“概率论与数理统计”的线上线下混合式智慧教学

刘 薇，莫晓云，尹思宇

（湖南财政经济学院 数学与统计学院，湖南 长沙 410205）

“概率论与数理统计”是一门研究客观世界随机现象统计规律性的数学学科，理论严谨，应用广泛。作为大学重要的数学类基础课程，它具有内容多、理论多、难点多、公式多等特征。过去受限于教学条件，“概率论与数理统计”课程多采用线下传统课堂授课，存在课时少、方式少、工具少、互动少等问题[1]。课程教学手段陈旧，教学模式落后，考核方式单一，这在一定程度上限制了教师的教和学生的学，教学目标无法有效实现。为解决这一系列教学窘境，充分发挥现代信息技术在教育领域的作用，基于“互联网+”的混合教学模式应运而生，近年来我国各大高校进行了探索和实践，取得了丰富的教学成果。例如，习丽通过调整传统“概率论与数理统计”课程的教学内容，打破“重理论轻应用”的模式，采用线上+线下授课的混合式教学，弥补了传统课堂教学的不足，提高了教学效果[2]。王芬等针对“概率论与数理统计”课程在实际教学过程中面临的主要问题，依托混合式教学，从教学手段、教学内容、互动过程和考核方式等方面展开了深入研究，并提出了具体改革措施[3]。韩晓峰围绕智慧教育的概念、智慧课堂的定义、大学数学智慧教学的特征、传统数学教学存在的问题、传统数学课堂与智慧课堂的比较分析、大学数学智慧教学改革等方面系统研究了大学数学的智慧教学模式[4]。但是，有的基于“互联网+”的混合教学实践在形式上表现为简单的“拿来”和“拼接”或直接运用“雨课堂”等数字教学工具进行传统课堂的授课[5]。然而，真正的创新和变革不是简单的摒弃或应用某种教学模式和方法，而是利用现代信息技术对多元化教学和多模态学习的综合协同运用。

为了充分体现“以学生为中心”的教学理念，精准把握“学生为主体，教师为主导”的教育教学方式，解决“概率论与数理统计”课程讲授中的“四多、四少”问题，本文在智慧教学背景下，构建教师的备、教、思、评，以及学生的预、学、练、馈，有效地运用“线上线下混合”教学模式，对“概率论与数理统计”课程开展智慧教学实践，期望通过优化教学模式，达到高质量的教育教学效果。

1 “线上线下混合”的教学流程设计

线上与线下的混合，即“E（e-Learning）+C（Classroom）”的混合教学模式[6]，是推动教师与学生共同参与，实现线上学习和线下传统课堂学习的混合教与学活动。线上、线下教学形态的有效结合、相互交融、有机集成，一方面能突破教与学的时间、空间限制，丰富教学形式和内容；另一方面能改变传统课堂教学中过分讲授而导致学生学习主动性不高、认知参与度不够、学生学习效果差异过大等问题。

混合式教学强调的是在恰当的时间应用合适的技术达到最好的教学目标，这与美国教育心理学家布鲁姆的教育目标分类学的思想和目的不谋而合。在布鲁姆的教育目标分类理论[7]指导下，根据“概率论与数理统计”课程特点，基于现代信息化技术，设计“线上线下混合”的教学流程（见图1）：线上的课前准备阶段、线下的课中教学阶段、线上+线下的课后强化阶段、线上+线下的考评阶段。教师通过“教学准备→教学实施→教学反思→教学评价”，学生通过“预习→学习→练习→反馈”，来实现“以学生为中心”的具有高阶性和挑战度的高质量教学效能。

图1 “线上+线下”混合教学模式

2 “线上线下混合”的教学实践

以“概率论与数理统计”课程的第1章第5节“贝叶斯公式”为例进行“线上线下混合”的教与学实践。

2.1 线上的课前准备阶段

“线上课前”准备，是教师根据教学目标发布线上教学资料和任务，学生利用线上学习交流平台发布的微课、教学课件和课前测验、线上讨论来进行自主学习的活动。

（1）教师的线上课前任务

明确教学目标和重难点。贝叶斯公式重要且抽象，学生在学习时往往感到难以理解，尤其是面对实际问题，搞不清哪些可以用贝叶斯公式，而哪些用全概率公式。因此，在学习时，就要把贝叶斯公式与全概率公式以及乘法公式的关系理清，重点是把公式讲透，能够准确判别问题，灵活地运用概率模型解决问题。在实现“贝叶斯公式”知识目标的基础上，加强能力目标和德育目标的实现，使学生从能够理解到能够运用，让知与德兼得。

