“分区”与“契合”思想求解半空间含凸起地形对SH波散射问题的研究进展

屈恩相，齐 辉，郭 晶，杨 杰，郑 易

(1.齐齐哈尔大学 建筑与土木工程学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006；2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001；3.上海电机学院 机械学院，上海 201306)

自然界中存在着不同种类的地形，地形对地面运动的影响是地震工程学中重要的研究课题。关于地形变化主要可以分为凸起和凹陷两种不同形式的地形，分析其地形的方法主要包括解析法和数值法两种。在解析法的应用上，科研人员常常采用波函数展开法、Green法、复变函数法、多极坐标法等研究凸起与凹陷相关地形对SH波的散射问题。对于含凸起地形问题的研究要比凹陷地形复杂的多，凸起地形的研究对于地震工程学来说具有重要的研究价值和意义。“分区”与“契合”的思想应用十分广泛，比如界面复合缺陷问题与其他缺陷相互作用[1-4]、等值线图的局部精确性评价[5]、地铁列车振动诱发的层状地基振动问题[6]、沉积盆地对地震波的散射问题[7]、SV波入射下隧道山体问题[8]、qP波入射横观各向同性场衬砌隧道问题[9]以及横观各向同性介质沉积谷地对平面qP和qSV波的散射问题[10]、任意多个凸起地形对平面P波的散射问题[11]、弹性半空间中半圆隧道对波场散射问题[12]、梯形凸起地形与浅埋夹杂之间的相互作用[13]以及半空间凸起地形缺陷[14-41]等方面都有应用。文中论述的半空间凸起地形缺陷主要包括圆弧形凸起、等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起等等或者是孔洞、衬砌、夹杂与凸起地形相互作用的组合缺陷形式，例如凸起与圆孔问题、凸起与“隐蔽地形”问题、凸起附近浅埋衬砌问题、凸起与浅埋裂纹问题、凸起与凹陷相连问题；求解的区域又可分为全空间、半空间及直角域等等，该类问题又可以与多种缺陷形式相结合；含多种缺陷组合而成的介质还可以分为均匀的、非均匀的、各向同性、各向异性，等等。

研究含凸起地形对SH波散射问题时，需要将求解区域进行分解。这将会导致需要对混合边值问题进行处理，使得该问题的解析解更为困难。应用“分区”与“契合”思想可以有效的避免混合边值问题带来的麻烦，“分区”的思想是用一种全新的方法对含凸起地形散射问题研究，将问题转化为满足公共边界“契合”的边值问题。

1 求解SH波入射纯凸起地形的散射问题

半空间的纯凸起地形问题可以分为圆弧形凸起、等腰三角形凸起等等，或者是凸起的组合缺陷形式。与凹陷问题相比含凸起地形问题的研究更为复杂，波函数展开法求解该类问题会涉及混合边值问题。

