二次函数常见中考题型及解题策略研究

云南昆明理工大学附属中学（650000） 白 玫

在初中，二次函数的概念主要是用变量来定义的，而在高中，二次函数的概念是用映射来定义的，这样安排符合学生的认知特点。对初中生来说，仅记住二次函数的概念是不够的，如果不能深刻理解，学习它的图像和性质就有困难。因此，我们要根据学生的认知状况选择教学策略，帮助学生总结和解决问题，提高学生分析和解决问题的能力，从而实现知识的正向迁移。

一、二次函数压轴题呈现

［例1］（2020年昆明市中考数学压轴题）如图1，两条抛物线y1=-x2+4，y2=-+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点。（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；

图1

（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD。

分析：（1）可先求出A点的坐标（-2，0），再求出y2的对称轴-=-2，然后代入一元二次函数y2=+bx+c，求出y2的解析式，将y1与y2联立，求出点B坐标。（2）可以通过已知条件先将S△BCD表示出来，再通过点C和点D的横坐标一样，求出点C与点D间的距离d，过点B作CD的垂线，交点为E，求出BE的距离，由S△BCD=CD·BE即可求出S△BCD。

解答：（1）当y1=0时，即-x2+4=0，解得x=±2，

∵点A在x轴的负半轴上，∴A（-2，0），

∵y2=-+bx+c的最高点为A（-2，0），

∴抛物线y2的解析式为y2=-

解得x1=3，x2=-2（舍去），∴当x=3 时，y=-32+4=-5，

∴B(3,-5)。

（2）如图2，设点C(m,-m2+4)，则点

图2

∵点C是抛物线y1上A，B之间的一点，

∴-2 ＜m＜3，

过点B作BE⊥CD，垂足为E，

［例2］如图3，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点。

图3

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积。

分析：（1）由题意可知三个坐标点，分别设一次函数的解析式为y1=ax+b和二次函数的解析式为y2=ax²+bx+c，然后将坐标点代入解析式中，即可得到二次函数的解析式和一次函数的解析式。（2）过P点作垂直于x轴的直线，交x轴于点E，交直线BC于点F，S△PCB=S△PFC+S△PFB=PF·OB，所以只需要求出PF，就可以求得S△PCB，设点F的坐标为（t,t-4），PF等于一次函数和二次函数之间的距离，求出t的取值就可以求出面积和坐标。

解答：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得解得可得抛物线的解析式为y=x2-3x-4。

（2）点P在抛物线上，可设P(t,t2-3t-4)，作PE∥y轴交x轴于点E，交直线BC于点F，如图4，B(4,0)，C(0,-4)，直线BC的解析式为y=x-4，F(t,t-4)，PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t，S△PBC=S△PFC+PF·(OE+BE)=(-t2+4t) × 4=-2(t-2)2+8，当t=2 时，S△PBC的最大值为8，此时t2-3t-4=-6，当点P的坐标为（2，-6）时，△PBC的最大面积为8。

图4

［例3］如图5，已知抛物线y=ax2+c过点（-2，2），（4，5），过定点F(0,2)的直线l：y=kx+2 与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C。

图5

（1）求抛物线的解析式；

（2）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由。

分析：（1）将（-2，2），（4，5）两点坐标代入抛物线y=ax2+c，可求出抛物线的解析式。

（2）由条件k=1，可以知道一次函数的解析式，联立二次函数解析式，可以知道点A和点B的坐标。为了求证在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大，我们要先设点Q和点E的坐标。设点Q的坐标（t,+1），过点Q作x轴的垂线，交AB于点E，点E和点Q的横坐标一样,S△QFB=S△QFE+S△QEB=QE·OC，QE就是x=t时，一次函数和二次函数之间纵坐标之间的距离，求出t的取值，即可求出坐标和面积。

解答：（1）把点（-2，2），（4，5）代入y=ax2+c得

所以抛物线解析式为y=

图6

［例4］已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx的图像经过点A(-1,4)，交x轴于点B(a,0)。

