泰勒公式在极限运算中的研究探讨

曾鹏 李志青

【摘要】泰勒公式是微积分理论的重要内容，本文首先应用泰勒展开式推导出函数代数和的等价无穷小，其次探索了函数代数和的等价无穷小在求极限上的应用，最后通过研究生入学考试试题给出了具体的应用与解题技巧.

【关键词】泰勒公式;等价无穷小;极限

【基金项目】本文系广东省青年创新人才项目.（项目编号：2020KQNCX132）

极限是高等数学中的重要概念，高等数学中的很多概念都是用极限语言定义的.如：函数的连续性，导数，定积分，等等.极限是一种很重要的思想，实际生活中很多没办法量化的问题，如不规则图形的面积、周长等都可以通过求极限来解决.在学习高等数学的过程当中，有关于极限的计算一直是我们学习的重点以及难点，主要是由于极限的题目灵活多变，方法也多种多样，如定义法，零因子消去法，无穷大量约去法，洛必达法则等.当然，对于一些复杂的题目，在短时间内解决有一定的难度，并且对于不同的题目，如果选择的方法不恰当，也会导致题目解不出来.对于一些复杂题型的极限计算，我们发现利用泰勒公式计算过程简便，并且不容易出错.因而我们有必要探讨泰勒公式在函数极限运算中的一些研究.

泰勒公式是微积分理论的重要内容，主要的思想就是用简单的多项式近似表达较复杂的函数，在解决函数极限、不等式.近似计算等方面有着广泛的应用，解决了用微分计算函数值或函数增量精确度不高的问题，也为我们提供了一种误差的估计公式，并实现了对误差的一种有效控制.本文着重应用泰勒展开式推导出函数代数和的等价无穷小，从而探索出等价无穷小代换往往不适用于函数的代数和求极限的本质，并通过多年教学经验和考研数学的研究，总结了泰勒公式在极限应用方面的一些解题技巧.

一、一道例题引发的思考

例1 求limx→0tan x-sin xsin3x

错解 当x→0时，tan x～x，sin  x～x

因此原式=limx→0x-xx3=limx→00x3=0.

錯误原因是等价无穷小量代换求极限只适用于乘除法运算，不适用于加减法运算.

下面我们用一般方法来求上例极限.

正解 当x→0时，1-cos x～12x2，sin  x～x

∴limx→0tan x-sin  xsin3x=limx→0sin  x1cos x-1sin3x=limx→01-cos xsin2xcos x=limx→012x2x2cos x=12.

在课堂上，我们常常给学生们强调等价无穷小量代换求极限问题只适用于加减法，并不适用于乘除法运算，可能很多同学不太明白其中的原理.下面我们用泰勒展开式来寻找其根源.

在学习泰勒公式之前，我们先来了解下它产生的背景.在学习微分的时候，我们已经学习过一个近似公式：f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），此时，我们可以把函数f（x）用一次函数去逼近，但是为了提高精度，可以利用洛必达法则和二阶导数的定义，可以把上面的一次函数修正为二次函数去逼近，即f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2，以此类推，我们就可以得到n阶泰勒多项式了.总的来说，泰勒展开其实就是用简单的多项式来近似表示在x0邻域内的函数，并且如果要提高精度，那么展开的项数也要增多.

定理1[1] 泰勒公式

设函数f（x）在区间（a，b）上n+1阶连续可导，且x0∈（a，b），则对任意的x∈（a，b）有：

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+12！f″（x0）（x-x0）2+…+1n！f（n）（x0）（x-x0）n+Rn（x）其中，Rn（x）=fn+1ξ（n+1）！（x-x0）n+1，这里ξ介于x和x0之间.

当上面x0=0时.我们得到泰勒公式的一个特殊情况，称之为麦克劳林公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+12！f″（0）x2+…+1n！f（n）（0）xn+o（xn）.

定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是β=α+o（α）

证 必要性 设α～β，limβ-αα=limβα-1=0，∴β-α=o（α），即β=α+o（α）.

充分性 设β=α+o（α），limβα=limα+o（α）α=1+limo（α）α=1，∴α～β.

如果f（x）和g（x）为x→0时的无穷小量，那么f（x）±g（x）也为一个无穷小，因此，由定理2可以知道，我们需要找到f（x）±g（x）的等价无穷小函数h（x），使得f（x）±g（x）=h（x）+o（x），这时泰勒展开式就为我们提供了寻找h（x）的方法.

如例1，我们可以给出一种简洁的方法：

由于tan x=x+x33+o（x3），sin x=x-x33！+o（x3），则tan x-sin  x=12x3+o（x3），

即tan x-sin  x～12x3x→0，

则limx→0tan x-sin  xsin3x=limx→012x3x3=12.