袁晓铭[14-15]等人通过引入辅助函数和Graf加法公式解决了圆弧形凸起所带来的混合边值问题的困难，得出小高宽比凸起地形对地面运动的放大和空间分布有影响的结论。崔志刚[16]等人使用“分区”与“契合”方法，求解了圆弧形凸起地形对SH波散射问题。理论模型如图1所示，地表S和界面C满足应力为零，其余边界应力任意。基本的求解思想如图2所示，将模型分成两个求解区域，即“分区”思想。区域I是包含弧形边界在内的C和C，区域Ⅱ是包含水平边界S和C挖掉余下的S所组成。“契合”思想是将边界S和C在公共边界满足位移连续和应力连续的条件。“分区”与“契合”思想有效地解决了圆弧形凸起的地形问题，将其转化为只需满足公共边界契合条件的问题。Zhang[17]利用“分区”与“契合”思想求解了弹性半空间中非均匀山丘对SH波散射问题。模型如图3所示，区域分解图如图4所示。模型分为两个区域。区域Θ是包括圆形山丘的圆形区域，其中上边界和下边界分别表示为L和L；区域D形成了其余的半空间。区域Θ和D的共同边界是L，水平边界用L表示。将复杂模型划分为两个完全独立的圆形区域和含有凹陷直边界区域，再结合两个区域间位移和应力的连续性可以推导出原模型的边界条件。曹欣荣[18]等人使用“分区”与“契合”思想，求解了任意形状凸起对SH波的散射问题。与崔志刚[16]不同的是使用保角映射思想将区域Ⅰ外域映射为单位圆域，引入了映射函数。该方法求解高宽比过小或者有尖角的凸起地形有限制，需要另寻其他路径解决。邱发强[19]等人使用“分区”与“契合”求解了等腰三角形凸起的理论模型如图5所示；运用“分区”的思想先将理论模型分成两个区域辅助问题，区域分割图如图6。区域Ⅰ是包含等腰三角形的夹杂凸起，区域Ⅱ是整个理论模型挖去区域Ⅰ余下的部分。理论模型边界地表S和界面C满足应力为零。区域Ⅰ在边界D构造驻波解，区域Ⅱ中D的总波场由入射波、反射波、散射波所构成。在公共边界进行契合，公共边界D和D位移和应力都连续。Lin[20]等人研究了斜三角形山丘地形对SH波的散射问题。带有斜三角山丘地形为区域Ⅰ，余下含有凹陷地形为区域Ⅱ。在区域Ⅰ中构造了一个驻波函数，该驻波函数在三角形楔块处满足零应力条件。在区域II中构造散射波函数，该散射波函数在水平面处满足零应力条件，在两个区域公共交界面满足位移和应力连续条件。杜永军[21]等人展开了对双等腰三角形凸起地形对SH波散射问题的研究，使用“分区”与“契合”思想求解了双等腰三角形凸起的理论模型；运用“分区”的思想先将理论模型分成三个区域辅助问题，两个带有半圆形弧线的等腰三角形夹杂凸起为区域Ⅰ和区域Ⅱ，余下含有两个半圆形凹陷的地形为区域Ⅲ。运用“契合”思想在公共边界进行契合装配，满足公共边界上位移和应力连续。杜永军[22]等人又进行了等腰三角形凸起地形与半圆形凹陷地形相互作用对SH波散射问题的研究。运用“分区”的思想先将理论模型分成三个区域辅助问题，半圆形弧线的等腰三角形夹杂凸起为区域Ⅰ，圆形夹杂为区域Ⅲ，余下含有两个半圆形凹陷的地形为区域Ⅱ。运用契合思想在公共边界进行契合装配，满足公共边界上位移和应力连续。

图1 圆弧形凸起地形模型

图2 区域分割图

图3 弹性半空间中非均匀山丘地形模型

图4 区域分割图

图5 等腰三角形凸起地形模型

图6 区域分割图

“分区”和“契合”关键思想在求解纯凸起类地形对SH波散射问题具有关键作用，首先将该类地形模型进行分区，分成若干个辅助问题，构造满足各个部分波场的条件。契合是将分成的若干区域在公共边界进行装配，分别满足应力和位移连续性条件。这样“分区”和“契合”思想有效的避免了求解混合边值问题的影响。

2 求解SH波入射凸起与凹陷地形的散射问题

凸起与凹陷地形相互作用在自然界广泛存在，在修建高铁时，通常会经过山峰与河谷相连的地形。凸起与凹陷地形主要包括圆形凸起与凹陷、三角形凸起与凹陷、凸起与沉积谷地等问题；“分区”与“契合”关键思想在求解SH波入射该类地形问题时也有应用。

