中考数学应用题的类型与解题策略探寻

福建古田县玉田中学（352200） 余 杰

应用题是中考数学的必考题型，主要考查考生的阅读理解能力、分析问题与解决问题的能力。解答应用题必须先读懂题意，再建模，进而解决问题。应用题有哪些基本类型呢？我们应该采取何种解题策略呢？

一、方程（组）与不等式（组）模型

方程（组）和不等式（组）是初中数学的核心内容，其不仅是中考核心考点，而且也是解决代数、几何及实际问题的重要工具。在中考中，这类问题主要涉及工程问题、行程问题、打折促销问题、增长率问题等。

［例1］振华中学初一（3）班去某一农业生态园参加社会实践活动，该生态园有块空地种植苹果和橘子两种水果，活动结束后，吴斌编写了一道数学题：在某一生态园中，经营者是甲、乙两户果农，其种植面积与卖水果总收入见下表。（假设不同种植户种植的同种水果每亩产值相等）

（1）苹果与橘子的每亩收入分别是多少？

（2）甲、乙两户果农计划合租30 亩农田来种植苹果与橘子。经过市场调查，要求苹果的种植面积大于橘子的种植面积（两种水果的种植面积都是整数亩）。当地政府对种植苹果的果农给予补贴，种植苹果的面积不超过15 亩的部分，每亩补贴100元；超过15 亩但不超过20 亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元。为了让总收入不低于127 500元，他们应如何确定方案？

分析：（1）设苹果每亩的平均收入为x元，橘子每亩的平均收入为y元，

（2）设种植苹果m亩，那么种植橘子(30-m)亩，于是m＞30-m，即m＞15。

当15 ＜m≤20时，他们的总收入为

w=4 000m+4 500×(30-m)+15×100+(m-15)×200 ≥127 500，解得15 ＜m≤20。

当m＞20时，他们的总收入为

w=4 000m+4500 ×(30-m)+15 × 100+5 ×200+(m-20) × 300 ≥127 500。

由此解得m≤20，不合题意。

综上所述，种植方案如下：

点评：这类问题一般有两问，第一问只需根据题意列出方程或方程组，然后解方程即可得到答案，而第二问一般与不等式有关，建立不等式后还要注意自变量的取值范围。这类问题一般出现在方案设计和最优方案选择型的问题中，难度一般。

二、函数、方程与不等式模型

函数、方程和不等式在数学中是密不可分的。在函数类应用题中，通常考查函数、方程和不等式的综合应用。对于这类应用题，一般可先建立方程或不等式，再建立函数关系，最后确立自变量的取值范围。建立方程或不等式是解决这类应用题的基础，而确定自变量的范围则是解题的关键。

［例2］有一种成本价为50 元的商品在一大型商场试销，规定在试销期间单价不低于成本价，且利润不得高于40%。在销售几天后有人发现，这种商品的销售量y与销售单价x之间存在着一次函数关系（如图1所示）。

图1

（1）请求出销售量y（个）关于销售单价x（元）的解析式。

（2）如果该商场销售这种商品的利润是Q元，那么利润Q（元）与销售单价x（元）之间有怎样的关系？试用函数式表达；当x为何值时，该商场获利最大？最大利润是多少？

（3）如果该商场试销该商品所获利润不低于600元，请求出销售单价x的取值范围。

故所求函数的解析式是y=-x+120。

（2）由题意知，利润Q与销售单价x的函数解析式为Q=(x-50)(-x+120)=-x2+170x-6 000，

Q=-x2+170x-6 000=-(x-85)2+1 225。

因为a=-1 ＜0，故对称轴左边的y的值随着x值的增大而增大，所以x=70 时，这个商店获利最大，获得的最大利润是Q=1 000元。

（3）由题意知，Q=-(x-85)2+1 225 ≥600，解得60 ≤x≤110。

点评：本题虽然考查知识点较多，但解决问题的重点还是在于根据题意列式。

三、函数模型

函数模型主要包括一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型。利用函数模型可以解决许多问题，如最值问题、决策问题等。函数类应用题的解题应明确两点：一是如何建模，二是如何根据自变量的实际意义和函数的性质做出正确决策。

［例3］人民商场为某残疾人福利厂代销一种新产品，当该新产品每件售价定为260 元时，每月销售了45 件。该商场为了获得更高的利润，计划以降价形式搞促销。商场领导走访市场并分析发现：月销售量与售价成一次函数关系，且满足下表所示的对应关系。综合考虑各种因素，每售出一件新产品，共需支付厂家及其他费用100 元。设当每件定价为x元时，该商场的月利润为y元。

