基于重叠函数的模糊粗糙集及其应用

文小凤，张小红*，王敬前，雷 涛

(1 陕西科技大学 数学与数据科学学院，陕西 西安 710021;2 陕西科技大学 电子信息与人工智能学院，陕西 西安 710021)

模糊集和粗糙集理论都是处理不确定、不完备信息的有效数学工具[1-2]。1990年，Dubois和Prade将两个理论结合起来，首次提出了模糊粗糙集的概念，利用min和max一对模糊算子刻画了模糊粗糙集模型[3]。此后，关于模糊粗糙集的研究更加丰富、深入[4-7]。2002年，Anna等利用连续三角模和模糊蕴涵定义了一类新的模糊粗糙集模型，即(I,T)-模糊粗糙集[8]。特别地，文献[8]分别基于3类不同的模糊蕴涵算子定义了3种模糊粗糙集模型，丰富了模糊粗糙上下近似算子的构造方法。2005年，Wu等在上述(I,T)-模糊粗糙集模型的基础上进行了拓展，将其中的模糊相似关系推广为一般的模糊二元关系，定义了一对广义模糊上下近似算子并研究了其性质[9]。2008年，Sun等基于区间值模糊信息系统给出了区间值模糊粗糙集模型，并将该模型应用到知识约简中，建立了区间值模糊信息系统的知识约简定理[10]。同年，徐小来等提出一种基于直觉模糊三角模的直觉模糊粗糙集，证明了直觉模糊上下近似算子的重要性质[11]。2020年，Zhang等将基于三角余模的模糊粗糙集模型应用到不确定多属性决策问题上，并与已有决策方法对比，得出更优的决策结果[12]。文献[13-19]从不同角度进一步研究了模糊粗糙集的特性及其在粒计算、知识约简等方面的应用。

重叠函数作为一类聚合函数及非结合模糊逻辑联结词被提出[20]，与图像处理和数据分类的实际应用问题密切相关。在图像处理问题中，Bustince等利用被称为受限等价函数的二元算子去计算一个图像的阈值[21]；在分类问题中，Amo等利用重叠函数对结果分类进行(模糊)评估[22]。2013年，Bedregal等研究了重叠函数的一些重要性质，比如，迁移性、齐次性、幂等性等[23]；2015年，Dimuro和Bedregal研究了重叠函数及其剩余蕴涵的基本性质[24]。同时，文献[25-27]研究了n维重叠函数及其性质、重叠函数在基于模糊规则分类问题中的应用等内容。2019年，Miguel等将重叠函数的条件进一步放宽，引入广义重叠函数的概念，并展示了其在解决分类问题时表现出的优势[28]。

鉴于(广义)重叠函数的广泛应用，若将其与模糊粗糙集相结合建立更广的模糊粗糙集模型，将会扩大模糊粗糙集的实际应用范围[29-30]。同时，重叠函数作为非结合的二元函数，可以应用在基于模糊偏好关系的决策问题中，以克服三角模结合性的限制，提高处理多属性决策问题的灵活性。因此，本文基于三角模的模糊粗糙集现有研究工作，将三角模替换为(广义)重叠函数，从而引入基于(广义)重叠函数新的模糊粗糙集模型，并探讨新模型在不确定多属性决策问题中的应用。

1 基础知识

1.1 重叠函数与广义重叠函数

定义1[20-21，28]称二元函数O:[0,1]2→[0,1]是一个重叠函数，如果∀x,y,z∈[0,1]满足以下5个条件：

(O1)交换性，O(x,y)=O(y,x)；

(O2)边界条件，O(x,y)=0当且仅当xy=0；

(O3)边界条件，O(x,y)=1当且仅当xy=1；

(O4)单调性，O(x,y)≤O(x,z)当y≤z；

(O5)连续性，O关于2个变元是同时连续的。

称二元函数O:[0,1]2→[0,1]是一个广义重叠函数，如果∀x,y,z∈[0,1]满足(O1)、(O4)、(O5)和如下(O2′)、(O3′)：

(O2′)边界条件，当xy=0,则O(x,y)=0；

(O3′)边界条件，当xy=1,则O(x,y)=1。

例1(1)∀p≥2，如下定义的二元函数Op:[0,1]2→[0,1],O(x,y)=xpyp是一个重叠函数；显然，当p=1时，O(x,y)=xy既是连续三角模也是重叠函数。

