GARCH模型的二次加权复合分位数估计①

钟泽君， 李婷婷

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

文献[1-2]提出了广义自回归条件异方差(GARCH)模型， 该模型主要用于刻画资产收益率的波动规律． 文献[3-4]将GARCH同多种传统模型进行实证比较， 结果表明GARCH能更为准确地反映我国某些市场的波动情况． 后续学者根据市场特征和需求的不同对GARCH进行了推广研究， 并演化出了一系列GARCH族模型[5]．

目前， 用于估计GARCH模型参数的方法多种多样． 文献[6]将类极大似然(QML)法用于GARCH和ARMA-GARCH模型的参数估计； 文献[7]将QML法扩展到一系列多维GARCH类模型， 且实证表明其能很好地刻画汇率序列的波动． 虽然文献[8]指出QML估计对数据分布具有一定的容错性， 但其对异常值很敏感， 少量异常值就会对QML估计产生巨大的影响， 也即QML估计并不稳健， 其次， QML法还要求序列4阶矩存在， 而金融收益率时序列分布往往呈现出“尖蜂厚尾”的特点， 难以满足该条件． 由此， 文献[9]提出了较为稳健的偏差绝对值最小(LAD)法． 文献[10]提出了基于传统GARCH模型的分位数回归估计(QR)法， 并证明了该估计的一致性． 虽然QR估计一定程度上减少了数据尖峰厚尾所造成的估计误差， 但风险水平的选取将直接影响到QR估计的结果． 因此， 文献[11]将复合分位数回归(CQR)应用于估计高频数据的GARCH参数， 数值模拟结果显示CQR估计较QR估计更为精确有效． CQR通过综合考虑多个风险水平下的条件QR使得估计更为稳健有效， 但应对不同的市场损失情况应当赋予不同程度的损失， 故文献[12]考虑加权复合分位数回归(WCQR)法， 其通过极小化WCQR参数估计的渐进方差得到权重值， 对于不同分位数回归给予不同的权重， 以此得到更加稳健有效的估计．

近年来， 受文献[13]提出的两步QR思想的启发， 文献[14]提出了GARCH模型的混合QR估计， 该估计主要分为两步： 首先计算QML估计下的条件标准差拟合序列， 接着将此条件标准差拟合序列的倒数作为QR损失的权重得到估计， 数值分析表明混合QR估计可以削弱极端波动的影响， 得到更为精确有效的估计； 文献[15]还将上述混合QR估计用于探究GARCH-X误差模型， 数值模拟显示出该混合估计在大样本下表现最优． 本文进一步将混合估计扩展到CQR， 结合WCQR思想， 由此提出二次加权分位数回归(BWCQR)技术． 数值模拟及实证分析表明利用BWCQR估计GARCH模型参数在一定准则下相较已有估计技术更加合理有效．

1 模型及估计

1.1 GARCH模型的BWCQR估计

记yt表示某资产第t天的收益率， 则标准GARCH(p，q)模型为

yt=vtηt

对应GARCH(p，q)模型的条件τk分位数为

(1)

GARCH模型的CQR估计[11]为

(2)

将文献[12]提出的WCQR扩展至GARCH模型

(3)

将文献[14]提出的混合QR加权思想扩展到CQR， 由此衍生出估计

(4)

将式(3)和式(4)相整合， 即可得到本文提出的BWCQR估计

(5)

1.2 假设及定理

在给出BWCQR估计的渐进性质之前， 须引入一些记号和模型假设： 记向量a的欧几里得范数为‖a‖；C表示在不同的计算过程中不尽相同的任一正数； 定义矩阵A=(aij)的欧几里得范数为‖A‖=∑i，j|aij|；V表示一广义可积随机变量； {St}表示一平方可积非负平稳遍历过程且满足St∈Ft-1； 变量ρ满足 0<ρ<1；ρτk(u)关于u的导数为ψτk(u)=τk-I(u<0)．

假设1模型的真值θ*为Θμ的内点， 其中参数空间Θμ定义为

其中实数μ∈(0， 1)且使得θ*∈Θμ．

证明分别定义

本文主要证明定理2及推论3， 定理1不作详细证明． 关于定理1可参考文献[15]中定理1的证明， 分证四点即可：

4) 对任一θ#∈Θμ， 当0时有其中B(θ#)={θ#∈Θμ： |θ#-θ|<}表示以θ#为中心为半径的邻域．

注1当K=1，ω=1且vt=1时， 定理2退化为QR估计的渐进性质， 详见文献[10]定理2； 当K=1且ω=1时， 定理2退化为混合QR的渐进性质， 详见文献[15]定理2； 当ω=1且vt=1时， 定理2退化为CQR的渐进性质， 详见文献[11]定理2．

证明

(6)

注意到， 对∀τ∈(0， 1)有ρτ(x)≤|x|． 由ρτ(x)的Lipschitz连续性及式(6)， 有

(7)

(8)