那么例1错解的原因在哪呢？我们发现主要是因为tan x=x+o（x），sin  x=x+o（x），从而tan x-sin  x=0+o（x）.换句话说，这时的h（x）=0，这显然是不合适的.也就是说，我们需要利用泰勒展开公式找到一个不等于0的h（x）与函数的代数和进行无穷小量等价代换，再去求极限，从而可以达到我们的简化目的.

二、常见初等函数的泰勒公式

泰勒展开公式是一元微分学的重要公式，也是考研数学中常考知识点.泰勒展开公式的主要作用是将不同类型的复杂函数都能转化为更容易处理的幂函数，从而使复杂的极限问题得到化简.原则上讲，泰勒展开公式是求极限问题中的通用方法，相比于洛必达法则更具有优势，下面我们给出一些常见初等函数的泰勒展开公式：

1.ex=1+x+12！x2+13！x3+…+1n！xn+o（xn）

2.sin  x=x-13！x3+15！x5+…+（-1）n1（2n+1）！x2n+1+o（x2n+1）

3.cos x=1-12！x2+14！x4+…+（-1）n1（2n）！x2n+o（x2n）

4.（1+x）a=1+ax+a（a-1）2！x2+…+a（a-1）…（α-n+1）n！xn+o（xn）

5.ln（1+x）=x-12x2+13x3-…+（-1）n-1nxn+o（xn）

6.tan x=x+13x3+215x5+o（x6）

7.arcsin  x=x+16x3+340x5+o（x6）

8.arctan x=x-13x3+15x5+…+（-1）m-12m-1x2m-1+o（x2m）

9.11-x=1+12x+3·14·2x2+…+（2n-1）！！（2n）！！xn+o（xn）

注：根据sin  x与x 是互为等价无穷小，所以sin  x的泰勒展开公式的首项为x，再结合“跳着走”规律记住sin  x的规律，也可以记住cos x的泰勒展开公式.arcsin  x的导数为11-x2在结合11-x的泰勒展开公式即可记住.

下面，我们通过一个例子来学习泰勒公式在函数极限中的一个应用.

例2[2] 求limx→0xsin  x-ln（1+x2）e-x22-cos x

解 ∵sin  x=x-13！x3+o（x3），ln（1+x2）=x2-12x4+o（x4）.

e-x22=1-x22+12！-x222+o（x4），cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4）.

∴xsin  x-ln（1+x2）=xx-16x3-x2-12x4+o（x4）=13x4+o（x4）～13x4，

e-x22-cos x=1-x22+18x4-1-x22+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4，

因此，原式=limx→013x4112x4=4.

在運算的过程中，我们常常会考虑一个问题，就是展开到第几项才合适呢？经过分析我们发现，只要展开到分子分母同时出现不为0（消不掉）的最小次数n即可，一般情况下，要求的极限是x→0时的极限，就算有时x不是趋于0，也常常可以通过换元方法变成上述类型.使用泰勒展开式，我们期望得到的式子是多项式除以多项式的形式，并且最后是想要分子的最低次数和分母的相同，以便能够在趋于0的时候可以约去，从而得到一个常数（带一个无穷小量），也就是说，我们展开的最终目标的形式应该是：limx→0f（x）=limx→0Axk+oxkBxk+oxk.

我们见到的极限题目，要么乘除，要么加减，因此，我们把这两类题型归结为“AB”型、“A-B”型以及这两者的结合.

1.“AB”型

对于“AB”型，我们利用泰勒展开式可以遵循“分式上下同阶原则”，简单地说就是如果能够确定分母（分母）的x的次幂后，就要把分子（分母）展开到x的同次幂.

例3 求limx→0ex（x-2）+x+2x3

解 ∵ex=1+x+12x2+16x3+o（x3），

∴ex（x-2）+x+2=1+x+12x2+16x3+o（x3）（x-2）+x+2=16x3+16x4+o（x3）～16x3.因此，原式=limx→016x3x3=16.

解析 本例中因为分母是x3，根据“上下同阶”原则，因此我们需要把分子也展开到x3，但在此题中，我们需要注意的是应当要把所有涉及x的立方项都要展开出来，所以在对ex进行泰勒展开时，我们要展开到x的立方项，主要是和后面因子中常数项2相乘会出现x的立方项，这样才能恰好出现所有的x的立方项，在讲解的过程中，我们发现很多同学由于展开得不够，出现了以下的错误：

错解 ∵ex=1+x+12x2+o（x2）

因此，原式=limx→01+x+12x2（x-2）+x+2x3=limx→012x3x3=12.

例4 求limx→0sin  x-xcos xsin3x

正如上面所说，希望分子分母同阶（或分子阶数比分母更高），一般来说，我们先确定分母或者分子的阶数，在按照所给的阶数展开另一部分，例4中显然分母是三阶的，因此我们只要将分子也展开到三阶即可，解法如下：

解 ∵sin  x=x-x33！+o（x3），xcos x=x-x32！+o（x3）.

因此，原式=limx→013x3+o（x3）x3=13.