吕晓棠[23]等人采用“分区”与“契合”方法求解了半圆形凸起与凹陷地形相连的地震动问题，理论模型如图7，区域分割图如图8所示。分区是将理论模型分解成两个区域问题，含有圆形夹杂为区域Ⅰ，余下含有两个凹陷地形为区域Ⅱ；地形边界中S、C、S2应力为零。区域Ⅰ需要构造满足上半圆形凸起应力为零，其余位移、应力为任意驻波。区域Ⅱ利用复变函数法、多极坐标法构造其相应的散射波、反射波和入射波场；契合思想是将公共边界S1上位移和应力连续进行装配。杨在林[24-26]等人对等腰三角形凸起、非等腰三角形凸起与半圆形凹陷地形相连问题进行研究，采用“分区”与“契合”关键思想进行处理。将三角形凸起夹杂地形分成两个辅助问题，区域Ⅰ和区域Ⅲ，余下含有半圆形凹陷地形为区域Ⅱ。水平边界S和斜边界C满足应力自由条件，“契合”思想表现在区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅲ和区域Ⅱ的公共边界D1和D3进行装配，满足位移连续、应力连续。带有半圆形沉积谷地地形也同样可以使用“分区”与“契合”思想，吕晓棠[27]等人研究了半圆形凸起与沉积谷地相连地形问题。理论模型如图9所示，区域分割图如图10所示。边界S和C满足应力自由，沉积谷地S2满足应力、位移连续条件。“分区”是将模型分成三个辅助问题，分别是区域Ⅰ、区域Ⅱ、区域Ⅲ，分别构造满足各自的波场。在公共边界进行契合，S1边界上满足圆形夹杂驻波与SH入射波、反射波以及S1和S2边界的散射波位移和应力连续。

图7 半圆形凸起和凹陷相互作用理论模型

图8 区域分割图

图9 半圆形凸起与半圆形沉积谷地相连地形模型

图10 区域分割图

对于沉积地形部分同样也满足契合条件。韩峰[28-29]等人研究了半圆柱形峡谷与三角形山丘相连地形及多个凸起与凹陷相连的地形问题。“分区”思想是将模型分解成两个求解区域。包含三角形山丘地形为区域为Ⅰ，余下带有半圆形凹陷地形为区域Ⅱ。使用复变函数法和多极坐标法构造区域Ⅰ、区域Ⅱ满足的边界条件。利用“契合”思想，在公共边界S1和S2进行装配，在公共边界上满足位移和应力连续条件。双等腰三角形凸起与半圆形凹陷地形模型如图11所示，区域分割图如12所示。“分区”思想是将模型分解成三个求解区域。双等腰三角形的求解区域为Ⅰ和Ⅲ，余下带有半圆形凹陷地形为区域Ⅱ。使用复变函数法和多极坐标法构造区域Ⅰ、区域Ⅱ、区域Ⅲ满足的边界条件。利“契合”思想，在公共边界S1和S3进行装配。

图11 双等腰三角形凸起与半圆形凹陷地形模型

图12 区域分割图

“分区”与“契合”关键思想在求解凸起与凹陷相连地形问题上有广泛应用，“分区”思想是将地形分成若干个凸起与凹陷的区域，分别构造满足各自的波场。“契合”思想将分成区域的若干公共边界进行装配，需要说明原模型中存在凹陷部分不需要进行装配，只需满足公共边界满足应力和位移连续性条件。

3 求解SH波入射孔洞、衬砌、夹杂、裂纹与凸起地形相互作用的散射问题

“分区”与“契合”思想在处理半圆形凸起与圆形孔洞问题、半圆形凸起与圆形衬砌问题、浅埋圆孔与多个半圆形凸起地形相互作用问题、孔洞与三角形凸起地形、多个浅埋圆形孔洞与多个含孔半圆形凸起地形上有关键作用。

