基于神经网络算法的发射场坪承载能力预测方法

励明君， 姜毅， 马立琦， 潘霄

(北京理工大学 宇航学院， 北京 100081)

0 引言

导弹机动发射可以在不同阵地之间快速机动，且转移路线灵活多变，是未来陆基导弹武器的重点发展方向之一。为保证导弹发射的安全性，同时提高战时快速机动和快速响应能力，在发射前对场坪的承载能力进行快速预测，确保发射场坪在发射阶段能够提供稳定持续的支撑能力，具有重要的战略意义。

发射过程中，支腿在起竖和发射阶段对发射场坪均有不可忽视的冲击效应。国内外学者对此进行了广泛研究。姚晓光等基于转动运动函数和转动微分方程，建立了起竖机构在导弹起竖过程中的力学模型并通过仿真分析进行了验证。周晓和等以导弹发射场坪为研究对象，建立了其塑性损伤动态本构，发现在导弹发射阶段场坪于发射筒底部处有沉降最大响应；Ren等使用Drucker-Prager/Creep蠕变模型对混凝土发射场坪进行弹塑性分析，结果表明场坪在发射载荷作用中心点具有最大位移响应。发射场坪是包含面层、基层、底基层和土基层的复杂层状体系，结构层的厚度、弹性模量、泊松比和材料的种类、温度、含水量等均成为影响发射场坪承载能力的重要因素。程洪杰等提出了一种发射场坪承载强度的判断方法，以支腿对地最大载荷状态作为强度评估的重要依据，并在发射场坪承载力计算模式的基础上分析了内聚力、内摩擦角、覆层厚度等多种影响因素的敏感性。袁成林围绕某型冷发射装备，对多种典型公路结构进行归纳分析，构建发射场坪动力学模型，研究了对路面动力学响应特性影响较大的影响因子的发展规律。

目前，发射场坪的动力学响应研究方法主要为显示动态计算。然而，战时状态下，发射场坪的选择具有随机性和未知性，相关结构参数以及特种车辆在不同状态下的对地载荷难以预测。同时，发射场坪的仿真模型建模难度大，耗费时间长。因此，在满足精度和可靠性的前提下，为保证发射方式的快速响应和快速反击能力，有必要在发射前对场坪的支撑强度进行快速准确预测，缩短准备时间。当前，深度学习技术飞速发展，被应用在不同领域，有效解决了许多难题。国内外学者利用机器学习技术建立了近似模型，重点关注对已知发射场坪承载能力的影响因素进行敏感度评估，但是在对未知参数的发射场坪承载能力预测方面存在一定的局限性。

本文引入发射场坪参数敏感度对拉丁超立方试验设计方法进行优化，构建更好地描述样本特征的数据集，节省计算资源；使用3种不同的神经网络回归预测算法，分别按照图1所示流程图建立发射场坪承载能力预测近似模型，并通过误差分析、方差分析和残差分析分别对比讨论了近似模型在起竖和发射载荷下的优劣；提出一种根据含未知结构参数的发射场坪在起竖载荷下的动力学响应，预测该场坪在发射载荷下承载能力的预测算法，并对预测算法在测试数据集的表现进行分析，验证了其有效性。

图1 近似模型建立过程流程Fig.1 Flow chart of establishing an approximate model

1 发射场坪承载特性近似模型

以典型刚性混凝土发射场坪为研究对象，将其看作从上至下依次由面层、基层、底基层和土基组成的层状体系并进行一定简化。假设各层结构均完整、均匀、连续，考虑面层混凝土损伤塑性模型和土基的破坏模型；各结构层之间完全连续。将圆形支腿以及发射筒底座均看作刚体，对场坪的载荷假定为圆形均匀垂直分布。本文重点关注场坪在起竖和发射载荷下的法向位移，典型场坪结构及相关材料如图2所示。图2中，为坐标原点，为典型场坪结构切面的极坐标系，、、分别为混凝土面层、基层和底基层的厚度，、、、分别为混凝土面层、基层、底基层、土基层的弹性模量，、、、分别为混凝土面层、基层、底基层、土基层的泊松比，()为作用在场坪表面的圆形均布载荷。

