深度教学视角下高中数学思维能力的培养

胡兵

[摘  要] 以素养为核心的数学教学，对教师提出了更高的要求，为实现深度教学，切实培养学生的数学思维能力，教师需做好以下几方面：（1）注重概念教学，夯实思维根基;（2）建立知识体系，疏通思维脉络;（3）开展变式练习，提高思维深度;（4）渗透数学思想，提高思维高度.

[关键词] 深度教学;深度学习;思维能力

高中数学是一门具有高度抽象性、严谨性、完整性的学科.很多学生对于数学概念、数学思想方法等掌握不熟，容易对数学失去信心.面对这种不良的教学局面，教师需要及时改变教学策略，积极开展深度教学，引导学生进行深度学习，提高学生的思维能力.

深度教学不是指无限增加知识难度和知识量，不是对知识表层的学习，不是对知识的简单掌握和机械训练，而是基于知识的内在结构，通过对知识的完整处理，引导学生从符号学习走向学科思想和意义系统的理解与掌握，是对知识的深度学习.深度教学强调为理解而教、为理想而教、为意义而教、为发展而教 .在深度教学的视角下，数学思维能力的培养不可忽视.数学思维是指通过提出、分析、解决和推广数学问题等一系列工作，从而获得数学对象的本质和规律这一认知过程.思维能力是学生理解和应用数学知识的根本.当学生具备了数学运算、逻辑推理、空间想象等数学思维能力时，便能够对学科知识进行高效学习.

深度教学强调的是以学生为中心，促进学生掌握对于概念、定义、定理的探究能力，掌握以理解和领悟为核心的解决问题的思路和方法，提高学生的思维能力、创新能力、学习能力. 为此，教师要做到以下几方面.

注重概念教学，夯实思维根基

数学的概念、定义、定理等是数学大厦的根基，是知识发生的原点，是数学应用的基石. 对于数学概念教学，数学教师不应追求以合作探究、分组协作等形式进行教学，更不应以学生频频点头视为学生已理解并掌握，而应以学生的认知障碍、原有知识为基础，从数学概念的“本源”进行教学. 教师可将教材中的概念、定义的每一个关键要点分解为层次递进的小目标，让学生在体验数学知识的发展过程中，学会新的知识，掌握概念的核心本质，加深对概念的认识和理解.

在函数的概念教学中，学生容易对函数的概念感到困惑不解，故需要教师帮助学生细细分析函数的基本概念，将其细分成小目标：（1）连续型函数和离散型函数的判断;（2）什么是函数定义中的对应法则“f”;（3）如何在解析式、列表和图像中判断函数.

根据以上设想，教学时教师可以先提出问题1：

（2）求x=1，x=-1时对应的函数值y;（3）你能得到x和y的取值集合吗？

对于问题1的第（1）问，学生认为是函数关系，但对于函數的具体定义描述不清，经过师生合作探究，可以得到关系式是函数的判断依据中的一个要点，即对每一个自变量x，均有唯一的y与之对应. 对于问题1的第（2）问，学生能根据式子计算出对应的函数值y，于是借此可以向学生介绍自变量x经过计算得到y值的过程就是对应法则，让学生突破对应法则这个难点. 为厘清函数的概念，教师可进一步追问：

问题2：（1）y=x2+x+1，x∈{-1，0，1，2}是函数吗？

（2）已知某商场9月前9天销售的电脑台数如表1所示，y是x的函数吗？

基于问题2，学生判断时会产生犹豫，对于是否是函数没有把握.这是在具体的函数概念上的进一步抽象，教师需分析离散型函数与连续型函数的相同点，并让学生把握两点：函数是否是同一函数，仅看对应法则是不够的;函数的判断不一定需要有具体的解析式，通过列表也可以实现.学生认识函数的概念还需要继续激发认知冲突，可借此提出问题3：

（1）请问气温T是时间t的函数吗？

（2）你能在图中找到不同的t对应的相同的T吗？反之可以吗？

通过问题3的提出，教师帮助学生进一步完善了函数的概念，为抽象出一般函数的定义奠定了基础.对于函数的概念，由于其概念的抽象，故需要回归到学生思维发展的顺序，由函数解析式入手，重点介绍函数的对应法则、定义域和值域，通过列表法和图像法使学生能够从特殊到一般理解函数，进一步明确和掌握函数的基本概念.

教师只有从概念、定义、定理的要点出发，分析出其逻辑上的难点，才能设置合理有效的问题，让学生在不断探索、反思、总结中成长，使自身思维由感性走向理性.教师只有通过长期的熏陶，才能真正为学生构建数学核心概念、定义、定理奠定基础.

建立知识体系，疏通思维脉络？摇

高中数学课程具有整体性，每个知识点与其他知识点都有联系，但学生学习的知识点却较片面、零散. 因此，教师教学时需要跳出“题海”训练的思路，做到不仅会用教材，更会对教材进行改造和加工，同时要提高学生对教材的重视程度，从整体角度全面了解教材章节. 教师可以引导学生利用思维导图等工具建立知识体系、疏通思维脉络，切实提高学生的数学思维能力.