(2)如下定义的二元函数O:[0,1]2→[0,1],

(3)如下定义的二元函数O:[0,1]2→[0,1],

O(x,y)=max{0,x2+y2-1}是一个广义重叠函数,但不是重叠函数。

定义2[23,28]设O:[0,1]2→[0,1]是一个(广义)重叠函数，则称如下定义的二元函数RO:[0,1]2→[0,1],RO(x,y)=max{z:O(x,z)≤y}是由(广义)重叠函数O诱导出的剩余蕴涵。

例2(1)若重叠函数为O2(x,y)=x2y2, 则其诱导的剩余蕴涵为

(3)若广义重叠函数为O(x,y)=max{0,x2+y2-1},则其诱导的剩余蕴涵为

1.2 模糊粗糙集的基本概念

定义3[18]论域X上的模糊集合(或称为模糊子集)A是X到[0,1]的一个映射(称为隶属函数)μA:X→[0,1]。∀x∈X,μA(x)称为x对于A的隶属度。

定义4[18]设R是论域U上等价关系，称(U,R)为近似空间。再设X⊆U，如果X能表示成若干个R基本知识(即R等价类)的并集，则称X是R的精确集；反之，称X是R的粗糙集。

精确集可以用基本知识的并集表示，可以被精确描述；而粗糙集可以使用2个精确集给出近似描述，即所谓的下近似集和上近似集。

定义5[18]设(U,R)为近似空间，X⊆U，集合

R↓X=∪{Y∈U/R|Y⊆X},

R↑X=∪{Y∈U/R|Y∩X≠∅},

分别称为X的R下近似集和上近似集。

定义6[3]设(U,R)是近似空间，即R是论域U上的一个等价关系。若A是论域U上的一个模糊集合，则定义U上的一对模糊集合

AR(x)=min{A(y)|y∈[x]R,x∈U},

定义7[9]记(U,R)为模糊近似空间，其中R是论域U上的一般模糊关系，T为三角模，I为蕴涵算子。若A是论域U上的一个模糊集合，定义U上的一对模糊集如下：∀x∈U,

称R↓IA和R↑IA分别为模糊集合A关于(U,R)的下、上近似。

2 基于(广义)重叠函数的模糊粗糙集模型

本节将(广义)重叠函数和模糊粗糙集相结合，提出一类新的模糊粗糙集模型，并讨论其基本性质。

定义8设(U,R)为模糊近似空间(R是论域U上的模糊二元关系)，O为一个(广义)重叠函数，RO为由O导出的剩余蕴涵。对于模糊集合A∈F(U)，定义U上的一对模糊集如下：∀x∈U，

称R↓ROA和R↑OA分别为模糊集合A关于(U,R)的下、上近似算子。

若R↓ROA=R↑OA,则称A为可定义的模糊集。反之，称A是模糊粗糙集。

表1 模糊关系R

(R↓ROA)(x1)=inf{0.25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x1)=sup{0.71,0.63,0.77,0.55}=0.77，

(R↓ROA)(x2)=inf{0.25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x2)=sup{0.71,0.63,0.77,0.55}=0.77，