图2 典型场坪结构示意图Fig.2 Structural diagram of typical launching site

1.1 优化拉丁超立方采样

近似模型的训练数据特征参数包括面层厚度和弹性模量、基层厚度和弹性模量、底基层弹性模量、土基弹性模量等。根据现有的研究结果可知，不同结构参数对场坪承载能力的影响敏感度不同，相同结构参数在不同取值范围内敏感度也各异。其中，面层厚度和土基弹性模量的影响最大，总体趋势为取值越小，敏感度越小。拉丁超立方采样方法根据样本个数将累计概率分布曲线均匀分层，每层随机抽取一个值作为样本，抽样不替换，导致当采样点个数相同时，在敏感度小的参数取值区间内描述性好，而在敏感度大的参数取值区间内描述性差。因此对上述采样方法进行优化，对参数所在值域区间的敏感度曲线()，从取值下限到取值上限进行积分，积分值记为，如(1)式：

(1)

设样本分层层数为，对任意分层区间[,+1]，=1,2,…,,使其满足

(2)

事实上，=，=，利用牛顿- 莱布尼茨公式对(=2,3,…,-1)依次求解，即可得到考虑参数敏感度的非均匀分层区间，并在区间内随机抽取一个样本。此优化方法使分层在敏感度大的区域密集，在敏感度小的区域稀疏。图3为考虑某参数敏感度曲线的分层策略示意图。

图3 考虑参数敏感度分层Fig.3 Stratification considering parameter sensitivity

以面层厚度和土基弹性模量为例，假设面层厚度和土基弹性模量的取值区间均为[0 MPa，150 MPa]，样本数量为30，分别使用经典拉丁超立方试验方法和优化拉丁超立方试验方法进行采样，结果如图4、图5所示。从图4、图5中可以看出，经典拉丁超立方采样点具有更优的均匀性，但基于参数敏感度曲线的优化拉丁超立方采样在面层厚度和土基弹性模量较小的区域内采样更为密集，能够更好地描述输入数据在特征空间的分布。

图4 经典拉丁超立方采样示意图Fig.4 Classical Latin hypercube sampling

图5 优化拉丁超立方采样示意图Fig.5 Optimized Latin hypercube sampling

1.2 有限元数值模型

分别建立发射场坪在起竖和发射载荷下的有限元模型，并根据优化拉丁超立方采样结果进行参数化计算。

1.2.1 匀速起竖过程场坪受力曲线

根据文献[11]，起竖油缸对发射筒的推力仅与发射箱的起竖规律()有关。本文以匀速起竖为例，计算得到无量纲化前、后支腿对场坪表面的支承力随起竖角度的变化曲线，如图6所示。

图6 前、后支腿对地支承力随起竖角度变化曲线Fig.6 Curves of the supporting forces of front and rear supporting plates changing with the hoisting angle

1.2.2 发射过程场坪受力曲线

本文重点关注发射状态时，发射筒底座处场坪的最大弯沉值，忽略支腿与发射筒底部之间的相互影响。

图7为某弹射装置对发射场坪的冲击力变化示意图。图7中为发射时间，为冲击力，为冲击力在发射过程中的最大值。

图7 某发射装置的冲击力曲线Fig.7 Impact force curve of ejection device

1.2.3 场坪有限元数值模型

以某典型场坪为研究对象，考虑沥青混凝土的材料非线性，引入塑性损伤模型，其膨胀角为30°，偏心率为0.1，并采用基于高斯积分方法的经典损伤理论法求解混凝土受压和受拉损伤因子，在无可靠试验验证的情况下，该求解方法是可用于计算的。同时考虑土基的Drucker Prager破坏模型，内摩擦角为25°，膨胀角为20°，屈服应力比为0.95。其余各层材料以线弹性本构关系处理，建立发射场坪的有限元仿真模型。在建模过程中，忽略温度、含水量和结构孔隙对材料特性的影响；相邻结构层之间完全接触，力学特性连续；距离载荷作用中心足够远处的应力为0 MPa，应变均0；考虑场坪各结构层的初始地应力，忽略加载时前后支腿与发射筒底座的相互影响。仿真计算的初始时刻，场坪处于考虑自重的应力平衡状态。

建模过程中发射车支腿对地载荷为半径0.5 m的圆形载荷，发射筒底座对地载荷为半径0.9 m的圆形载荷，场坪尺寸为12 m×12 m×18 m。为减少计算量，考虑到发射场坪结构和激励载荷均为轴对称，建立场坪的四分之一有限元仿真模型。模型的约束为：对称面约束法向平移运动及绕轴、轴的转动，对称面约束法向平移运动及绕轴、轴的转动，其余两个侧面设置自由约束，土基底面设置固定端约束。场坪有限元仿真模型如图8所示。

