巧设物理情境推导公式

陈锦华

摘   要：设置恰当的物理情境，运用初等数学推导简谐运动和单摆的周期公式以及正弦交流电的有效值和平均值.通过推导过程的教学，填补高中物理教材的不足，达到对教材内容进行二次开发及补充的目的。

关键词：简谐运动和单摆;周期公式;正弦交流电;有效值;平均值

在大学物理教材中，单摆的周期公式和正弦交流电的有效值分别用高等数学的微分方程和微积分推导，而在高中物理教材中是直接给出结果，并没有具体的推导过程，使得学生对该结果及其物理意义的理解比较肤浅。其实教学中，只要设置恰当的物理情境，运用初等数学知识，也可以推导出上述的两个结果，并且还可以推导出简谐运动的周期公式和正弦交流电的平均值。

1  推导简谐运动和单摆的周期公式

1.1  推导简谐运动的周期公式

物理情境1：如图1，在光滑水平桌面上的O点固定一枚钉子，把劲度系数为k、原长为零的弹簧一端套在钉上，另一端系一个质量为m的小球。把弹簧拉长后，使小球在桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动[ 1 ]。

上述物理情境把弹簧的原长理想化（设为零），但胡克定律仍适用于弹簧。以O点为位移起点，则小球的位移为r，弹簧的伸长量也为r。小球受到的向心力等于弹簧弹力F，根据匀速圆周运动的规律可知

F=-mω2r                     （1）

根据胡克定律可知

F=-kr                        （2）

（1）、（2）式中的负号表示F与r方向相反。

小球做匀速圆周运动的周期

T=                       （3）

由（1）、（2）、（3）三式可得

T=2π                 （4）

取O点到小球初始位置的方向为x轴的正方向，小球从初始位置开始做匀速圆周运动转过角度θ时，小球的位移r和受到的弹簧弹力F在x轴上的分量分别如图2的rx和图3的Fx所示，由图2和图3可得

rx=rcosθ                        （5）

Fx=Fcosθ                       （6）

由（2）、（5）、（6）三式可得

Fx=-krx                          （7）

由（7）式可知，小球在x軸上的分力Fx和分位移rx满足简谐运动的受力特征，故小球在r轴上的分运动为简谐运动，分力Fx作为分运动（即简谐运动）的回复力。根据分运动与实际运动的等时性原理可知，小球在x轴上的分运动（即简谐运动）与小球实际运动（即匀速圆周运动）的周期相同，所以简谐运动的周期公式与（4）式相同。

1.2  推导单摆的周期公式

由于单摆在摆角很小时是做简谐运动[ 2 ]，其回复力F=x，其中的即为（4）式的k，将k=代入（4）式可得，单摆的周期公式为T=2π。

通过上述推导过程，不仅可以加深学生对简谐运动和单摆周期公式的理解，还可以让学生认识到匀速圆周运动和简谐运动之间的联系，培养学生知识迁移解决物理问题的能力。

2  推导正弦交流电的有效值和平均值

2.1  推导正弦交流电的有效值

物理情境2：设有两个阻值都为R的电阻，分别通过电流i1和i2，i1和i2的瞬时值分别为

i1=Imsinωt                   （8）

i2=Imcosωt                   （9）

上述物理情境中，i1和i2在一个周期内的i-t图像分别如图（4）和图（5）所示。有多种方法可以证明i1和i2的有效值相等，其中学生比较容易理解的证明方法是：图4的i1在时间0到T/4、T/4到T/2、T/2到T三个阶段的i-t图线，分别与图5的i2在时间到T、0到T/4、T/4到三个阶段的i-t图线相同，所以i1和i2在上述三个对应阶段产生的热量分别相等，故在一个周期内，i1和i2产生的热量也相等。根据交流电有效值的定义可知，i1和i2的有效值I相等。

由（8）、（9）两式可知，i1和i2的瞬时功率分别为

P1=i12R=Im2Rsin2ωt，

P2=i22R=Im2Rcos2ωt。

由以上两式可知，i1和i2的瞬时功率之和为0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C

P1+P2=Im2R（sin2ωt+cos2ωt）=Im2R        （10）

由（10）式可知，i1、i2的瞬时功率之和等于定值Im2R，则i1、i2功率之和的平均值也等于Im2R，故i1和i2在一个周期内产生的总热量

Q=Im2RT                                   （11）

根据交流电有效值的定义可知， i1和i2在一個周期内产生的总热量为

Q=2×I2RT                                   （12）

由（11）、（12）两式可得，正弦交流电的电流有效值I=。同理可得：U=，E=。

2.2  推导正弦交流电的平均值

物理情境3：如图6，单匝线圈的面积为S，总电阻为R，在磁感应强度为B的匀强磁场中，以角速度ω匀速转动，转动的初始时刻线圈平面与B垂直。

对于物理情境3，根据正弦交流电产生的知识可知，线圈上产生正弦交流电，其电流的瞬时值i=Imsinθ，其中Im=，θ为线圈从初始时刻开始转过的角度。

线圈从开始到转过角度θ的过程，电流平均值为

====     （13）

将Im=代入（13）式，可得正弦交流电的电流平均值

=                                      （14）

同理可得

=                             （15）

=                              （16）

由以上三式可知，正弦交流电的平均值会随角度（或时间）的变化而变化。

正弦交流电的有效值和平均值是学生容易混淆的两个概念，通过推导正弦交流电的有效值和平均值，可以加深学生对有效值和平均值物理意义的理解，明确有效值和平均值的区别与联系。

新课标的教学理念认为，教材只是最基本、最重要的课程资源之一，教材与师生应该形成一个相互影响、相互丰富、相互补充的系统。普通高中课程标准教材除了具有时代性、基础性和选择性外，还具有一定的开放性，教材没有必要也不可能把所有的问题都讲清。本文的推导过程是基于教材内容和学生现有知识的实际情况，对教材内容进行二次开发及补充，这样可以丰富教学内容，加深学生对物理概念和规律的理解，培养学生知识迁移解决物理问题的能力，提高教学质量。

参考文献：

[1]缪庚平.巧用物理知识 求解摆线弧长[J].物理教师，2006，27（8）：4.

[2]缪庚平.牛顿第一定律教学中的三个疑惑[J].中学物理教与学，2009（8）：24-25.0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C