2.“A-B”型

对于“A-B”型，我们利用泰勒展开式可以遵循“加减幂次最低原则”，简单地说就是将A与B展开到它们的系数不相等的x的最低次幂为止.

例5 求limx→0x2e2x+ln（1-x2）xcos x-sin  x

解 ∵e2x=1+2x+o（x），ln（1-x2）=-x2+o（x3），cos x=1-12x2+o（x2），sin  x=x-16x3+o（x3）.

∴x2e2x+ln（1-x2）=x2（1+2x+o（x））-x2+o（x3）=2x3+o（x3）～2x3，

xcos x-sin  x=x-12x3-x+16x3+o（x3）～-13x3.因此，原式=limx→02x3-13x3=-6.

解析 首先观察到分母是“A-B”型，根据“加减幂次最低原则”，因此我们只需展开到第一个不相等的幂次就可以了，从而分母我们就展开到了x的三次幂，然后整体就可以化为“AB”型，我们再利用“分式上下同阶原则”，分子也要展开到了x的三次幂，因此我们就能够确定展开的阶数.

我们平时见到的大部分极限，除了有些我们作为常识的阶数，大部分的分子分母我们还是很难看出它的阶数的，一般“A-B”型的阶数，我们采用的方法一般都是一项项比，直到没法消去为止.

例6 求limx→0exsin  x-（1+x）ln（1+x）-12x2x3

解 根据分母知，分子需要展开到3阶.首先考虑exsin  x=1+x+12x2+o（x2）x-x33！+o（x3）=x+x2+13x3+o（x3）

再考虑（1+x）ln（1+x）=（1+x）x-12x2+13x3+o（x3）=x+12x2-16x3+o（x3）

于是

exsin  x-（1+x）ln（1+x）-12x2=x+x2+13x3-x+12x2-16x3-12x2+o（x3）=12x3+o（x3）因此，原式=limx→012x3+o（x3）x3=12.

三、泰勒公式在考研数学极限中的应用

极限是考研数学中重要的题型，很多同学在面对复杂的极限计算时没有思路，无从下手.下面我们利用泰勒公式在极限中的应用，对近年考研数学中的极限问题进行解答，让同学更好地认识和理解泰勒公式在极限问题的计算过程和解题技巧.

例7 （2021年数学一考研真题）：

求limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin  x

解 limx→01+∫x0et2dtex-1-1sin  x

=limx→0sin  x1+∫x0et2dt-（ex-1）（ex-1）sin  x

又因为∫x0et2dt=∫x0（1+t2+o（t2））dt

=x+13x3+o（x3），sin  x=x-13！x3+o（x3），

ex-1=x+12！x2+o（x2），ex-1～x，sin  x～x.

∴sin  x1+∫x0et2dt-（ex-1）

=x-16x3+o（x3）1+x+13x3+o（x3）

-x+12x2+o（x2）

=12x2+o（x2）～12x2，

即原式=limx→012x2x2=12.

解析 本例中通分后分母可通过等价无穷小量代换为x2，因此只要将分子展开至分母的阶数x2项即可进行等价代换求极限.

例8 （2012年数学三考研真题）：求limx→0ex2-e2-2cos xx4

解 limx→0ex2-e2-2cos xx4=limx→0e2-2cos xex2-2+2cos x-1x4

=limx→0x2-2+2cos xx4.

又由于cos x=1-12！x2+14！x4+o（x4），∴x2-2+2cos x=x2-2+21-12x2+124x4+o（x4）=112x4+o（x4）～112x4.

因此原式=limx→0112x4x4=112.

解析 本例中没有直接用泰勒展开公式对分子进行展开，而是先进行变形，将分子两项“融合”在一起，再利用等价无穷小代换，最后在利用泰勒展开式进行运算.

四、結语

极限的计算一直是高等数学的重点和难点，也是考研数学必考的问题，对于复杂函数的极限问题，用简单函数代替复杂函数是我们解决问题的关键点，而泰勒展开公式能够将一切函数表示成幂级数的和，因此为我们提供了一个将复杂函数转化为简单函数的理论基础，所以，牢固掌握泰勒展开公式，在解决函数极限问题上可以起到化繁为简的效果，但在使用泰勒展开定理求极限时，需要注意不能不写无穷小量，也不要还没取极限就约掉了，泰勒展开式等式，不是近似等式.当已确定阶数时，遇到A，B（A，B都需要泰勒展开时），建议将A和B都先展开到该阶数然后再去相乘，否则容易导致错误.对于乘式的展开和复合函数的展开巨大的运算量，要学会适当估计阶数，扔掉太小的无穷小量.着重注意应该展开到第几阶才是合适的，因此在解题的过程中，我们应该遵循“分式上下同阶原则”以及“加减幂次最低原则”，从而为我们展开到合适的阶数确定一定的方向.

【参考文献】

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