根据教学内容准备教学资源、发布预习任务。线上教与学依托超星泛雅网络教学平台和QQ学习交流群，发布学习资源和预习任务。例如，阅读教材、观看线上精品课程的微视频、查阅名人史料等。在贝叶斯公式这一节中，要求学生预习本节内容，时间约15分钟，并查阅了解英国著名数学家贝叶斯的个人简介和杰出贡献。学生自主查找名人史料，可以锻炼学生的信息搜集能力，了解数学家励志奋斗的故事能够拉近学生与学者的距离，进一步激发学习兴趣。通过学习通app发布2～3道课前测试题，侧重基本概率公式的了解，复习乘法公式、全概率公式。

检查线上预习作业并计分。对预习检测题进行打分，将课前预习评分纳入课程过程性考核。教师根据学生自学预习情况，适当调整线下课堂教学设计，以实现高质量的线下课堂教学。

（2）学生的线上课前任务

一是根据教师发布的课前学习任务自主学习。二是做好预习笔记。记录不好理解、难理解的知识点，通过线上网络教学平台留言，以便教师了解分析后进行线下课堂的有效开展。三是查阅文献资料，了解相关数学发展史和数学家史，揭示数学文化的精神和智慧。四是进行线上预习答题。根据自主学习相关知识后，进行限时答题，以检测预习情况。五是在学习通app讨论区进行预习讨论。调查表明：100%的学生接受课前的自主学习过程，认为课前的预习可以促进学习的主动性，大大提高了线下课堂的学习质量。

2.2 线下的课中教学阶段

“线下课中”教学活动不是传统课堂教学活动的照搬，而是教师基于“线上课前”学生学习情况，根据教学大纲基本要求、教学重难点目标，组织有效课堂的教学活动，引导学生掌握重要知识点，通过案例分析或互动讨论，突破难点知识，完成预设教学目标。在教学过程中，学生与老师角色发生了变化（见图2）。学生已经通过课前的线上资源进行了自主性探索学习，因此，在线下课堂上，老师更多的责任是引导学生去解决问题。

图2 线下课中施教过程

一是采用问题式教学法（Problem-Based Learning）。在教师引导下，以学生为中心，以问题为导向，通过采用小组讨论的形式，学生围绕发现的问题拓展思维，解决问题，培养自主学习能力和创新能力。二是引用生动有趣的案例。通过引入贴近生活的情境式案例和故事，将枯燥的数学题目趣味化，将深奥的道理通俗化，将枯燥的说教生动化，将直白的观点情感化，将抽象的理论生活化。三是融入思政育人元素。以立德树人为目标，积极传播马克思主义科学理论，弘扬中华传统美德，发挥概率论与数理统计课程的思想政治教育作用。引导学生树立远大理想，坚定理想信念，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。

课堂一开始，请学生分享数学家贝叶斯的故事和杰出贡献，点燃学生的求知欲，自然地引出贝叶斯公式，引领学生进入学习情境。并设计两道有趣的例子，采用“小组讨论”方式，在寓德于教，寓乐于学中分析和解决问题。

实例1用贝叶斯公式分析伊索寓言——狼来了，问：故事中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的？

设A：小孩说谎，B：小孩可信，村民过去对这个小孩的印象为P(B)=0.8，且可信的孩子说谎可能性为P(A|B)=0.1，不可信的孩子说谎可能性为P(A|Bˉ)=0.5。

将学生随机分成3组，采用问题式探究教学法，分析和求解寓言故事中小孩三次撒谎后的诚信度。在课堂实践中，有学生对全概率公式进行了回顾和探讨，还有学生探讨了先验概率和后验概率的区别，在讨论互动中更加深刻地理解了贝叶斯公式与条件概率、乘法公式、全概率公式的关系和贝叶斯公式的应用特点。

运用贝叶斯公式求得村民对小孩的可信程度分别为0.800、0.444、0.138。结果表明：村民们经过两次上当，对孩子的可信程度从0.800下降到了0.138。在如此低的可信度下，村民听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢？结论说明了诚信的重要性，运用贝叶斯理论来说明寓言故事所蕴含的道理，让学生切实地感受到了数学的文化功能。

设计诚信问卷，请学生用手机识别二维码进行课堂思政主题讨论。开启弹幕功能，以95后大学生的话语方式和时尚现代的呈现手段，让手机从“低头的工具”变成了“抬头的利器”，在自由平等的环境中引导学生树立正确的人生观和价值观。

实例2对患新冠肺炎概率的推断。

我国人口超过14亿，假如全国感染新冠肺炎的有8万人，因感染新冠肺炎而发热的比例为87%，而未感染发热的人数假设为100万人。利用贝叶斯公式测算发热条件下确定为感染者的概率？

