一道错题的求证与警示

◎王永军 (重庆市广益中学校，重庆 南岸 400065)

一、预备知识

下面给出本文用到的一些公式、结论.

(一)三角函数诱导公式与变换公式

2.sin(-α)=-sinα.

3.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

4.sin 2α=2sinαcosα，

cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

(二)比例性质与均值不等式

1.合分比性质：

2.均值不等式：

Gn≤An，等号成立，当且仅当所有ai都相等.

(三)三角形中的一些结论

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

1.A+B+C=π，sinA=sin(B+C).

其他两种形式：sinB=sin(C+A)、sinC=sin(A+B).

3.余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC.

其他4种形式：a2=b2+c2-2cbcosA，b2=a2+c2-2accosB.

事实上，

sinA+sinB+sinC

=sinA+sinB+sin(A+B)

=sinA+sinB+(sinAcosB+cosAsinB)

=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)

6.sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sinAsinBsinC.

事实上，

sin 2A+sin 2B+sin 2C

=sin 2A+sin 2B+sin 2[π-(A+B)]

=sin 2A+sin 2B-sin(2A+2B)

=sin 2A(1-cos 2B)+sin 2B(1-cos 2A)

=2sinAcosA·2sin2B+2sinBcosB·2sin2A

=4sinAsinB(cosAsinB+cosBsinA)

=4sinAsinBsin(A+B)

=4sinAsinBsinC.

7.三角形中两边之和大于第三边；三角形中两边之差小于第三边；三角形中大边对大角；三角形中大角对大边.

二、原题重现

A.a+b+c=4

B.R=6

三、经典解答

这是一道多项选择题，涉及的知识点很多、很深，解题难度很大.现在结合题干(题目条件)、选项(判断正误)进行发散思维、展开联想，力求突破求解.

(一)选项分析

对于选项A，由△ABC的内切圆半径(r)、面积(S△ABC)与周长(a+b+c)建立联想.

acosA+bcosB+ccosC

=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC

=Rsin 2A+Rsin 2B+Rsin 2C

解得R=6.选项B正确.

对于选项C，由正弦定理、选项A、选项B、合分比性质进行验证.

事实上，

即有，

综上分析，本题应该选择选项ABD.其实这是一道错题！因为这样的△ABC根本就不存在！

(二)错在哪里

考虑△ABC的三边a，b，c，从(一)的求证过程中已经得到，

a+b+c=4，abc=144.

由均值不等式，

四、改进意见

在命制数学问题的时候，常常借用特定的模型(如正三角形)作为背景材料，因为这样可以有效地回避“错题”.

上述问题可以改进如下：

R=6，

sin 2A+sin 2B+sin 2C=2.

五、教学警示

(一)精彩的练习题

作为平时教学中的练习题，教师可以让学生在各个知识点的交汇处进行综合练习，努力提升学生的数学学科素养，让数学核心素养落地有根.

三角函数的变换形式各异、精彩纷呈，是处理三角函数问题的基本工具之一.变换中要注意定义域、值域的适用条件、适用范围的变化，防止出现“错题”.教师在教学中要有意培养学生的思辨意识，要敢于挑战权威、大胆质疑，努力培养学生的创新性思维品质.下面再看一个补充例题：

解析：本题的“标准答案”为ACD.原因如下：

先求出C.

下面来分析题目中其他的条件，再来分析角A，B.

注意到sinC>sinA，故c>a，从而C>A，这表明A为锐角，于是

这表明△ABC中的三个内角已完全确定，下面考虑△ABC的三边之长.

对吗？

这里求解的全过程都是完美的、是绝对正确的！那错在哪里呢？错在△ABC根本就不存在！

(二)精致的测试题

数学的测试题、考试题是准确的、精致的，科学性是命制数学问题的首要前提.试题的正确性是命制数学问题的根本要求.试想一道“错题”，不管多么“综合”、多么“高深”、多么“华美”，实际上都是舍本求末、无稽之谈.数学测试中“错题”对学生的伤害是巨大的、显而易见的：影响测试时的心情、丧失后继学习的兴趣.

教师在命制与三角形相关的试题时，最好先设置好“框框”(模型)，再去“填空”，减少命制试题的盲目性，做到有据可依、有本有源.