无界域上具有乘积噪声的随机反应-扩散方程一致随机吸引子的存在性①

李博文， 李晓军

河海大学理学院， 南京 210098

本文考虑如下无界域上带有乘性噪声的随机反应-扩散方程生成的随机动力系统一致随机吸引子的存在性：

(1)

其中：υ，λ是正常数；g(x，t)∈Σ是满足一定条件的外力项；bj是常数，f1(u)和f2(u)是满足一定增长条件和耗散条件的光滑非线性函数；ωj是定义在概率空间(Ω， F， P)上的双边实值Wiener过程； F是Borelσ-代数； P是相应的Wiener测度； “∘”表示随机项是在Stratonovich积分意义下的．

本文假设f1(u)和f2(u)满足以下条件： 对任意的x∈Rn，u∈R，

f1(u)u≥α1|u|p-β1|u|2，f1(u)u≥0，f′1(u)≥-c，p≥2

(2)

f2(u)u≥α2|u|p-β2，f′2(u)≥-c，p≥2

(3)

|f1(u)|≤α3|u|p-1+c1， |f2(u)|≤α4|u|p-1+c2

(4)

a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0

(5)

其中：αi>0(i=1，2，3，4)；βi，ci>0(i=1，2)，c>0． 当p>2时， 有α1>β1成立．

∇a(x)·∇F2(u)≥0

(6)

系统(1)是一非自治随机系统， 含有确定的非自治项和随机项． 由于随机项的存在， 在研究随机偏微分方程时， 传统吸引子的理论[1-3]已无法应用． 文献[4-6]将传统吸引子的概念加以推广， 提出了随机吸引子的概念， 并建立了随机吸引子的相关理论． 之后， 文献[7]利用该理论研究了非自治随机动力系统， 并建立了随机吸引子存在的充分必要条件． 文献[8]研究了含有确定非自治项的随机偏微分方程一致随机吸引子的存在性， 并给出相应的判定定理． 关于随机偏微分方程吸引子的其他结果可见文献[12-15]．

本文用文献[8-10]中的方法研究系统(1)一致随机吸引子的存在性． 与以往的工作(如文献[7， 9])相比， 我们放宽了对系统(1)的非线性项f(x，u)的一些假设， 即它不一定满足条件：

(7)