图8 发射场坪有限元仿真模型Fig.8 Finite element simulation model of launching site

1.2.4 神经网络算法近似模型

采用3种不同的神经网络算法模型，分别是线性多元回归模型、反向传播(BP)神经网络模型和径向基函数(RBF)神经网络模型，将场坪结构参数取样结果作为特征输入，以场坪在对应载荷下的最大弯沉值为输出，基于样本集的迭代计算得到各模型的回归系数或连接权值等参数，最终建立发射场坪承载能力快速评估的近似模型。

1.2.5 线性多元回归模型

本文在研究过程中发现，部分参数如面层厚度、基层厚度等对场坪弯沉值的影响趋于线性规律。假定特征参数的影响程度相互独立，考虑利用线性多元回归模型。

线性多元回归模型中预测变量与特征参数之间的函数关系为

=++…++…++

(3)

式中：为样本总量；为预测变量；为样本真实值；为偏回归系数；为误差项。本文中由场坪各结构层参数和对应的场坪下沉量最大值组成样本空间，通过最小二乘法进行参数估计，得到和的具体值，建立场坪承载能力的线性多元回归模型。

126 BP神经网络模型

BP神经网络模型包含输入层、中间隐含层和输出层。图9给出了一个由个输入神经元、个输出神经元以及个隐层神经元组成的多层前馈网络结构拓扑图。设为第个样本的真实输出值，给定训练集={(,),(,),…,(,)},∈，∈，即输入参数由个属性描述，输出维实值向量。隐含层包含个神经元，为第(=1,2,…,)个输入层神经元和第(=1,2,…,)个隐含层神经元之间的连接权值，为第个隐含层神经元与第(=1,2,…,)个输出层神经元之间的连接权值，为第个隐含层神经元的输出值。模型训练前对连接权值进行随机初始化，在迭代过程中采用广义的感知学习规则对参数在每一轮中进行更新估计。任意参数的更新估计式为

←+Δ

(4)

图9 BP神经网络结构拓扑图Fig.9 Topology graph of back propagation neural networks

(5)

通过误差Δ的反向传播，根据(4)式对权值及阈值参数进行迭代。Δ与学习率、激活函数的性质以及上一轮迭代的均方误差有关。

本文建立了含3层隐含层的BP神经网络近似模型，神经元个数分别为20、40和30。学习率的初始值设定为0001，采用ReLU激活函数。Adam算法的参数设置：=09,=0999,=10，其中，为一次估计指数衰减率，为二次估计指数衰减率，参数防止算法运行过程中出现0。

127 RBF神经网络模型

RBF神经网络是一种单隐层前馈神经网络。当隐层神经元足够多时，RBF神经网络能以任意精度逼近任意连续函数。它的隐层神经元激活函数为沿径向对称的标量函数，即RBF。输出层是对隐层神经元的线性组合。设输入为维向量，输出为实值，则RBF神经网络可表示为

(6)

式中：为隐层神经元个数；和分别为第个隐层神经元对应的中心和权重；(,)为样本到数据中心之间欧氏距离的单调函数。本文所用的高斯RBF函数如(7)式所示，算法内核类型为RBF。

(,)=e-‖-‖

(7)

128 发射场坪近似模型的建立

根据图1，将场坪每个结构层的厚度、弹性模量和泊松比均作为输入参数，根据表1中各参数的取值范围及敏感度曲线，应用优化拉丁超立方试验设计方法采样，随机设定220种场坪结构。通过有限元仿真计算，得到对应工况载荷作用中心处的最大弯沉值，与场坪结构层的的力学参数共同构建训练数据集。利用上述3种回归算法进行迭代优化，建立发射场坪承载特性近似模型，预测某未知场坪在相应载荷下的最大弯沉值。

表1 特征参数及变量范围Tab.1 Feature parameters and variable scope

2 预测算法有效性分析

在学习回归模型前，需要对训练集数据通过(8)式进行归一化预处理。

(8)

式中：和分别为训练集中参数的最大值和最小值。

2.1 起竖载荷下预测算法的有效性

采用优化拉丁超立方试验设计方法，在表2所示取值区间内随机抽样，构建起竖载荷下场坪承载能力近似模型的220个数据集，样本空间如表2所示，其中包括训练集和测试集，测试集随机抽取17个样本且不参与训练过程。

表2 起竖载荷下近似模型样本空间Tab.2 Sample space table of approximate model undererection load

采用1.3节中的3种神经网络模型分别得到测试集输入条件下场坪弯沉量的预测值，与有限元仿真值进行对比分析。通过数据对比可以得到：线性多元回归模型预测结果的误差大部分集中在10%～20%之间，最大误差36.85%，最小误差0.63%；BP神经网络模型预测结果的最大误差为33.4%，最小误差2.29%；RBF神经网络模型预测结果的误差大部分在10%以内，最大误差28.8%，最小误差0.16%。