(R↓ROA)(x3)=inf{0,25,0.16,0.49,1}=0.16，

(R↑OA)(x3)=sup{0.71,0.63,0.84,0.55}=0.84，

(R↓ROA)(x4)=inf{0,25,0.16,1,0.81}=0.16，

(R↑OA)(x4)=sup{0.55,0.55,0.55,0.95}=0.95。

因此，在近似空间(U,R)中，模糊集A的下、上近似集合分别为

定理1设O是(广义)重叠函数，RO是其导出的剩余蕴涵,则有

(1)R↑O∅=∅,

(2)R↓ROU=U。

证明(1)∀x∈U，有

(2)由于RO(x,1)=max{z:O(x,z)≤1}=1(∀x∈[0, 1])，则

定理2设O是(广义)重叠函数，RO是其导出的剩余蕴涵。若R为模糊自反关系且O(1,x)≥x(∀x∈[0, 1]),则对U上任意模糊集合A有R↓ROA⊆A⊆R↑OA。

证明对于模糊集A,∀x∈U,

O(R(x,x),A(x))=O(1,A(x))≥

A(x)。

这说明A⊆R↑OA。

另一方面，根据剩余蕴涵的定义，∀x∈U,有RO(1,x)=max{z:O(1,z)≤x}。记RO(1,x)=z0,则有O(1,z0)≤x。假设z0>x,则O(1,z0)≥z0>x，与O(1,z0)≤x矛盾，故假设不成立。由此可知z0≤x，即RO(1,x)=max{z:O(1,z)≤x}≤x。于是，

RO(R(x,x),A(x))=RO(1,A(x))≤

A(x)。

故有R↓ROA⊆R↑OA成立。

定理3设O是(广义)重叠函数，RO是其导出的剩余蕴涵，A、B是论域U上的模糊集。若A⊆B，则

(1)R↑OA⊆R↑OB,

(2)R↓ROA⊆R↓ROB。

证明若A、B满足A⊆B，则∀x∈U有A(x)≤B(x)，进而

故有R↑OA⊆R↑OB。同理可证R↓ROA⊆R↓ROB成立。

定理4设O是(广义)重叠函数，RO是其导出的剩余蕴涵，R1、R2是论域U上的2个模糊二元关系。若R1⊆R2，则对U上的任意模糊集A有

(1)R1↑OA⊆R2↑OA,

(2)R2↓ROA⊆R1↓ROA。

证明若R1、R2满足R1⊆R2,则∀x∈U有R1(x,y)≤R2(x,y),于是

故有R1↑OA⊆R2↑OA。同理可证R2↓ROA⊆R1↓ROA成立。

定理5设O是(广义)重叠函数，RO是其导出的剩余蕴涵，A、B是论域U上的模糊集，则

(1)R↑O(A∪B)=R↑OA∪R↑OB,

(2)R↓RO(A∪B)⊇R↓ROA∪R↓ROB,

(3)R↑O(A∩B)⊆R↑OA∩R↑OB,

(4)R↓RO(A∩B)=R↓ROA∩R↓ROB。

证明(1)和(4)根据定义8可以直接得到，以下证明(2)和(3)。

(2)∀x∈U，依据下近似的定义及剩余蕴涵的性质可得

R↓RO(A∪B)(x)=

(R↓ROA∪R↓ROB)(x)。

故有R↓RO(A∪B)⊇R↓ROA∪R↓ROB成立。

(3)∀x∈U，依据上近似的定义及(广义)重叠函数的连续性可得

R↑O(A∩B)(x)=

O(R(x,y),B(y))≤

(R↑OA∩R↑OB)(x)。

故有R↑O(A∩B)⊆R↑OA∩R↑OB成立。

特别地，以下示例说明，上述基于(广义)重叠函数的上、下近似算子，其幂等性一般不成立，即

R↓ROA≠R↓RO(R↓ROA)，

R↑OA≠R↑O(R↑OA)。

表2 模糊关系R

取O(x,y)=max{0,x2+y2-1}，则可得

显然，R↑OA≠R↑O(R↑OA)。类似地，R↓ROA≠R↓RO(R↓ROA)。

3 应用实例

本节阐述新的模糊粗糙集模型在多属性决策问题中的应用，所采用的示例来源于文献[12]，我们利用基于重叠函数的模糊粗糙集给出多属性决策的新方法，并将决策结果与已有方法的计算结果进行对比分析。

