基于贝叶斯理论的钢筋再生混凝土梁受剪承载力预测模型

脱 俗，余 勇，陈文广，郭雄伟，王忠东，徐金俊

(1.东莞职业技术学院 商贸学院，广东 东莞 523808；2.东莞理工学院 生态环境与建筑工程学院，广东 东莞 523808；3.南京工业大学 土木工程学院，江苏 南京 211816；4.中建七局(上海)有限公司，上海 201800)

进入新世纪后，我国建筑业的发展面临着诸多困难.一方面，建筑产业快速增长，使得其对自然资源的需求日益增加，据统计截至2020年底全国砂石消耗量已增至每年178.3亿t[1]；另一方面，新、扩建及拆除活动也产生了巨量建筑垃圾，达28.0亿t/a[2].在此背景之下，再生混凝土因能同时缓解资源短缺与环境保护难题，吸引了土木工程领域研究及设计人员的广泛关注.

与天然骨料相比，再生骨料拥有许多独特属性[3]：(1) 骨料表面总是粘附一层薄弱砂浆；(2) 颗粒内部常包含一类独特的旧骨料—旧砂浆结合界面；(3) 由于多级破碎，老砂浆内富含破碎裂隙；(4) 骨料来源区别巨大.上述差异的存在，致使再生骨料及其拌和而成的再生混凝土材料性能发生了明显变化.同济大学肖建庄教授团队的研究结果表明，天然骨料的吸水率、颗粒密度及压碎指标常在1.0%、2 600 kg/m3和9.6%附近，而再生骨料的相同物理性能指标，常在5%～15%、2 300～2 500 kg/m3及13.5%～20%区间浮动，后者颗粒品质明显改变、离散变异性更强[4].葡萄牙学者Brito的试验也发现，相比于同配合比的天然骨料混凝土，粗骨料取代率为100%时，再生混凝土的抗压强度、弹性模量和劈拉强度分别平均下降了13.5%、27.5%和19.5%，而氯离子扩散系数及收缩系数则相应增加了22.0%和39.8%[5-7]，这些结果都预示着再生混凝土的力学及耐久性能发生了一定退化.当然，再生骨料的使用，也偶尔会提升混凝土的一部分品质.吴波等学者的近期试验结果表明，掺入再生骨料，会使得混凝土制品的高温爆裂频次显著降低，其主要是因为再生骨料上粘附着砂浆，使得高温蒸汽的疏散通道增多，混凝土内部蒸汽压力有效减小[8].

本文在此聚焦于钢筋再生混凝土梁的抗剪能力.众所周知，传统钢筋混凝土构件在受到外部剪力作用时，其抗力主要由压区混凝土的拱效应、已开裂混凝土的牵引力、粗骨料咬合作用、纵筋销栓作用及箍筋抗力五部分贡献[9].但因传力机理过于复杂及抗剪试验结果离散性较大等原因，钢筋普通混凝土构件的受剪承载力计算理论至今尚未被准确建立[10].再生粗骨料的掺入，无疑进一步复杂化了这类构件的抗剪失效机理，这是因为：(1) 再生骨料产地高度随机，颗粒表面粘附着大量砂浆，导致混凝土拉、压力学性能及弯剪斜裂缝上骨料咬合作用均发生明显改变；(2) 现存研究结果表明，再生混凝土与钢筋的粘结能力已发生了改变，由此可推断纵筋销栓作用和箍筋抗力也可能产生一定变动.然而，现存多数研究在预测钢筋再生混凝土梁的受剪承载力时，仍使用传统钢筋混凝土梁的计算式，仅简单采用一定系数折减混凝土的力学性能指标，用以“确保”构件受力安全.由此可见，钢筋再生混凝土梁的抗剪承载力计算模型研究尚待进一步加强.

为此，本文尝试采用贝叶斯理论及其推断建立此类问题的精准计算式.贝叶斯理论的实质在于用样本信息更新先验经检，进而得到信息的后验分布[11].贝叶斯理论及其推断在土木工程领域已有了一些尝试，并取得了丰硕成果，如利用其解决混凝土耐久性[12]、结构抗震性能[13]与FRP约束混凝土极限压应变[14]问题.同样地，将钢筋再生混凝土的抗剪承载力预测科学问题与贝叶斯理论结合，采用已有模型和广泛收集的试验数据作为先验信息，对模型进行基于贝叶斯理论的更新修正，以此得到后验分布，其可解决现有模型预测准确度不高的问题.