(9)

式中：为真实值离均差平方和；为预测值离均差平方和；表征近似模型的拟合精确度，取值范围为(0,1)，其值越接近1，表明近似模型的预测值准确度越高。

图10、图11、图12分别为起竖载荷下3种预测模型对测试集的预测结果与相应的有限元算法仿真值的方差分析对比图。纵向对比发现，RBF神经网络模型的值最大(0.941)，模型精度最高。线性多元回归模型和BP神经网络模型分别为0.748和0.762，模型精度不理想。BP神经网络模型预测结果较差的原因可能是样本数量不足，难以充分发挥多隐层神经网络算法的潜力。

图10 线性多元回归模型方差分析(R2=0.748)Fig.10 Variance analysis of linear multiple regression model(R2=0.748)

图11 BP神经网络模型方差分析(R2=0.762)Fig.11 Variance analysis of BP neural networks model (R2=0.762)

图12 RBF神经网络模型方差分析(R2=0.941)Fig.12 Variance analysis of RBF neural networks model (R2=0.941)

图13、图14、图15分别为3种预测模型对测试集的预测结果与相应的有限元仿真值的残差分析图。对比发现3种模型预测结果的残差都在0.1 mm范围内。RBF神经网络模型的残差值普遍较另外两种模型小，最大仅为0.059 9 mm。

图13 线性多元回归模型残差分析Fig.13 Residual analysis of linear multiple regression model

图14 BP神经网络模型残差分析Fig.14 Residual analysis of BP neural networks model

图15 RBF神经网络模型残差分析Fig.15 Residual analysis of RBF neural networks model

上述3种预测模型的单个工况平均计算时间分别为3.1 s、2.0 s和40.6 s。RBF神经网络结构较为复杂，因此计算时间相对于前二者更长。然而，起竖载荷下单次有限元仿真计算所需平均时长约为44.2 min。采用神经网络预测模型耗费的计算时长和资源大大减少。

综合上述分析结果可知，当样本数有限时，RBF神经网络模型对场坪在起竖载荷下的弯沉值预测具有最优能力，可以在一定程度上代替有限元仿真方法进行工程化应用。

2.2 发射载荷下预测算法的有效性

同样采用优化拉丁超立方试验设计方法，在取值区间内随机抽样构建发射载荷下场坪承载能力近似模型的样本空间，如表3所示。

表3 发射载荷下近似模型样本空间Tab.3 Sample space table of approximate modelunder launch load

将样本空间数据集划分为训练集和测试集，测试集包含14个样本。分别使用线性多元回归模型、BP神经网络模型和RBF神经网络模型对训练集进行机器学习后，得到测试集的预测结果。对预测结果和有限元仿真结果进行误差分析，可以发现：线性多元回归模型的预测值最大误差38.76%，最小误差1.75%；当场坪承载能力较强、弯沉幅度较小时，预测误差在10%以内，近似模型表现良好；对于弯沉值大于25 mm的场坪结构，预测性能比较不理想；BP神经网络模型预测结果最大误差46.66%，最小误差4.13%；对弯沉值超过25 mm的场坪结构同样具有不可预测性，在低强度场坪的平均误差较高，可能是由于BP神经网络模型在迭代过程中参数较多，需要具有数量庞大的样本集才能保证足够的精确度，否则会造成欠拟合现象；RBF神经网络模型最大误差13.55，最小误差0.37%，在全值域空间内误差普遍偏小，具有良好的回归预测性能。

图16、图17、图18分别为发射载荷下3种模型对场坪弯沉的预测值与有限元仿真值的方差分析图。纵向对比可以发现：RBF神经网络模型的值最大(0.983)，表明线性回归拟合度高，方差小，精度高，近似模型的可靠性强；相比之下，线性多元回归模型和BP神经网络模型值分别为0.633和0.775，结果拟合度不理想，分析其原因可能是对弱强度场坪的预测性能较差，导致误差较大。

图16 线性多元回归模型方差分析(R2=0.633)Fig.16 Variance analysis of linear multiple regression model (R2=0.633)

图17 BP神经网络模型方差分析(R2=0.775)Fig.17 Variance analysis of BP neural networks model(R2=0.775)

图18 RBF神经网络模型方差分析(R2=0.983)Fig.18 Variance analysis of RBF neural networks model (R2=0.983)