3.1 问题描述

肺炎是生活中一种常见病症，其通常有5种症状：咳嗽、呕吐、发烧、胸痛和疲劳。现在有6种药物可以用来治疗肺炎，但是这些药物对这5种症状有着不同的治疗效果，需要医生判断治疗肺炎的6种药物的效果。设W={a1,a2,a3,a4,a5,a6}表示6种药物，A={A1,A2,A3,A4,A5}表示5种症状，Aj(ai)表示医生对药物ai治疗症状Aj的效果评估，其中i=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5。此外，根据5种症状的重要性程度，医生还给出了标准权重T={0.25,0.25,0.20,0.15,0.15}。现需对治疗肺炎的6种药物的治疗效果进行排序。

3.2 决策方法及算例

本文应用的多属性决策的方法[12]如下。

将模糊矩阵变成偏好指标矩阵。

其次，将偏好指标矩阵的每一行当做一个模糊集合Me，每一列当作一个模糊集合Ng，分别计算其下、上近似。

最后，依据φ值对决策对象进行排序。

这里的|Δ|表示Δ的阶数。

以下，基于前面建立的基于重叠函数的模糊粗糙集，给出求解上述多属性决策问题(multi-attribute decision-making,MADM)的新方法。首先，根据相关数据，得到如表3所示的多属性决策矩阵。

表3 多属性决策矩阵

令p=0.87，则偏好函数为

Gj(xkj-xij)=

根据计算得到如表4所示的偏好指标矩阵。

表4 偏好指标矩阵

表5 Me的下、上近似

表6 Ng的下、上近似

最后，给出每种药物的φ+、φ-和φ，如表7所示。

表7 情况1中每种药物的φ+、φ-、φ

由表7可以直接得出排序结果，即

a3>a1>a4>a5>a2>a6。

因此，药物a3是治疗肺炎的最好药物。

情况2取重叠函数为O(x,y)=x2y2，采用相同的方法，可以得到每种药物的φ+、φ-和φ，如表8所示。

表8 情况2中每种药物的φ+、φ-、φ

由表8可以直接得出排序结果，即

a3>a1>a4>a5>a2>a6。

因此，药物a3是治疗肺炎的最好药物。

3.3 比较分析

上述利用基于重叠函数的模糊粗糙集模型给出决策问题的数值计算结果。对于MCDM问题，许多专家给出了不同的决策方法，比如模糊WA法(加权平均算法)、模糊OWA法等。表9列出了不同决策方法求解前述具体问题的不同结果。

表9 不同模型和方法之间的比较

从表9可以看出，本文提出的多属性决策方法与已有方法得到的决策结果一致，即确定a3是治疗肺炎最好的药物。这一结果表明本文提出的模型是有效的。此外，模糊WA法、模糊OWA法都出现了不能比较的对象，(JR,S)-FRS models模型使用了必须满足结合律的三角余模，本文方法没有不能排序的情况，且重叠函数没有结合性限制。因此，本文决策方法有一定优势和广泛适应性。

4 结论

本文提出了基于(广义)重叠函数及其剩余蕴涵的模糊粗糙集模型，该模型是(I,T)模糊粗糙集模型的一种扩展形式，其优点体现在2个方面：一方面，该模型保留了原有模糊粗糙集模型的重要性质；另一方面，扩大了模糊粗糙集的应用范围。本文研究了基于重叠函数的模糊粗糙上、下近似算子的基本性质，并提出了一种多属性决策的新方法，通过具体实例的对比分析，展示了新决策方法的优势和应用价值。作为进一步研究的课题，将在后续工作中探讨基于重叠函数的模糊粗糙集与三支决策理论的内在联系，并将理论研究成果应用于数据挖掘和知识发现等领域。