由一道三角函数求值题引发的思考

雍虎虎

三角函数中的求值问题一般难度不大。解答此类问题，通常需灵活運用三角函数中的基本公式：诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，使目标式与已知条件、特殊角的三角函数值靠拢，从而求得三角函数式的值.那么，如何合理运用各种公式？如何进行三角恒等变换呢？下面结合一道例题，谈一谈求三角函数值的方法和思路.

题目：已知sinβ+cosβ=1/5，β∈（0，π），求tanβ的值.

题目中给出的条件虽然较为简单，但其中出现了三种函数名称.要求得tanβ的值，关键是转化三角函数的名称.笔者从不同的角度进行探讨，寻找到以下几种不同的解题思路.

思路一：运用方程思想

思路二：比值换元

由同角得三角函数满足“商数关系”，即tanx=sinx/cosx，所以当问题中涉及同角的正、余弦函数式或正切函数式时，可考虑采用比值换元的技巧来解题.将比值用参数替换，并把目标式用参数表示出来，便可将问题转化为关于参数的方程或者函数问题来求解.

根据同角三角函数的商数关系tanx=sinx/cosx，引人参数t，通过比值换元，成功达到了“减元”的目的.再根据题设条件求出t的值，即可求得tanβ的值.

解答该题，需通过均值换元，将问题转化为求关于x的二次方程的根.在解题的过程中要关注方程“根”的取舍问题.

三角函数中的求值问题对同学们的运算能力与分析推理能力有较高的要求，因此在解题时，同学们要学会将方程、三角函数知识串联起来，充分利用方程思想、数形结合思想、函数思想来辅助解题.同时，要注意各个公式的应用条件、适用范围以及定义域，这样才能正确、快捷地求得问题的答案.