笔者复习“统计”的知识体系时，不是反复教学生已经知道或者片面的知识点，而是引导学生重新结合教材认识“统计”的作用. 经过师生的合作探究，教材中“统计”章节的编排意图徐徐展现在学生眼前：首先，通过学习总体和样本明确抽样的范围，并根据需要，通过随机抽样、系统抽样、分层抽样等方式进行合理抽样;接着，根据抽样的数目，对样本进行数据分析，采用的方法有茎叶图、频率分布直方图、条形图等，形成样本和总体的初步认识;最后，对抽样的数据进行检验，以线性回归为例进行合理假设，并评估假设检验的合理性. 通过思维导图等工具使学生真正了解“统计”章节的整体性，明确“统计”教学的“四步走”方式——提出问题、收集样本、数据分析、合理检验. 具体如图2所示.

开展变式练习，提高思维深度

教师讲授多种数学知识、各种解题方法，容易导致知识碎片化，不容易形成系统性，学生无法举一反三，掌握不了具有深刻思维的知识点. 教师需要在教学中以变式为驱动，引导学生探索某类问题的真谛，并借此引申至不同的方法，让所学的知识更加深刻且富有创造性. 笔者在变式教学中坚持回归题目本身，从精心选题开始，做到层次丰富，既有区别又有联系，串联起一系列数学思想方法，让学生真正体会到数学的美. 同样，笔者认为在变式教学中，应根据题目本身所具有的难度，设置不同层次的变式，引发学生思考. 例如，函数极值点和函数值常有相关性，时常让学生无法找到解题思路，而变式分层有助于学生认知逐步深入，提高分析能力. 笔者上复习课时，喜欢运用开放式习题进行复习，学生学完知识后，若以单个知识点进行零散复习，不仅不利于学生掌握学习数学的方法，更难培养学生独立创新、整合知识的能力.

例如，笔者在高三“导数极值和最值”的复习公开课中，设置了开放的探究题：已知函数f（x）=x-alnx，你能根据函数的性质从易到难提出2～3个问题并证明吗？

在课堂上，学生开始对于这类问题并不适应，但学生根据解题经验，还是很快掀起了探究盖头，学生提出了如下问题：

问题1：当a=1时，求函数f（x）的单调区间、极值、最值.

问题2：求函数f（x）在[1，e]上的单调区间、极值、最值.

开放式问题看起来和变式教学毫无关系，但本质却是一致的. 它是一个需要学生通过对函数的认识并结合实践，提出自己想法的过程. 只有真正的深度教学，才能在师生的互动交流中，将学生自身的学习感悟融入课堂教学，促进学生举一反三、触类旁通，真正达到培养学生思维能力的目的.

教师要引導学生多读教材，从教材的编排入手，启发学生思考教材中知识点设置的原因，通过思维导图等工具建立整个高中数学知识体系，加深对知识体系的认识，才能让学生厘清知识之间的联系，走出知识误区，真正学会将知识运用于实际生活，解决实际生活中的问题，疏通数学思维脉络.

渗透数学思想，提高思维高度

数学思想是对数学理论本质的认知，数学思想是思维能力的外在体现，只有当学生具备了一定的数学思想，才能进行深度学习. 数学思想是数学的灵魂，包含着让学生领悟并掌握数学基础知识、基本技能，学会用数学的眼光看待世界. 数学思想是学好数学的关键，但要让数学思想成为学生得心应手的工具可能比预想的要相差甚远，主要原因是数学思想是对数学知识内容在更高层面上的理解，是知识体系中蕴含的宝藏，需要挖掘和逐步推进. 教师在教学中，不能将数学思想和方法混为一谈，不能一味地强调应用，需要对数学思想有较为深刻的理解，进而将每种数学思想划分为几个层次，通过细化将其不断渗透，达到一叶成林的效果.

比如我们常提的数形结合思想，它是“数”与“形”的相互转化，如同事物的一体两面，是抽象的数学语言与图形语言的互化，是抽象思维与形象思维的交替变化，有助于学生把握数学本质. 数形结合思想在高中数学的函数、数列、立体几何、解析几何中被广泛应用，具有普遍性.

例如，在圆中应用数形结合思想时笔者将其分为三个层次：

层次1：给出具体的圆方程如x2+y2-2x+2y+1=0，能画出相应的圆，反之也一样.

层次3：能在跨区域的范围内找到隐藏的“圆”并应用. 如：（1）△ABC中，BC=2，AC=2AB，求△ABC面积的最大值;（2）已知过定点P（4，0）的直线与y2=4x相交于两点A，B，OD⊥AB，垂足D在线段AB上，求△OPD面积的最大值.

通过三个层次渗透数形结合思想，使学生对数形结合思想的形式、内涵有了进一步的了解，能真正运用其解决一类问题，使之达到核心所在.教学中，教师需要对数学思想进行合理分类，细分教学层次，根据需要不断进行渗透与整理，结合平时的有效训练，才能真正让学生感悟数学思想、运用数学思想，让数学思维能力得到极大提升.

深度教学能切实体现教学过程的价值，丰富学生的课程履历和学习过程，引导学生深度学习，提高学生的数学思维能力. 教师既要“负责任”，又要“讲科学”;既要帮助学生“得高分”，又要讲课“有味道”. 虽然有时这种深度教学不一定能马上见成效，但是教育本身就是细水长流、润物细无声的工作. 相信经过时间的沉淀，学生必将有更大的作为，取得更好的成绩，相信这样的深度教学也会赢得更多认可.