贝叶斯公式是执果寻因的概率模型，与全概率公式解决的问题相反，尽管模型并不复杂，但可以解决许多实际问题，有非常重要的实用价值。学生在运用贝叶斯公式解决概率问题时，往往找不到先验概率对应的事件，因而无法顺利求解后验概率。

本例，设A：发热，B：感染新冠，分析找到先验概率P(B|A)≈0.067。由贝叶斯公式可解得P(B|A)≈0.067。即当前我国发热确定为新冠肺炎的概率非常小，仅约为0.067，由案例2的结论抛出思政主题：我国树立了新冠肺炎世界防疫的典范，我们能够深刻感受到中国的制度优势，并为我们伟大的祖国感到自豪。同时讲述“最权威的新冠肺炎数据统计模式”来自霍普金斯大学，开发者则为中国籍博士生董恩盛和杜鸿儒。“士不可以不弘毅，任重而道远”，弘扬有志青年以全世界人民的健康为己任、在科学道路上不懈追求的精神。国家的前途、民族的命运和人民的幸福，是当代中国青年必须和必将承担的重任，以景激情，以情促学，点燃学生的爱国主义情怀。

2.3“线上线下混合”的课后强化阶段

教师根据课堂教学实施情况，布置课后线下练习作业，发布课后线上习题，上传学习拓展资料和定期进行线上答疑，帮助学生巩固知识，进一步推动学习活动。考虑到学生的个性化差异，优化教学环节和效果，对学生施以分层教学，特别是课后作业的分层实施。教师根据学生的不同层次设计不同要求的练习，在作业量和作业难度上进行分层把控。

（1）巩固基础。课后及时进行基础巩固练习，完成与教材配套的概率论与数理统计习题册。下次课后在线公布答案，要求学生自行批阅更正，针对错题相互交流讨论。

（2）强化拓展。针对学生学习能力有差异的客观实际，发布设计难易有别的在线复习作业，学生可选择性地进行练习和复习，努力实现基础目标和发展目标。

（3）每学完一章后进行一次线上小测。通过课程的阶段性测试，一方面可以激励学生学习的主动性，督促学生及时消化课堂知识，另一方面可以借助每章小测情况分析学生知识掌握的薄弱点。

（4）线上线下结合的课后辅导答疑。每次小测后安排一次在线答疑，根据课后线上线下作业的练习情况和章后考试情况，针对性地开展线上课后辅导。为了有效地实行分层教学课后辅导，根据学情开展定期的线下面对面课后辅导答疑。

2.4“线上线下混合”考核评价

在“概率论与数理统计”课程的混合式教学实践中，设计线上与线下相结合、过程性评价与终结性评价并重的多元化评价体系[8]，既能够激励学生学习和保证教与学的质量，更有利于学生的长远发展。在课程综合测评设置中，将过程性平时成绩提高到50%占比，由线上预习作业（20%）、线下课堂出勤（30%）、线下课后作业（20%）、线上章节测试成绩（30%）构成。采用访谈和问卷调查收集学生对于教学的反馈和建议，所获得的反馈建议是后续课程教学过程改进的重要依据[9]。借助超星网络教学平台的“成绩管理”和“问卷调查”系统建立多维度的教学评价与反馈体系，并通过教务管理系统合理设置总评成绩构成指标的权重，实现对学生学习过程的有效管理和科学评价。

2.5“线上线下混合”智慧教学的实践效果

以湖南财政经济学院3个大班的227名学生为教学对象，其中会计专业班（对照组）采用传统课堂教学模式进行教学，会职国会班和房产造价班（实验组）采用“线上线下混合”教学模式进行教学。经过一个学期的教学实践，实验组班级的学生对“概率论与数理统计”的教学评价高达98.5分。对实验组学生进行满意度调查发现：学生对线上线下混合教与学的认可度高达100%，且91.6%的学生认为自己获得了公正的评分，超过95%的学生认为线上线下混合的教与学提高了学习兴趣，提升了课程学习的质量，83%的学生认为课程中适当融入思政元素有助于课程学习。分析两组的期末考试成绩，比较不同教学模式的教学效果发现：实验组学生成绩明显高于对照组，相对于往届也有较大幅度提升（见图3）。

图3 实验组与对照组期末考试成绩分析

3 结束语

全面推进高质量教育教学，要改变“教”，改变“学”，要推动从以“老师教”为中心向以“学生学”为中心转变。线上线下混合的教学形态多种多样，笔者在教育高质量发展的主题主线下，提出了“概率论与数理统计”课程的线上线下混合智慧教学：备、教、思、评，预、学、练、馈。具体来说，就是要有效利用现代信息技术，在教学过程中融入具有创新性的教育教学理论、方法、技术和评价，以提高教育教学质量，有力推进教学改革实践。