为了表示方便， 设有以下记号： ‖·‖表示L2(Rn)上的范数， (·， ·)表示L2(Rn)上的内积．

1 预备知识

本节将引入非自治随机动力系统的一些概念和理论[7-10]．

令(X，d)为可分的Banach空间，X上的非空集间的Hausdorff半距离定义为

对于任意度量空间M， 我们用B(M)表示其上的σ-代数． 令(Σ，dΣ)为紧的Polish度量空间， 且在如下意义下是不变的：

ϑtΣ=Σ， ∀t∈R

其中ϑ为光滑的平移算子， 若满足：

1) ϑ0是Σ上的恒等算子；

2) ϑs∘ϑt=ϑt+s， ∀t，s∈R；

3) (t，g)ϑtg是连续的．

同时， 我们定义(Ω， F， P)为概率空间， 定义在其上的动力系统{θt}t∈R满足：

1)θ0是Ω上的恒等算子；

2)θtΩ=Ω， ∀t∈R；

3)θs∘θt=θt+s， ∀t，s∈R；

4) (t，ω)θtω是(B(R)×F， F)-可测；

5) R-保测： R(θtF)=R(F)， ∀t≤0，F∈F．

分别作用在Σ和Ω上的两个群{ϑt}t∈R和{θt}t∈R称为基流．

定义1对于φ(t，ω，g，x)： R+×Ω×Σ×XX， 若满足：

1)φ是(B(R+)×F×B(Σ)×B(X)， B(X))-可测的；

2)φ(0，ω，g， ·)是X上的恒等映射， ∀g∈Σ，ω∈Ω；

3) 对每个固定的g∈Σ，x∈X，ω∈Ω， 有如下余圈性质成立：

φ(t+s，ω，g，x)=φ(t，θsω， ϑsg)∘φ(s，ω，g，x)， ∀t，s∈R+

则称φ(t，ω，g，x)为定义在X， (Σ， {ϑt}t∈R)和(Ω， F， P， {θt}t∈R)上的非自治随机动力系统．

令D是X中的随机集族组成的集合．

定义2称K=K{K(ω)}ω∈Ω为φ的D一致吸收集， 若对任意的ω∈Ω和B∈D， 都存在T=T(ω，B)， 使得

φ(t，θ-tω，Σ，B(θ-tω))⊂K(ω)， ∀t≥T

其中

称K={K(ω)}ω∈Ω为φ的D一致吸引集， 若对任意的ω∈Ω， 有

定义3假设φ是定义在Banach空间X上的非自治随机动力系统， 并且关于符号空间Σ和X连续． 若对任意的B∈D，ω∈Ω与序列{tn}， 满足0

定义4若A属于D， 且是最小的紧D一致吸引集， 则称随机集A={A(ω)}ω∈Ω为φ的D一致吸引子．

定义5若对所有的β>0，ω∈Ω， 满足

定理1[8]假设φ是定义在Banach空间X上的非自治随机动力系统， 并且关于符号空间Σ和X连续． 若φ有闭的D一致吸收集B∈D， 且φ在X上是D一致(拉回)渐近紧的， 那么φ有唯一的D一致随机吸引子A={A(ω)}ω∈Ω∈D， 其中

2)g的壳是平移不变的， 即H(g0)=ϑtH(g0)， ∀t∈R；

5) 对任意的g∈H(g0)， 都有G(g)≤G(g0)．

2 方程所对应的随机动力系统

本节中， 我们建立方程(1)所对应的连续随机动力系统． 定义在R上的群(θ1， t)t∈R：

θ1， t(h)=h+t，t，h∈R

则(R， (θ1， t)t∈R)是一个参数动力系统． 考虑概率空间(Ω， F， P)， 其中Ω={ω=(ω1，ω2， …，ωk)∈C(R， Rk)：ω(0)=0}， F是Borelσ-代数， P是相应的Wiener测度． 定义(Ω， F， P)上的群(θ2， t)t∈R：

θ2， tω(s)=ω(s+t)-ω(t)，ω∈Ω，t，s∈R

则(Ω， F， P， (θ2， t)t∈R)是一个遍历度量动力系统．

为了定义(1)所生成的连续随机动力系统， 我们需要将(1)式转换成一个带随机变量的非自治动力系统．

给定布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的稳态解：

t

(8)

(9)

(10)

又令

(11)

其中u是方程(1)的解． 则v满足方程：

(12)

初值为

v(x，τ)=vτ(x)=e-δ(θ2， tω)uτ(x)，x∈Rn

(13)

通过Galerkin方法可知， 对于任意的t>τ，τ∈R，vτ∈L2(Rn)， 在假设(2)-(5)下， 方程(12)存在唯一的解v=v(t，τ，ω，g，vτ)， 且v(t，τ，ω，g，vτ)关于初值vτ(x)连续(见引理4)．

φ(t，τ，ω，g，uτ)=u(t+τ，τ，θ2， -τω， ϑ2， -τg，uτ)=eδ(θ2， τω)v(t+τ，τ，θ2， -τω， ϑ2， -τg，vτ)

(14)

其中uτ∈L2(Rn)，t∈R+，τ∈R，ω∈Ω， 从而φ是系统(1)所对应的非自治随机动力系统．

(15)

令D为

D={D={D(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}：D满足(15)式}．

(16)

3 解的一致估计

为了证明φ于L2(Rn)中D一致吸引子的存在性， 我们将给出系统(1)的一致估计， 并且说明当时间足够大时， 方程解的尾部估计是一致小的． 首先， 我们证明φ于L2(Rn)中存在D一致吸收集．

‖v(τ，τ-t，θ2， -τω， ϑ2， -τg，vτ-t(θ2， -τω， ϑ2， -τg))‖2≤C(1+r1(ω))

(17)

证将(12)式与v在L2(Rn)中做内积， 可得

(18)

现在对(18)式进行逐项估计， 结合条件(2)-(5)， 可得：

(19)

(20)

对于(18)式中最后一项， 利用Cauchy-Schwarz不等式， 可得

(21)

由于a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 结合(18)-(21)式可知

(22)

舍去(22)式中的不等式右边第一项， 在(τ-t，τ)上应用Gronwall引理， 得到

(23)

在(23)式中， 用θ2， -τω替代ω， 用ϑ2， -τg替代g， 得到

(24)

由(10)式可知

(25)

这意味着存在κ>0， 使得对任意的s<-κ， 满足

(26)

结合(25)-(26)式， 可知

(27)

(28)

因此， 将(28)式代入(27)式中， 可得

(29)

注意到{D(τ-t，θ2， -tω)}∈D是缓增的， 对任意的vτ-t∈D(τ-t，θ2， -tω)， 有

(30)

令

(31)