李彤[30]等人对含圆形孔洞的半圆形凸起问题进行研究，理论模型如图13，区域分割图如14所示。半圆形孔洞问题与半圆形凸起不同，半圆形凸起是将区域分成圆形夹杂部分和半圆形凹陷部分。圆形空洞问题是分解成圆环部分和半圆形凹陷部分，所满足的边界条件有所不同。分区和契合作为关键思想求解该类问题，分区是将模型分解成两个区域，分别是有圆环的区域Ⅰ和有凹陷部分为区域Ⅱ。理论模型边界S和C满足应力为零，对于圆环区域的上部分C也应满足应力为零，其余边界应力任意。区域Ⅱ所构造的波场有入射波、反射波、散射波。在公共边界进行契合，问题转化为区域Ⅰ存在的驻波在公共边界与区域Ⅱ波场所满足的条件装配。李敏[31-33]在李彤[30]的基础上增加了单个圆形孔洞[31]、多个圆形孔洞[32]、多个圆孔的半圆形凸起与多个圆形孔洞[33]，同样采用了“分区”与“契合”的思想。分区是将模型分成两个区域，分别是含有圆环的区域Ⅰ和余下还有凹陷与圆形孔洞相互作用的区域Ⅱ。边界S、C以及圆孔满足应力为零，其余边界应力自由。在公共边界进行契合，满足位移连续和应力连续的条件。李敏[32-33]在研究中发现类似使用了“分区”与“契合”思想，两者分区中的区域Ⅰ都是圆环形，所不同的是区域Ⅱ波场的构造，包括多个孔洞相互作用，反射与散射波场要更为复杂，在公共边界契合时同样满足应力与位移连续性条件；另外，其在研究中还发现相同的是区域分割图中的区域Ⅱ，所不同的是区域Ⅰ，包含的是多个圆环形，需要构造每一个不同圆环所满足的波场。区域Ⅰ中每一个圆环都要在公共边界上进行装配，契合都应满足每一个公共边界部位的应力和位移连续的条件。

图13 含圆形孔洞的半圆形凸起模型

图14 区域分割图

刘殿魁[34]等人对半圆形凸起附近的浅埋圆孔问题进行研究，对于该类问题“分区”与“契合”方法有效地进行解决。理论模型如图15所示，区域分割图如图16所示。该地形分区成两个区域，圆形夹杂为区域Ⅰ，余下半圆形凹陷与附近圆形孔洞为区域Ⅱ。边界S和C边界条件应力为零，区域Ⅰ半圆形凸起地形上半部分应力为零而其余部分位移、应力均为任意驻波，区域Ⅱ中要考虑“公共边界”和地下孔洞所产生的散射波，并满足水平界面上应力为零的边界条件。该问题转为只需要满足“公共边界”上的“契合”条件和地下孔洞边界条件的边值问题。杜永军[35]等人在凸起的地形基础上增加圆形衬砌结构，进一步丰富了复杂缺陷形式存在对SH波散射的影响。地形模型如图17所示，区域分割图如图18所示。“分区”思想是将模型分成三个区域，分别是圆形夹杂区域Ⅰ、含有半圆形凹陷区域Ⅱ、圆形衬砌结构为区域Ⅲ。“契合”思想是将区域Ⅰ和区域Ⅱ在公共边界进行装配，满足位移和应力连续性条件。圆形衬砌结构与圆形夹杂、圆形孔洞问题的边界条件有所不同，即区域Ⅲ中T1和T2边界所满足的条件有所不同，T1边界既要满足位移连续又要满足应力连续，而T2边界只需要满足应力为零条件。刘刚[36]等人对等腰三角形凸起地形与圆孔作用进行研究，分区是将求解模型分割成两个区域，区域Ⅰ是由半圆形弧和等腰三角形组成，区域Ⅱ是其余部分。在区域Ⅰ中构造一个满足等腰三角形两斜边上应力自由的驻波函数，在区域Ⅱ中构造出半圆形凹陷和浅埋圆孔的散射波并满足水平界面上应力为零的边界条件。利用复平面下坐标移动，满足公共边界的位移和应力连续和浅埋孔洞内边界应力自由条件。