1 贝叶斯理论及其统计推断

1.1 贝叶斯定理

古典概率理论中，对连续型随机变量θ与x，依乘法法则可导出.

f(θ,x)=f(θ|x)f(x)=f(x|θ)f(θ)

(1)

式中：f(θ,x)称为联合概率密度；f(θ|x)与f(x|θ)为条件概率密度；f(θ)及f(x)称为边缘概率密度.对式(1)进行变形可得

(2)

上式即为贝叶斯概率理论的奠基公式—贝叶斯定理.在贝叶斯定理中，等式右侧的f(θ)称为随机变量θ的先验分布，f(x|θ)为似然函数，等式左侧的f(θ|x)则代表着在知道一定信息x过后变量θ的更新后验分布.

真实观察试验中，先验信息y可能在不同时刻被收集.为此，可进一步导出经不同时刻信息序列{x(k)}修正过后，随机变量θ的后验分布f(θ|x(k))为

(3)

通过式(3)可知，贝叶斯理论通过对参数θ进行估计，进而更新先验信息与修正先验模型.

1.2 贝叶斯概率模型

国内外当前已有较多学者提出了钢筋普通混凝土梁的受剪承载力计算模型[15].这些模型均可采纳为再生混凝土无腹筋梁受剪承载力预测的贝叶斯修正先验模型.后期经过完善建立(即开展观察试验)试验数据库，并修正这些现存先验模型，进而发展起来预测精度较高的后验模型.这一过程通常可用下述数学公式表达.

V(x,Θ)=Vc(x)+γ(x,θ)+σε

(4)

式中：x代表控制着普通混凝土无腹筋梁受剪承载力的关键变量向量；Θ=(θ,σ)为经贝叶斯方法估计得到的模型控制变量，其中θ=[θ1,θ2, …,θp]T代表着对x的修正系数；σ为修正模型存在的误差；Vc代表着现有无箍筋钢筋普通混凝土梁受剪承载力计算公式；γ(x,θ)为偏差校正项；ε为随机变量.需强调的是，为使贝叶斯概率模型适合于已有试验结果，应对式(4)的右侧变量选取做一定限制：(a)V(x,Θ)的自变量应是误差σ；(b) 误差σ必须与变量x相互独立；(c)ε需服从标准正态分布.

为简化计算，实际操作中偏差校正项γ(x,θ)常用p个初等函数的线性组合近似表示[14]，即

(5)

式中：gk(x)是由控制混凝土无腹筋梁受剪承载力的关键因素经简单组合得到的一些基本函数.

由贝叶斯定理得知，后验分布f(θ|x)(或f(Θ|x))的建立关键，在于确定先验信息f(θ)(或f(Θ))及似然函数f(x|θ)(或f(x|Θ)).贝叶斯概率模型中一般假定变量(θ,x)的无信息先验分布服从如下均匀分布[14].

f(θ)∝1,θ∈φ

(6)

f(x)=1/x,x>0

(7)

则似然函数f(x|θ)可表达为[14]

(8)

式中：φ(·)为正态分布函数；ψ(·)为正态分布的概率密度函数；Vi为抗剪承载力试验值；Vc(xi)为抗剪承载力模型预测值.

1.3 贝叶斯参数剔除

为使计算值与试验值偏差较小，应剔除对整体预测结果影响不显著的gk(x).由公式(4)和(5)可知

V-Vc(x)=γ(x,θ)+σε=
θ1g1(x)+θ2g2(x)+…+θkgk(x)+σε

(9)

令W=V-Vd，可得

W=g(x)θ+σε

(10)

式中：

W=[W1,W2,…,Wn]T

(11)

(12)

θ=[θ1,θ2,…,θp]T

(13)

σ=[σ1,σ2,…，σn]T

(14)

ε=[ε1,ε2,…，εn]T

(15)

式(11)～(15)中：n为样本数.

(16)

由公式(6)和(7)又可知

(17)

将式(16)和(17)代入贝叶斯定理，可得

(18)

对等式两侧θ同时积分，可得到标准差σ的后验边缘分布[14]为

(19)

方差σ2的后验边缘分布密度函数为

(20)

在概率论中，逆Gamma分布的定义为[14]

(21)

(22)

由此，可通过分析方差σ2的变化趋势来判断修正项对再生混凝土无腹筋梁抗剪承载力的决定程度，进而剔除对整体预测结果影响不显著的gk(x)，达到参数剔除目的.

2 试验数据库建立、贝叶斯计算分析

2.1 试验数据库的建立

当前，已有一些学者意识到了钢筋再生混凝土梁在剪力作用时受荷机理可能发生了变化，为此开展了一系列试验探究[15].本文作者在此整理汇编这些宝贵试验，并初步形成了一个再生混凝土无腹筋梁受剪承载力试验数据库.相关信息见表1.

