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一类线性差分方程的最优Ulam常数

2022-06-17侯牧林

关键词:行列式常数稳定性

侯牧林, 徐 冰

(四川大学数学学院, 成都 610064)

1 引 言

1940年,Ulam最早提出了函数方程的稳定性问题,即在方程近似解的附近是否存在真解. 1941年, Hyers关于Cauchy方程

f(x+y)=f(x)+f(y)

的稳定性研究给出了肯定回答[1]. 正因如此,后来的研究者们多将函数方程的此类稳定性称为Hyers-Ulam稳定性或Ulam稳定性. 当前,关于各类函数方程的Ulam稳定性,已有不少研究成果[1-7].

在函数方程的Ulam稳定性基础上,人们希望进一步刻画近似解与真解的接近程度,进而产生了最优Ulam常数的概念[6]. 例如,对于一类重要的函数方程

xn+p=a1xn+p-1+…+apxn

(1)

人们对其Ulam稳定性和最优Ulam常数展开了深入研究.我们有如下的定义:

定义1.1[5]若对于任意给定的ε>0和满足

‖yn+p-a1yn+p-1-…-apyn‖≤ε,n∈N

的序列{yn}n∈N,都存在常数K>0和满足方程(1)的序列{xn}n∈N,使得 ‖xn-yn‖≤Kε, 则称方程(1)为Ulam稳定的,并称常数K为方程的Ulam常数.

显然,若K0>K,则K0也是方程(1)的Ulam常数.记K为方程(1)的所有Ulam常数构成的集合.我们有如下的定义:

定义1.2[2]设K*=infK.若K*是方程(1)的Ulam常数,则称K*为方程(1)的最优Ulam常数.

Brzdek等证明:当且仅当方程(1)的所有特征根的模不等于1时,方程(1)具有Ulam稳定性[4]. 随后,针对所有特征根的模大于1的情形, Baias等首先给出了当p≤3时方程(1)的最优Ulam常数[3],之后又对一般的p给出了当所有特征根均为单根时方程(1)的最优Ulam常数[2].

本文对一般的p继续研究方程(1)的最优Ulam常数问题. 在方程(1)有且只有一个特征根r的条件下,我们首先使用常数变易法给出该方程的通解,进而在|r|>1的条件下构造了该方程的一个特别有界近似解,最终给出方程的最优Ulam常数.

2 预备知识

设N为非负整数集,K为数域R或C. (X,‖·‖)为数域上的Banach空间.本文考虑Banach空间X上的p阶线性差分方程

xn+p=a1xn+p-1+…+apxn

(2)

其中a1,…,ap∈,x0,…,xp-1∈X.下面的定理给出了方程(2)具有Ulam稳定性的充分条件.

定理2.1[4]设λk为方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

的特征根,k=1,2,...,p.若|λk|≠1,则对任意给定的ε>0及X中满足条件

‖yn+p-a1yn+p-1-…-apyn‖≤ε

的序列{yn}n∈N,均存在X中满足方程(2)的序列{xn}n∈N,使得

3 主要结果

为简便起见,本文补充定义

引理3.1设p≥2.定义

Wk(n+1)为行列式W(n+1)中第p行第k列的代数余子式,k=1,...,p.则有以下结论:

(iii)Wk(n+1)=

其中k=1,...,p.

证明 (i) 显然有W(n+1)为p阶范德蒙行列式,从而

由W1(n+1)的定义可知,

从而

故结论(i)成立.

(ii) 考虑辅助函数

(3)

式(3)右端的行列式也是范德蒙行列式,从而有

由Wk(n+1)定义可知,Wk(n+1)也为式(3)右端行列式中第p行第k列的代数余子式.因此,按式(3)右端行列式的最后一行展开得

(4)

(iii) 由式(4)可知,Wk(n+1)为多项式函数gn(x)中x的第k-1次项的系数.由多项式乘法原理易推知结论(iii)成立. 证毕.

引理3.2设p≥1,n∈N.若r为方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

的p重根,则方程

yn+p=a1yn+p-1+…+apyn+bn

(5)

的通解为

其中{bn}n∈N为X中的序列,C1,…,Cp为X中的任意常数.

证明 当K=C时,X为复Banach空间.此时我们有r∈K.当K=R时,X为实Banach空间.由实系数多项式方程的性质可知,此时一定有r∈R,从而有r∈K.

(6)

其中

(7)

(8)

其中C1(n),C2(n),...,Cp(n)为待定系数.令

ΔCk(n)=Ck(n+1)-Ck(n),k=1,...,p.

rn+1C1(n+1)=rn+1C1(n)+bn,

从而有

此时方程(5)的通解为

(9)

当p≥2,n∈N时,由于rn,nrn,…,np-1rn是齐次方程(2)的一个基本解组, 因此一定可以选出一组C1(n),C2(n),…,Cp(n),使得

1≤j≤p-1

(10)

由式(8)和(10)可得

依此类推,易知

1≤j≤p-1

(11)

事实上,不妨假设当j=q时有

成立.则当j=q+1时, 有

由归纳法知式(11)成立.

特别地,在式(11)中,当j=p-1时有

因此

整理得

由于rn,nrn,…,np-1rn是齐次方程(2)的一个基本解组, 故对每个k=1,...,p都有

(12)

因此, 将式(12)代入上述等式化简可得

(13)

由式(10)和(13)可知, 待定系数C1(n),…,Cp(n)满足Casorati矩阵方程[7],即对每个n∈N都有

(14)

由克拉默法则可知, 对每个k=1,...,p,n∈N, 方程(14)存在唯一解

因此, 方程(5)的一个特解为

由引理3.1中的结论(i)和(ii)可得

(15)

由式(6)和(15)可知, 此时方程(5)的通解为

(16)

证毕.

定理3.3设p≥1,n∈N,r为方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

(17)

可知bn∈X,‖bn‖=ε.

当p=1时,由于|r|>1且‖bn‖=ε,可以定义X中的序列

其中

(18)

(p-1)k-1|W1(j+1)|.

k=1,...,p.

定义X中的序列

(19)

为方程(5)的一个特解. 记s=j-n.则有

(20)

在(20)式两端同时关于x求p-1次导得

|x|<1.

由|r|>1有

(21)

再由式(20)和(21)得

使得

(22)

从而有

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