图15 半圆形凸起与圆孔相互作用地形模型

图16 区域分割图

图17 半圆形凸起与衬砌相互作用地形模型

图18 区域分割图

对于多个半圆形凸起与圆形孔洞相互作用问题，也可以采用“分区”与“契合”的思想进行处理。杜永军[37]等人使用“分区”与“契合”求解了多个凸起地形与浅埋孔洞相互作用的理论模型；运用“分区”的思想先将理论模型分成两个区域辅助问题。区域Ⅰ是包含多个圆形夹杂，区域Ⅱ是整个理论模型挖去区域Ⅰ余下的部分。Lv[38]在浅埋圆柱形弹性夹杂附近多个半圆形凸起地形上进行延伸，同样使用了“分区”和“契合”的思想。理论模型如图19所示，区域分割图如图20所示。“分区”是将模型分成区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ是包括多个圆形夹杂所组成、区域Ⅱ是余下部分。Lv[38]与杜永军[37]所不同的是区域Ⅱ中圆形孔洞与圆形夹杂满足的边界条件有所不同。圆形夹杂边界条件需要满足应力和位移连续性条件，而圆形孔洞满足应力自由。Lv[39]等人对半圆形山丘和半圆形峡谷对浅埋隧道影响的动力分析问题进行研究。该类问题理论模型如图21所示，运用“分区”和“契合”思想对二维平面模型进行分解如图22所示。“分区”是将模型分解成两个区域，分别是凸起地形为区域Ⅰ，余下部分为区域Ⅱ。运用“分区”与“契合”思想有效地避免求解混合边值问题，只要满足公共边界契合问题即可。Lv[40]对SH波作用下含裂纹与半圆形凸起地形的地震动问题进行研究。分区是将求解区域分成两个部分包括半圆形凸起在内的圆形区域为区域Ⅱ，余下部分为区域Ⅰ。契合是在两个区域的公共边界进行装配，满足位移和应力连续性条件。

图19 多个半圆形凸起与圆柱形弹性夹杂相互作用地形模型

图20 区域分割图

图21 半圆形山丘与峡谷相连附近浅埋隧道理论模型

图22 区域分割图

张海[41]等人结合“分区”和“契合”思想研究半圆形山岭衬砌隧道对SH波散射的影响，理论模型如图23所示。运用分区的方法将理论模型分成四个区域，分别如图24所示。第Ⅰ区域是由上部L和下部L组成的外边界与上部L1和下部L组成的内边界共同形成的圆环形Θ域；第Ⅱ区域是上部L1和下部L组成的外边界与由上部L2和下部L2组成的内边界共同形成的环形Ω域；第Ⅲ区域是上边界地表L3与所围成的半圆形Λ区域。第Ⅳ区域是余下的含有半空间凹陷的D区域。契合思想是将每个区域相连的公共部分进行装配，满足应力和位移连续。第Ⅰ区域与第Ⅱ区域的公共边界是L1和L1；第Ⅱ区域和第Ⅲ区域的公共边界是L；第Ⅳ区域和第Ⅰ区域的公共边界是。边界L、Г、L2、L3应力为零。“分区”和“契合”的思想有效地求解了该类复杂多区域的地形问题。从外至内依次分解，然后在公共边界部分组装。

图23 凸起地形中半圆形衬砌隧道理论模型

图24 区域分割图

结语

本文对半空间凸起类地形问题进行分析，论述了“分区”与“契合”关键思想求解该类问题的应用性研究。该种方法是先分后合的处理办法，分是将问题模型分成多干个问题求解区域，然后分别处理每一个辅助问题所满足的条件；合则是将拆分的求解区域在公共边界进行组装，分别满足相应的连续性条件。通过研究“分区”与“契合”思想可以对半空间含凸起类问题进行求解，有效地解决了不同缺陷组合的混合边值问题，还可以进一步的丰富和推广到复杂地形、任意形状或者是不规则的特殊地形问题。