表1 再生混凝土无腹筋抗剪试验数据库汇总Tab.1 Test database for steel bar reinforced RAC beams without stirrups under shear loading

从表1中容易看出，各试验梁的参数基本涵盖以下信息：混凝土圆柱体抗压强度(fc)；粗骨料最大粒径(smax)；再生骨料取代率(r)；梁高(h)；剪跨比(a/d)；纵筋配筋率(ρs)；纵筋抗拉强度(fy)及梁抗剪强度(vu=Vu/bd, 其中Vu、b和d分别为梁极限抗剪承载力、截面宽度和有效高度).需特别指出的是，表1数据库形成过程中采用了如下筛选原则：

质疑与建构：著作权法创作激励目的之二重奏............................................................................................司 明 02.77

(1) 所有梁在弯曲荷载作用时，必须表现出十分明显的剪切破坏特征，梁受荷方式必须为三点或四点集中加载.与此同时，梁剪跨比需小于5，因为文献[37]的研究结果曾表明剪跨比太大的梁常发生弯曲破坏；

(2) 浇筑所用混凝土必须完整给定水灰比、再生骨料取代率及粗骨料粒径等信息；

(3) 钢筋再生混凝土梁在制作过程仅使用了再生粗骨料，细骨料仍为天然砂；

(4) 完整给定了混凝土和纵筋等的强度信息.当浇筑或试验条件不满足上述要求时，梁会被人为剔除.

经筛选后，表1最终包含了206根再生混凝土无腹筋梁.所有梁的抗压强度、剪跨比及纵筋配筋率均值分别为32.7 MPa、2.71和1.81%，均在工程运用正常范围内.

2.2 贝叶斯先验模型的选定

如前文所述，目前大部分研究在预估再生混凝土无腹筋梁抗剪强度时，一般沿袭套用传统钢筋混凝土梁的半经验半理论公式.在这些经典理论中，一般并不独立剥离压区混凝土拱效应、已开裂混凝土牵引力、粗骨料咬合作用及纵筋销栓作用的抗剪贡献.以欧洲混凝土模式规范为例，其无箍筋受弯构件抗剪强度公式源于简化修正压力场理论[37]，即

(23)

式中：考虑了参数β影响的粗骨料颗粒尺寸、截面高度及加载剪跨比等因素对梁抗剪承载力的影响.

表2列举了本文收集的8个主流无腹筋受弯构件抗剪强度预测公式.结合表1的试验数据库，可计算得到各式在预测钢筋再生混凝土梁抗剪强度时的精度.此处采用均方根误差RMSE和置信指数CI作为误差评判标准.

(24)

(25)

式(24)～(25)中：n为试验样本数；T为试验实测值；C为模型计算值；CI较传统相关系数R2更适合作为误差评判指标的原因是其对预测结果与试验结果之间差异更敏感[14].CI的取值范围一般为(-∞, 1)，当其值接近1时，表明模型预测准确度更高.

表2最后两列展示了运用上述8个公式预测再生混凝土无腹筋梁抗剪强度的计算结果.结合各模型相互之间比较可发现：(1) 现有的钢筋混凝土梁抗剪强度公式并未考虑压区混凝土拱效应、已开裂混凝土牵引力、粗骨料咬合作用及纵筋销栓作用四方面贡献，模型都具有一定的局限性；(2) 总体来讲，学者Zsutty、Zhang及ACI318-2014规范所建议的抗剪强度计算式具有较高预测精度，其余模型的RMSE值一般偏大，CI指标也偏离1.0较远.

基于上述计算结果，并考虑到学者Bentz[37]在预测普通混凝土无腹筋梁受剪承载力时曾指出Zsutty模型拥有较高精度、学者Bazant[45]报道ACI模型虽然基于经验回归但能较好描述剪跨比和尺寸效应等重要因素作用，本文在此选定Zsutty及ACI318-2014公式为贝叶斯修正的先验模型(Zhang所建议公式精度较ACI318-2014稍高，但形式较为复杂).

2.3 gk(x)选取

从表2所列公式容易发现，以往学者普遍认为参数fc、smax、a/d、ρs及h显著影响着无箍筋钢筋混凝土梁的抗剪承载能力.基于此事实，并结合再生骨料特性，本文在此选取g1(x)=ln(e)为修正常数项，g2(x)～g8(x)分别为ln(er)、ln(fc)、ln(smax)、ln(a/d)、ln(d)、ln(1+ρsfy)和ln(fy/fc)，来保证贝叶斯概率模型的可靠性及全面性.