因此， 由式(8)及A.2有

2) 定义

由文献[16]有等式

(9)

(10)

lk(θ)-lk(θ*)=dt(θk)[-ψτk(ηtk)+Btk]

(11)

据ψτ(x)的定义对其应用Fubini定理及泰勒展开有

(12)

引理2在假设1-3满足的条件下， 有

证明引理2的证明同引理1的证明类似

据文献[17]定理3.1和式(9)易证K1n(δ)=op(|δ|)与K2n(δ)=op(|δ|2)．

引理3在假设1-3满足的条件下， 有

其中

证明由式(9)有

(13)

对R1n(δ)泰勒展开：R1n(δ)=-δTCn-δTK3n(θ′)δ， 其中

定义Btk=Btk1+Btk2， 其中

由中值定理、 文献[10]A.2及假设3， 对∀ζ>0

(14)

对K5n(δ)进行放缩后

定理2证明结合引理1-3和定理1， 同文献[15]中定理2的证明类似即可证明该定理．

注2令

推论1证明矩阵C可分为4块分块矩阵

同样可以将矩阵D分为4块分块矩阵

注意到， 在假设4及权重向量ω>0的条件下矩阵D，C均为严格正的可逆矩阵， 矩阵D-1CD-1的右下块(p+q)× (p+q)维矩阵U为

其中

经计算可得推论1成立．

1.3 参数估计步骤

将本文提出的BWCQR分为如下6个步骤：

2 数值分析

2.1 蒙特卡洛模拟

基于GARCH(1， 1)模型

利用蒙特卡洛数值模拟检验本文所提BWCQR方法在有限样本下相较QML，QR和CQR方法的稳健性和有效性． 数值模拟模型参数选取如下：

(i) 分别考虑扰动项序列ηt服从标准正态分布N(0， 1)，t(5)分布和t(3)分布；

(ii) 样本容量分别取n=300，500，1 000和1 500进行300次重复抽样；

(iii) 复合分位数回归模型中K值取5，9和19， QR估计的风险水平取0.3，0.5和0.7；

(iv) 本文采用估计量的偏差(Bias)、 标准差(SD)和均方误差(MSE)作为估计的评价标准．

表1 GARCH(1，1)模型的不同估计的比较，ηt～N(0， 1)

续表

表2 GARCH(1，1)模型的不同估计的比较，ηt～t(5)

表3 GARCH(1，1)模型的不同估计的比较，ηt～t(3)

分析结果得到：

(i) 无论扰动序列的分布如何， 对任一估计， 随着样本量n的增大， MSE愈小；

(ii) 各类复合分位数估计对K值的敏感程度不强；

(iii) 样本规模n一定时，K越大， MSE越小， 也即K取19时各类复合分位数回归估计最优；

(iv) 当扰动项服从正态分布时， QMLE最优；

(v) 当扰动项服从重尾分布时， 总体而言， BWCQR估计明显优于WCQR1， 略优于WCQR2， 且随着K的增加BWCQR估计的竞争力愈强．

2.2 实证分析

选取上证和沪深300股指作为研究对象， 实证区间为2015年1月5日至2021年5月11日， 共计1 544个样本数据． 记pt为第t交易日的收盘价，rt为百倍对数收益率：rt=100×(lnpt-lnpt-1)．

表4给出rt序列的描述性统计分析值． 均值大于0， 说明股指整体趋势上行， 且序列不服从正态分布、 不独立同分布． 综上所述， 足以表明rt序列具有典型的高峰厚尾特征． Ljung-Box检验Q统计量和ADF检验表明序列具有明显的长记忆性且平稳．

表4 股指收益率序列描述性统计信息

本文选用GARCH(1， 1)对该时间序列进行建模分析， 采用向前一步滚动窗口预测方法， 并将2015年1月5日至2020年1月23日作为初始滚动窗口． 本文对rt分别采用QMLE， MLE-t和BWCQR19进行拟合， 对应标准化残差序列的ARCH-LM检验通过率列于表5． 表5结果符合数值模拟结论， BWCQR估计明显优于QMLE和MLE-t．

表5 标准化残差序列的ARCH-LM检验通过率

进一步， 上证指数全序列和沪深300股指全序列在BWCQR估计下的标准化残差序列的自相关(ACF)图和偏自相关(PACF)图， 如图1，2所示， 可见BWCQR估计下股指的标准化残差序列是白噪声序列， 这再次验证了BWCQR估计的优良性．

图1 BWCQR估计下上证股指标准化残差序列

图2 BWCQR估计下沪深股指标准化残差序列

3 结语

本文提出了GARCH模型的BWCQR估计并探究其大样本性质． 数值模拟结果显示： 当扰动项序列服从正态分布时， QML估计略优于BWCQR估计； 当扰动项序列服从厚尾分布时， BWCQR估计明显优于传统估计． 我们将提出的BWCQR拟合分析上证和沪深股指波动系统， 结果表明BWCQR估计能更为合理有效地刻画股指时序的波动规律．