由此， 引理得证．

给定ω∈Ω， 令

K(τ，ω)={u∈L2(Rn)： ‖u‖2≤C(1+r1(ω))}

(32)

可知{K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈D是一个φ的D一致吸收集．

(33)

证用T替代τ， 并用θ2， -τω替代ω， 用ϑ2， -τg替代g， 代入(23)式中， 则对每个T≥τ-t，t≥1， 有

(34)

(35)

对(22)式应用Gronwall引理， 当τ-t

(36)

故有

(37)

用θ2， -τω替代ω， 用ϑ2， -τg替代g， 代入(37)式， 并结合(35)式， 我们得到

(38)

用τ-1替代T， 代入(38)式中， 可得

(39)

易知， 对于s∈[τ-1，τ]，

由于随机变量z(θ2， tω)是缓增的，vτ-t∈D(τ-t，ω)， 结合(25)-(28)式， 于是有

因此， 存在TD(τ，ω)≥1， 使得当t≥TD(τ，ω)时，

显然，r2(ω)是缓增的． 由此， 引理得证．

‖∇v(τ，τ-t，θ2， -τω， ϑ2， -τg，vτ-t)‖2≤r(ω)

(43)

其中r(ω)是缓增随机变量．

证将(12)式与-Δv在L2(Rn)中作内积可得

(44)

首先我们对(44)等式右边进行逐项估计．

考虑第一项， 根据条件(2)-(5)， 利用Young不等式， Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

考虑第二项，

(47)

由(44)-(47)式可知

(48)

类似引理2， 令TD(τ，ω)≥1是正常数． 当B={B(ω)}ω∈Ω∈D时， 将(48)式在(s，τ)上积分， 其中s∈(τ-1，τ)， 我们有

(49)

将(49)式对s在(τ-1，τ)上积分可得

(50)

在(50)式中用θ2， -τω替代ω， 用ϑ2， -τg替代g， 类似引理1中做法， 结合(26)和(50)式可得

(51)

结合引理1和引理2可知， 对任意的t≥TD(τ，ω)≥1， 有

(52)

注意到a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0， 故r2(ω)是缓增的， 容易证明r(ω)是缓增的， 由此引理得证．

证令v1和v2是方程(12)-(13)的两个解， 令w(t)=v1(t)-v2(t)， 则w(τ)=v1， τ(x)-v2， τ(x)， 且w(τ)满足

(53)

将(53)式与w(t)在Rn上做内积， 我们得到

(54)

由条件(2)-(5)可得

(55)

(56)

(57)

结合(53)-(57)式可知

(58)

故有

(59)

舍去不等式右边第一项， 并运用Gronwall引理

(60)

由此， 引理得证．

(61)

证令ρ为一个光滑函数， 且对于任意的s∈R+， 有0≤ρ(s)≤1， 且满足

(62)

(63)

接下来对(63)式采取逐项估计

(64)

对于非线性项， 可得

(65)

对(63)式中的最后一项，

(66)

综合(63)-(66)式， 可得

(67)

对(67)式在(τ-t，τ)上运用Gronwall引理， 并用θ2， -τω替代ω， 用ϑ2， -τg替代g， 我们得到当τ∈R，t≥0且ω∈Ω时， 有

(68)

现对(68)式中不等式右边进行逐项估计． 首先由(30)式得到， 对任意的ε>0， 存在T1=T1(τ，ω，D，ε)≥1， 使得对所有的t≥T1， 满足

(69)

用s替代τ， 其中τ-t

(70)

(71)

用τ-t替代T， 由(33)式可知， 对任意的t≥T3和k≥R2， 存在T3=T3(τ，ω，D，ε)>T1和R2=R2(τ，ω，ε)>0， 满足

(72)

再次利用命题2， 结合(25)-(29)式， 设a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)， 对任意的t≥T4和k≥R3， 存在T4=T4(τ，ω，D，ε)>T1和R3=R3(τ，ω，ε)>0， 满足

(73)

令T*=T*(τ，ω，D，ε)=max{T1，T2，T3，T4}，R*=R*(τ，ω，ε)=max{R1，R2，R3}， 结合(68)-(73)式可得， 对所有的t≥T*和k≥R*， 有

(74)

故有

(75)

由此， 引理得证．

4 一致吸引子的存在性

证由引理4知， 方程(1)的解关于初值Lipschitz连续， 应用引理1，2，3，5， 即可得证明．

下面给出本文所得结论：

证由引理1、 引理5及引理6， 并应用定理1即可得结论．