图19、图20、图21分别为不同近似模型下场坪弯沉值的预测值与仿真值的残差分析图。纵向对比可以看出：线性多元回归模型和BP神经网络模型的残差范围大部分都在±4 mm以内，但有部分较大异常值，使得预测结果偶尔会出现较大误差；RBF神经网络模型的残差均在±1.5 mm范围内，预测性能明显优于前二者。

图19 线性多元回归模型残差分析Fig.19 Residual analysis of linear multiple regression model

图20 BP神经网络模型残差分析Fig.20 Residual analysis of BP neural networks model

图21 RBF神经网络模型残差分析Fig.21 Residual analysis of RBF neural networks model

在发射载荷下，3种预测模型的单个工况平均计算时间分别为2.8 s、2.1 s和39.8 s，单次有限元仿真所需时间为3.5 h。由此可见，预测模型计算时长远小于有限元方法，RBF神经网络算法预测模型既能满足实时性要求，又满足精确度要求。

综合上述分析，在发射载荷下，RBF神经网络算法模型对场坪可能的弯沉值同样具有最优的预测能力。基于RBF神经网络算法建立的近似模型可靠性强、可信度好，且可实现载荷已知情况下的实时预测，能够极大地减少发射前选择合适场坪的准备时间，具有重要的实用价值。

2.3 含未知结构参数的场坪承载能力预测算法

在对发射场坪进行选择时，面层厚度、弹性模量和泊松比相对可控，通过查阅施工资料可以确定取值范围。然而，对场坪承载能力影响较大的土基弹性模量受含水量等因素影响，变化幅度较大，难以测量。因此，基于本文前述计算结果，考虑图22所示的层级网络结构，以土基弹性模量未知、其他参数已知的发射场坪为研究对象，通过该场坪在起竖载荷下的动力学响应，反算该处场坪的土基弹性模量，并将计算结果与其他已知结构参数构成该处场坪的特征参数空间，从而对其在发射载荷下的可能弯沉值进行预测。

图22 未知场坪承载能力快速预测的层级网络结构Fig.22 Hierarchical network structure for rapid evaluation of bearing capacity of unknown launching site

对计算结果进行误差分析，预测结果与仿真结果的平均误差为10.46%。图23为某未知发射场坪弯沉的预测值与有限元仿真值结果对比，结合图24的残差分析发现，对于土基弹性模量未知的发射场坪，此预测算法在一定误差范围内是有效的：对于承载强度较小的场坪，预测能力较弱，但预测值普遍大于有限元仿真值，仍具有一定的参考意义；对于承载能力较强的发射场坪，预测值与仿真值的残差在±2 mm以内，预测能力表现较好，准确度较高。应用上述算法预测模型，能够充分发挥发射快速性和随机性的优势，具有实际参考价值。

图23 未知场坪承载能力预测算法方差分析Fig.23 Variance analysis of bearing capacity of unknown launching site by evaluation algorithm

图24 未知场坪承载能力预测算法残差分析Fig.24 Residual analysis of bearing capacity of unknown launching site by evaluation algorithm

3 结论

针对无依托发射场坪承载能力的快速预测问题，本文基于线性多元回归算法、BP神经网络算法和RBF神经网络算法建立了不同的近似模型。通过选取土基弹性模量和面层厚度两个参数进行可视化校验，证明优化拉丁超立方采样方法是可行并有效的。通过对比分析研究，完成了对发射载荷下未知场坪承载能力的预测。得到以下主要结论：

1)在起竖载荷下，线性多元回归模型和BP神经网络模型预测结果的方差较大，尤其对于支撑强度较大的场坪样本预测能力差距更为明显。而基于RBF神经网络建立的近似模型具有最优性能，平均误差在10%以内，最大残差0.059 9 mm，值为0.941，拟合度较高。

2)在发射载荷下，线性多元回归模型、BP神经网络模型和RBF神经网络模型的残差范围分别在±4 mm、±4 mm和±1.5 mm。前二者在承载能力较强的场坪样本中预测性能较好，但对承载能力较弱的场坪几乎不可用。RBF神经网络模型在全样本集中表现优异，值为0.983，可以替代有限元仿真方法进行实战化部署应用。

3)在实际发射过程中，无依托发射场坪的土基弹性模量受环境因素影响较难测得。本文创新点在于采用预测性能最优的RBF神经网络算法，通过场坪在发射装置起竖过程中的动力学响应，预测该场坪在发射载荷下的可能弯沉值。结果表明，该方法对承载力较强的场坪在发射载荷下弯沉值的预测结果残差在±2 mm以内，具备充分的可信度，能够用于导弹发射过程中场坪的快速选定决策。