新“将军饮马”问题

文／周 燕

传说古希腊有一位将军向学者海伦提出过一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再走到B地，如何设计一条最短路线？海伦是这样做的：如图2，过点A作关于河岸的对称点A'，连接A'B并与河岸线交于点C'，从A地出发沿直线走到C'处饮马，之后再由C'沿直线走到B地即为最短路线。这实质上是运用了图形的对称性，因为点A'是点A关于l的对称点，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AC=A'C，根据两点之间线段最短，A'B为最短路线。这类问题在中考中时常出现，但下面两道题有别于普通的“将军饮马”问题，你还能顺利解决吗？

图1

图2

一、新“将军饮马”——河畔踱步

例1（2021·山东聊城）如图3，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，B、D两点坐标分别为B（-4，6）、D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF=3，当四边形BDEF周长最小时，点E的坐标为_____。

图3

【场景再现】如图4，如果这匹马在C处喝完水后沿着河岸线再走一段固定的距离，你还能找到最短路线吗？即CD的长为定值，求AC+BD的最小值。比起“将军饮马”问题，这两条线段被隔开了一段距离，要是没有这段距离该多好啊。你有办法将他们“复位”吗？我们可以将线段AC沿着河岸线向右平移至A'D，使得C、D两点重合。因为平移不改变线段的长度，所以A'D+BD=AC+BD，此时过点A'作 河 流l的 对 称 点A″，连 接A″B即 可（如图5）。

图4

图5

【思路分析】要研究四边形BDEF周长的最小值，其实就是要研究BF+DE的最小值。而本题中的B、D两点就是以上场景中的A、B两地，EF则是马沿着河岸走过的距离。根据以上分析，在BC上截取BH=3，如图6，可得四边形BHEF是平行四边形，并将BF转化为EH。作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，当E、H、D'三点共线时，EH+D'E有最小值，利用点D（0，-4）、H（-1，6）可求得直线D'H的表达式为y=-10x-4。当y=0时，x=-0.4，即点E的坐标为（-0.4，0）。

图6

二、新“将军饮马”——河间游走

例2（2020·湖南永州）如图7，∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M、N分别是OA、OB边上的动点，连接PM、PN、MN，则△PMN周长的最小值是____ 。

图7

【场景再现】如图8，这次马从A地出发先去河流l1的B处喝水，再跑去河流l2的C处喝水，最终回到A地，你能设计出最短行走路线吗？我们可以将两次喝水路线分开研究，发现无论是AB+BC还是BC+CA都符合“将军饮马”结构。因此，过点A分别作关于l1与l2的对称点A'、A″，如图9，根据中垂线的性质，马的行走路线长即A'B+BC+CA″的值，根据两点之间线段最短可得A'A″即为最短路线。

图8

图9

【思路分析】本题中的点P即为以上场景中的A地，OA、OB为那两条河，△PMN的周长为马的行走路线。根据以上分析，分别作点P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，如图10，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长。连接OP′、OP″、OP，利用垂直平分线的性质与点P坐标（4，3）得到OP′=OP″=OP=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB。又因为∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，所以∠P′OP″=120°。根据三角函数相关知识可求得△PMN周长的最小值是5 3。

图10