一个种群与环境资源相互作用模型的有限差分逼近①

王文静， 靳欢欢， 黄启华

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

从环境和自然发展的角度来看， 研究种群和自然资源之间相互依赖的关系是很有意义的． 许多科研工作者建立并研究了一系列描述种群与资源相互作用的数学模型， 例如： 文献[1-2]研究了微生物在培养皿中对单一营养物质竞争的数学理论； 文献[3-7]建立并研究了恒化器中两个物种竞争同一种资源的竞争模型． 值得注意的是， 上述模型都是由常微分方程组给出， 其中包含的种群的所有个体被假定是相同的． 然而， 现实中同一种群的不同个体由于年龄、 大小等方面的差异会导致不同个体之间存在不同的出生率、 增长率、 死亡率[8-12]， 而且不同个体消耗资源的能力以及受资源影响的程度也可能是不同的． 因此在本文中， 我们建立并研究一个大小结构的种群和资源相互作用的数学模型．

(1)

其中c(x)是摄取率，H是半饱和常数． 模型的第三个方程为对应于第一个方程的边界条件， 描述了种群在资源影响下的出生过程， 其中函数β是资源为R时， 大小为x的个体的繁殖率． 在模型的最后两个等式中，u0(x)是初始种群密度，R0是资源的初始值．

1 弱解和有限差分

设D=[xmin，xmax]×[0， ∞)， 并且c是足够大的正常数． 假设模型(1)中的参数满足下面条件：

(A5)u0∈BV[xmin，xmax]且u0(x)≥0．

(A6)R0∈BV[xmin，xmax]且R0(x)≥0．

仿照文献[13]， 将模型(1)中的第一个方程乘φ(x，t)， 再通过分部积分并利用初始条件和边界条件， 定义模型(1)的弱解如下：

定义2一个函数u∈IBV([xmin，xmax]×[0，T])， 如果满足以下条件就称为模型(1)的弱解：

其中φ∈C1((xmin，xmax)×(0，T))．

定义差分算子

使用隐式有限差分格式， 对系统进行如下的离散化：

(2)

初始条件为

(3)

(4)

引理1假设Δt选择得足够小， 使得2cΔt≤1． 那么线性系统(3)，(4)有唯一的非负解．

2 有限差分逼近的估计

首先证明差分逼近在l1空间的范数是有界的．

引理2假设引理1成立， 则存在一个正常数B1， 使得‖uk‖1+|Rk|≤B1．

证将(2)式的第一个等式左右两边乘Δx， 并将j=1，…，n对应的各式相加， 有

(5)

用类似的方式处理(2)式的第二个等式， 有

Rk+1(1+cΔt)≤Rk+hΔt

(6)

现在令Sk=‖uk‖1+|Rk|并且将(5)式和(6)式相加， 有

再证明差分逼近在l∞空间的范数是有界的．

引理3假设引理1成立， 则存在一个正常数B2， 使得‖uk‖∞≤B2．

(7)

如果1 ≤j0≤n， 则利用(2)式的第一个等式， 可得

(8)

(9)

根据(7)-(9)式， 我们有

因此存在正常数B2， 使得‖uk+1‖∞≤B2．

(10)

另一方面， 如果j=1， 那么

因此， 由(2)式的第一个等式有

(11)

将j=1，2，…，n对应的各式相加， 得到

(12)

容易得到

(13)

由不等式(12)和(13)， 得到

另外， 注意到

(14)

其中α在R(tk)和R(tk-1)之间， 而且

(15)

由(14)，(15)式有

(16)

其中ξ在R(tk)和R(tk-1)之间， 且存在正常数B4和B5， 使该不等式成立， 则该定理得证．

下一个结果表明， 差分逼近满足关于t的李普希茨条件．

引理5假设引理1成立． 则存在一个正常数A>0， 使得对任何r>q有

(17)

证将(2)式的第一式的所有j相加并乘Δx， 得到

因此，

可类似证明引理5的第二个不等式．

3 有限差分的收敛性和弱解的存在唯一性

定义如下的函数族{UΔx， Δt}， {RΔt}

其中x∈[xj-1，xj)，t∈[tk-1，tk)，j=1，…，n，k=1，…，l． 且由引理2-5， 函数集合{UΔx， Δt}， {RΔt}在拓扑空间L1(xmin，xmax)×(0，T)和C(0，T)中是紧的， 并且由文献[15]中的引理16.7的证明． 以下结果成立．

(18)

以及

并且存在一个常数Γ使得极限函数满足

‖U‖IBV([xmin， xmax]×[0， T])≤Γ， ‖R‖C[0， T]≤Γ

接下来证明通过上述差分格式构造的极限函数u(x，t)与R(t)实际上是模型(1)的弱解．

定理2定理1定义的极限函数u(x，t)与R(t)是模型(1)的弱解并且满足

‖u(·，t)‖1+|R(t)|≤B1

以及

‖u‖L∞([xmin， xmax]×[0， T])+‖R‖C[0， T]≤B1+B2

证使用类似于文献[15]的引理16.7中的证明方法可得结论成立．

这里

(19)

得到

(20)

(21)

将(20)式和(21)式同时乘Δt， 并将所得的不等式相加， 得到

其中c5=max{c1+c4，c3}， 结论得证．

接下来证明定理1和定理2中定义的解是唯一的．

(22)

成立， 则表明模型(1)的弱解是唯一的．

(23)

有唯一解． 再用这个解考虑下面的初边值问题：

(24)

(25)

由定理1可以求不等式(25)右侧式子的极限

(26)

(27)

在定理1中有定义． 由Gronwall不等式， 得到(22)式．