王志佳[11]经过统计分析得到的软岩G/Gmax～γ关系曲线，具体如图3所示，根据相似准则，将软岩原型和相似材料相关参数列于表2。

图3 动应力-动应变关系曲线Fig.3 Curve of dynamic stress versus dynamic

表2 软岩原型和相似材料相关参数

由于振动台试验选择密度ρ、长度L以及重力加速度g作为基本量纲，密度相似常数Cρ取为1，尺寸相似常数Cl取为70，重力加速度相似常数Cg取为1，由上述3参量相似常数可导出其余物理量的相似常数，如表2所示。

通过试验得到16组不同配比相似材料的试验结果，列于表3。

表3 相似材料配比第1次正交试验结果

4 影响因素敏感性分析

极差是用于衡量各因素取值变化对相似材料物理力学性质影响的参量，极差大的因素即为对相似材料性质影响显著的关键因素[12]。各因素的极差R可通过式(6)计算。

R=max{Kij}-min{Kij}

(6)

式中：i为正交试验水平数；j为正交试验因素数；Kij为在i水平下的j因素试验结果之和。

多指标正交试验的方差分析主要是通过对试验数据偏差平方和和误差平方和进行计算检验的统计量，从而可以准确地判断各个影响因素之间相互作用的效果是否明显[13]。

为了反映试验结果的总差异，引入总离差平方和SST，总离差平方和越大，则说明试验结果之间的差异越大，总离差平方和为

(7)

各因素的偏差平方和SSj为

(8)

式中：t为各试验因素的水平数；n为各因素j在i水平下的试验次数。

试验误差的离差平方和可由式(9)求出。

(9)

任一列离差平方和对应的自由度

dfj=因素水平数-1=r-1

(10)

各因素的均方为

MSj=SSj/dfj

(11)

试验误差的均方为

MSe=SSe/dfe

(12)

各影响因素对应的统计量F为

Fj=MSj/MSe

(13)

4.1 密度敏感性分析

分别计算黏土、重晶石粉和石膏在4种不同水平下对应试验样品的密度平均值、3种因素对试样密度影响的极差和方差，如表4、表5所示。

表4 密度极差分析

表5 密度方差分析

通过以上分析可以发现，各影响因素对相似材料的密度敏感性由大到小依次为：重晶石粉、黏土、石膏。相较于黏土和石膏，重晶石粉的极差和方差较大，说明重晶石粉含量是影响相似材料密度的主要因素。为了更加直观地分析重晶石粉、黏土和石膏对相似材料密度的影响，根据表5作出密度敏感性因素分析图，如图4所示。可以看出，材料密度随着黏土和石膏含量的增加略微减小，随着重晶石粉含量的增加而呈增大的趋势。

图4 相似材料的密度敏感性分析图Fig.4 Sensitivity analysis of affecting

4.2 γr敏感性分析

分别计算黏土、重晶石粉和石膏在4种不同水平下对应试验样品的参考应变平均值、3种因素对参考应变影响的极差和方差，如表6和表7所示。

表6 γr极差分析

表7 γr方差分析

通过以上分析可以发现，石膏和黏土的极差和方差明显较大，故石膏和黏土对相似材料的参考应变γr影响较为明显。为了更加直观地分析各因素对相似材料γr的影响，根据表7作出γr的敏感性因素分析图，如图5所示。可以看出，相似材料的参考应变γr随着黏土含量的增加而呈减小的趋势，随着石膏和重晶石粉含量的增加而呈增大的趋势。

4.3 Gmax敏感性分析

分别计算黏土、重晶石粉和石膏在4种不同水平下对应试验样品的初始动剪切模量平均值、3种因素对初始动剪切模量影响的极差和方差，如表8和表9所示。

图5 相似材料的参考应变γr敏感性分析图Fig.5 Sensitivity analysis of reference strain

表8 Gmax极差分析

表9 Gmax方差分析

通过以上分析，黏土、重晶石粉和石膏的含量对相似材料的初始动剪切模量Gmax的影响都较为明显。为了更加直观地分析各因素对相似材料初始动剪切模量Gmax的影响，根据表9作出Gmax敏感性因素分析图，如图6所示。可以看出，相似材料的初始动剪切模量Gmax随着黏土含量的增加而呈减小的趋势，随着重晶石粉和石膏含量的增加而呈增大的趋势。

图6 相似材料的初始动剪切模量Gmax敏感性分析图Fig.6 Sensitivity analysis of initial shear modulus

5 最终配比试验

基于第1次正交试验所确定的各配比材料对参考应变γr与统计分析所得到软岩的初始剪切模量Gmax的影响趋势，选取第1次正交试验中配比结果与目标配比材料参数相近的配比作为起始配比。根据振动台试验的要求，软岩原型的材料参数：密度为2 400 kg/m3，初始剪切模量Gmax为1 332 MPa，参考应变γr为0.001 802。结合第1次正交试验的结果，选择第5组配比作为第2次配比试验的起始配比，随后可以通过微调重晶石粉、黏土、石膏的含量来进行相似材料的精确配比。各配比材料质量比情况如表10所示。

表10 配比试验

第2次配比试验结果如表11所示，可以看出，第15组试验的结果与软岩相似材料的参数比较接近，其动应力-动应变关系曲线与文献[9]推荐的软岩动应力-动应变曲线的相关性较好，故可将第15组试验的配比作为软岩相似材料的最终配比，软岩相似材料和软岩原型的动应力-动应变曲线如图7所示。

表11 配比试验结果

图7 软岩相似材料和软岩原型动应力-动应变曲线Fig.7 Curves of dynamic stress-strain of soft rock prototype and similar

式(4)给出了初始剪切模量Gmax和剪切波速的关系式，根据第15组试验配比材料的初始剪切模量Gmax为19.2 MPa，可以推算出剪切波速νs为89.44 m/s，则在试验开始前可通过剪切波速的测试验证基岩配比的初始剪切模量的合理性。

6 结论

1)根据模型试验的相似原理，通过正交试验及物理力学性质试验，研制出一种新型软岩相似材料，新型模型材料考虑了地震作用下基岩动力特性及剪切波速的相似问题，适合用于振动台试验软岩相似材料的模拟。

2)软岩相似材料中各影响因素对相似材料密度的敏感性由大到小依次为：重晶石粉、黏土、石膏。石膏和黏土对相似材料的参考应变影响较为明显，相似材料的参考应变随着黏土含量的增加而减小，随着石膏和重晶石粉含量的增加而增大；相似材料的初始剪切模量Gmax随着黏土含量的增加而减小，随着石膏和重晶石粉含量的增加而增大。

3)以两次正交试验结果为依据，以动应力-动应变特性和波传播特性相似为控制指标，确定模型试验软岩相似材料的最终质量比为黏土∶重晶石粉∶石膏=7.9∶2.1∶3，此配比可充分保证地下结构地震响应振动台模型试验对基岩相似材料的要求。