（1）求a与b的值；

（2）如图7，点M为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABM面积的最大值及此时点M的坐标。

图7

分析：（1）已知点A和点B的坐标，将点A坐标代入二次函数解析式y=x2+bx求出b的值，再将点B坐标代入求出来的二次函数解析式中可求出a。

（2）设点M的坐标为(x,x2-3x)，作MG∥y轴交AB于点G，而点G的坐标就是(x,-x+3)，又因为点M和点G的横坐标一样，点M位于点G的下方，所以直线MG的距离可用点G的纵坐标减去点M的纵坐标，即(-x+3)-(x2-3x)，化简后便可以得到此函数为一个开口向上的二次函数，因此在二次函数的对称轴上值最大，那么A，B，M，G四点的坐标便都可以得到，从而可根据S△ABM=S△AMG+S△BMG计算出S△ABM的面积。

解答：（1）把A(-1,4)代入y=x2+bx得 到4=1-b，b=-3，y=x2-3x；因为B(a,0)在函数图像上，所以将B(a,0)代入y=x2-3x得a2-3a=0，求得a=3或a=0（舍弃），即a=3。

（2）如图8，作MG∥y轴交AB于点G。

图8

设直线AB的解析式为y=kx+b，把(-1,4)，（3,0) 代入得解得由此可得y=-x+3。设M(x,x2-3x)，则G(x,-x+3)，S△ABM=S△AMG+S△BMG=× 4 ×[(-x+3)-(x2-3x)]=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，当x=1 时，△ABM的面积最大，最大值为8，此时M(1,-2)。

二、二次函数压轴题解答的一般过程

解决问题分为三步：认真审视问题、探索解决问题的思路、正确解决问题。首先仔细阅读题目的意思，其次在理解问题意思的基础上，判断给定的问题属于哪一类型，最后利用常见的相关策略来解决问题。

（一）熟悉题目，理解问题情境

二次函数压轴题一般由平面直角坐标系下的文本和图形组成。因此，熟悉问题，了解问题的含义是解决问题的第一步。要掌握问题中的关键信息，剔除问题给出的干扰信息，分析问题的有用条件，确定问题的本质。

（二）确定问题类型，找出解题思路

根据问题的性质，判断该问题属于哪种类型，判断是否与某种类型一致，若一致，从中推导出共性问题的解决思路，为下一步解题提供明确的方向。

（三）将知识整合，求解答案

方向明确后，需要搜索出问题中涉及的所有知识点，根据之前的解决思路，整合知识，逐步探索问题的答案，判断答案的合理性，进一步解决问题。

三、二次函数压轴题教学的启示

（一）培养学生灵活运用知识的能力

初中学生的知识要靠实践来巩固，因此，可让学生反复练习相关的考试题，使学生能灵活运用相关知识解决问题。

（二）注重对知识的整理和归纳

教师要把解题过程中的知识点全部整理出来，总结所有知识点的共同点，加强学生对每个知识点的掌握，以便他们能灵活应用知识解决问题。

（三）注重学生数学运算能力的培养

数学运算能力是学生学习数学的基础，在二次函数压轴题的教学中，要重视培养学生的数学运算能力。通过分析，发现一些学生在解题过程中，虽然方法是正确的，但常因为计算能力弱导致计算出错而失分。因此，在教学中教师要加强计算训练，培养学生的运算能力，尽量让学生正确、快速地计算，并形成检查的习惯。

（四）注重渗透数学思想

数学思想可以理解为对数学科学研究及其本质规律的理解和认识。在解题中，通常会应用多种数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。在教学中，教师应有目的地渗透各种数学思想，通过反思和总结，引导学生厘清这些数学思想并学会灵活应用。

在新课标理念下，研究二次函数压轴题的解题策略可以改善学生的学习习惯和思维方式，在一定程度上有效地改变教学方法，真正实现课程的教学目标。因此，中考前，教师要让学生深入了解中考命题和数学课程改革的发展趋势，使他们有足够的信心去面对考试，同时要合理安排数学教学，锻炼学生的实践能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力。