由式(4)和(5)可得如下再生混凝土无腹筋梁抗剪承载力计算式(注：为简化最终计算模型的数学形式，对v和vd进行了对数化处理)，即

(26)

结合前述假定gk(x)函数，可利用贝叶斯定理对再生混凝土无腹筋梁抗剪承载能力先验模型进行修正，计算结果列于表3.由该表可知，g2(x)项的变异系数最大，而g1(y)项的变异系数最小.

表2 再生混凝土无腹筋梁抗剪强度预测模型归纳Tab.2 Calculation models for predicting shear strength of steel bar reinforced RAC beams without stirrups

表3 gk(x)计算结果的统计Tab.3 Statistics for the calculation results of gk(x)

2.4 贝叶斯参数剔除及公式简化

如前所述，分别选定学者Zsutty及ACI318-2014规范所建议公式作为式(26)的先验模型Vc，代入gk(x)后，一般可通过分析方差σ2的变化趋势，来剔除对整体预测精度影响不显著的gk(x)及其对应的θk：当σ2变化微小时，说明该gk(x)及其对应的θk对整体预测影响不显著，应予以剔除，并重复上述步骤；当σ2变化明显时，说明该gk(x)及对应的θk对整体预测影响显著，应停止参数剔除过程.

表4详细展示了以Zsutty模型和ACI318-2014规范为先验模型、g1(x)～g8(x)为预估控制变量的贝叶斯修正计算全过程.通过系列参数剔除后，可最终得到如下再生混凝土无腹筋梁的抗剪强度计算后验计算式，即修正的Zsutty模型及ACI318-2014规范模型为

表4 参数剔除过程Tab.4 Parameter removal process

ln[v/vc,Zsutty]=4.012-0.470ln(fc)+
0.643ln(smax)-0.353ln(d)-0.815ln(fy/fc)

(27)

ln[v/vc,ACI]=1.095-0.239ln(fc)+
0.665ln(smax)-0.115ln(d)-0.540ln(fy/fc)

(28)

从上述两式可发现，经贝叶斯统计推断过后，所得预测公式仍不显示包含粗骨料取代率，这说明造成本文收集的再生混凝土无腹筋梁抗剪强度预测偏差较大的主要原因是传统的钢筋再生骨料混凝土梁的抗剪计算模型并未被准确建立.

3 试验验证与讨论

图1给出了再生混凝土无腹筋梁抗剪强度的试验值与Zsutty模型、ACI318-2014规范模型及各自贝叶斯修正后验模型计算值的比较.以图1(a)为例，在Zsutty先验模型中，Vtest/Vcal的平均值和变异系数分别为1.264和0.441，经贝叶斯统计修正后的Zsutty后验模型的Vtest/Vcal平均值和变异系数变化为1.058和0.353.显而易见，贝叶斯修正模型具有更高的计算精度及稳定性.

图1 模型预测精度对比Fig.1 Comparison of model accuracy predictive

综上所述可知，相比于已有的经验模型，基于贝叶斯概率理论修正的模型计算值更接近试验实测值，偏差和随机性都会显著减小，这体现了贝叶斯统计推断在模型修正过程中的合理性与科学性.

4 结论

(1) 本文从既有文献中整理收集了206组再生混凝土无腹筋梁在弯曲荷载作用下的抗剪承载力试验结果，据此建立起了较为完备的试验数据库.在此基础上，对比分析了现有的8个再生混凝土无腹筋梁抗剪承载力计算模型在运用至再生混凝土时的预测效果，发现这些模型的预测精度普遍较差、通用性并不高，因此很有必要发展更为合理的预测模型.综合考虑，最终选定学者Zsutty及ACI318-2014规范所提出的两个经验模型为贝叶斯更新修正对象;

(2) 基于丰富的试验数据库和已选定的经验模型，采用贝叶斯理论对先验信息进行统计评判，进而构建起再生混凝土无腹筋梁的抗剪承载力计算概率模型.随后开展未知参数的筛选剔除，最终通过引入混凝土抗压强度、界面有效高度、钢筋抗拉强度与混凝土抗压强度之比、粗骨料取代率等参数，建立起了贝叶斯修正后验模型;

(3) 结合206组实测数据，对贝叶斯修正后验模型进行评价可发现：后验模型较先验模型在预测准度和精度上更具优势，表明此类计算方法可以较好地应用于钢筋再生混凝土构件的抗剪性能评估.