（1）当每件定价为220 元时，试计算此时的月销售量；

（2）请求出y与x之间的函数表达式；

（3）人民商场要获取最大月利润，新产品的单价应定为多少？

（4）王湾说：“如果月商场利润最大，那么月销售额也最大。”这种说法正确吗？请说出你的观点。

分析：（1）月销售量与售价成一次函数关系，设销售量为p=kx+b，将（250，52.5）和（240，60）代入，就可算得k=-0.75，b=240，所以p=-0.75x+240。于是当x=220 时，p=-0.75 × 220+240=75，所以当每件售价是220元时，此时的月销售量为75件。

（2）由题 意得y=(x-100)(-0.75x+240)，即+315x-24 000。

（3）y=-+315x-24 000=(x-210)2+9 075。

因为x＞100，所以该店要获得的月利润最大，该新产品的单价应定价为210元。

（4）王湾说得不正确。原因是当月利润最大时，x等于210 元，而对于月销售额W=x[45+（260-x)÷10×7.5]=-(x-160)2+19 200 来说，因为x＞100，所以当x等于160元时，月销售额W最大。因为当x等于210元时，月销售额W不是最大，所以王湾的说法不正确。

点评：本题考查一次函数与二次函数的实际应用。确立函数关系式一般有两种方法，一种是待定系数法，如第（1）问；另一种是直接根据题意写出函数关系式，如第（2）问。对于最值问题，建立二次函数模型后，可利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围来求。

四、直角三角形模型

对于生活中的一些测量问题，一般可通过建立直角三角形模型来求解，在求解过程中经常会用到几何知识，如三角形全等、三角形相似等。

（一）仰角俯角问题

仰角俯角主要在测量大型建筑物的高度时应用，因为大型建筑物的顶部一般不易到达，但是在地面某个位置可以看到它，利用测角仪测出此时的仰角，以及它与建筑物的水平距离，就可以求得它的高度，这里一般应用正切函数。无论是仰角还是俯角，都是指视线与水平线的夹角。

［例4］如图2，一旗杆EF位于楼AB与楼CD之间，从AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼CD的底部D点，且俯角为45°，从楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，若楼AB高为20米，请求出旗杆EF的高度。（≈1.73，计算结果精确到1米）

图2

分析：过点G作GP⊥CD于点P，与EF相交于点H。设EF=x米，则依据题意可知，FH=GB=1 米，EH=EF-FH=（x-1)米。又因为∠BAD=∠ADB=45°，所以FD=EF=x米，AB=BD=20 米，在Rt△GEH中，∠EGH=30°，于是tan ∠EGH=即解得x=≈8 米。故旗杆EF的高度大约是8米。

点评：在这类问题中，往往图中没有出现直角三角形，这时应先考虑添加辅助线，作有关线段的垂线，将斜三角形问题转化为直角三角形问题。解答这类问题一般用到勾股定理、三角函数的定义以及平面几何的相关知识。

（二）坡度坡角问题

斜坡有一定的倾斜度，这个倾斜度就叫作坡度。如何从数值区分两个坡面的倾斜度呢？我们用坡面的铅直高度与水平宽度的比，作为坡面的坡度，同时把坡面与水平面的夹角，叫作坡角。斜坡的坡面距离是可以测量的，但是求小山的铅直高度需要用到坡角，或者当已知斜坡的坡度时，也可以算出坡角，从而算出其他相关的量。

［例5］2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务。受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动。如图3，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行350 米到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600 米到达C处，求小山的高度CD及该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1 米）。（参考数据：sin22° ≈0.37，cos22° ≈0.93，sin53° ≈0.8，cos53° ≈0.6）

图3

分析：如图4 所示，过点B作CD的垂线BE，作AD的垂线BH，垂足分别是点E、H，根据三个角是直角的四边形是矩形，得四边形BEDH是矩形，所以DE=BH，BE=DH，在直角△BCE中，BC=600米，∠CBE=22°，根据正弦定义，得CE=BC·sin22° ≈600 × 0.37=222（米），根据余弦定义得BE=BC·cos22° ≈600 × 0.93=558（米），所 以DH=BE=558（米）。

图4

因为AB=350米，所以在Rt△ABH中，∠BAH=53°，由正弦定义得BH=AB·sin53°≈350×0.8=280（米），由余弦定义，得AH=AB·cos53°≈350×0.6=210（米），所以CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502（米），AD=AH+DH=210+558=768（米）。

点评：本题相当于把四边形ABCD切分为一个矩形和两个直角三角形，然后分别解两个直角三角形。在每个直角三角形中，利用正弦或余弦定义，求得对应线段的长，从而求得总长度。

从以上的实例分析可以看出，解应用题，首先应找准数学模型，建立数学模型，解出有关数据，再将其还原成实际问题，最后得出结论，回答问题。