基于有理样条插值LMD的电压暂降检测与分析

朱锐锋，刘水，彭祥华，张光明，曾桂辉，尹靖元,3

(1.广东电网有限责任公司惠州供电局，广东 惠州 516000；2.中国科学院电工研究所，北京 100190; 3.中国科学院大学 电子电气与通信工程学院，北京 100049)

电压暂降扰动作为一种最严重的电能质量问题，是导致敏感工业用户生产中断和造成严重经济损失的主要原因之一[1-2]。据报道，在影响芯片制造良率的电能质量问题中，电压暂降占比在90%以上[3]，因而电压暂降是敏感工业用户投诉和抱怨最多的电能质量问题[4-5]。造成电压暂降的因素有很多，常见的主要包括电动机启动、变压器投切、短路故障和大容量敏感性负荷及非线性电力电子设备的并网等[6-9]。此外，电压暂降扰动事件也会对电网造成重要影响，危害电网设备的安全、高效运行。因此，对电压暂降的准确检测与分析是提高供电系统可靠性、改善电能质量的前提[10]。

近年来，电能质量扰动检测与分析的方法主要有：改进经验小波变换法(improved empirical wavelet transform, IEWT)[11]，改进小波阈值函数与其他分解方法相结合的方法[10,12-14]，变分模态分解(variational mode decomposition, VMD)及其与S变换相结合的方法[15-17]，自适应互补集中经验模态分解(adaptively complementary ensemble empirical mode decomposition, ACEEMD)方法[18-19]，奇异值分解(singular value decomposition，SVD)梯度信息的方法[20]，改进的希尔伯特-黄变换法(Hilbert-Huang transform，HHT)[21-22]和改进的局部均值分解 (local mean decomposition, LMD) 法[8,23]等。IEWT虽然实现了良好的模态分解和抗噪声干扰能力，但对频率接近的扰动分量检测效果较差，且端点效应问题也有待进一步解决。文献[10-12]在采用改进小波阈值函数对电能质量扰动信号降噪的基础上，分别采用EMD和VMD对扰动信号进行模态分解，然后结合希尔伯特变换(Hilbert transform，HT)和SVD实现对扰动信号特征参数(包括模态幅值、频率和起止时刻等)的检测，所提方法虽然具有良好的抗噪性能和较高的检测精度，但运算量较大、实时性较差。文献[13]通过自适应小波阈值降噪和改进HT-LMD相结合的方法，实现对电能质量扰动信号的检测，该方法的优点是扰动时刻的定位精度较高，但扰动分量的幅值、频率检测精度和抗有色噪声干扰的能力有待进一步验证。为了实现对电能质量扰动中微弱扰动起止时刻的准确定位，文献[14]从正常波形和异常波形的特征入手，提出自适应阈值和SVD的检测方法，该方法无需调节参数即可对扰动信号进行故障判断且实时性高，但对扰动信号其他特征参数(如幅值、频率)的检测与分析尚无明确结论。VMD因不存在模态混叠，在检测含频率相接近的奇数次谐波(如3次、5次谐波)复合扰动信号具有优势，但对含偶数次谐波和间谐波的复合扰动信号分析以及自身惩罚参数、迭代终止条件的选择等方面还需进一步研究[15]。文献[18-19]提出的ACEEMD方法改进了EEMD加噪参数需要人为确定、分解残余噪声大和计算耗时的缺点，能够准确检测出扰动信号的特征参数和具备较强的抗噪声干扰能力，但EMD固有的计算量大、分解迭代次数较多的缺点依然存在。基于SVD梯度信息的方法[20]实时性好、抗噪声干扰能力强，在电能质量扰动信号检测中主要用于定位扰动的起止时刻。为了解决传统HHT在检测电能质量扰动信号瞬时幅值和瞬时频率波动较大的问题，文献[21]采用移动平均法对瞬时幅值和瞬时频率进行平滑处理。文献[8]借鉴EEMD的思路，采用加噪辅助的方式对传统LMD进行改进，提高了LMD检测电能质量扰动信号的检测精度，但算法需要进行多次LMD，耗时长，同时模态混叠和端点效应问题也并未完全消除。文献[23]则从迭代终止准则和波形延拓2个方面来改进LMD，所提方法有效地降低了分解扰动信号出现的模态混叠和端点效应问题，但研究发现，采用三次样条插值(cubic spline interpolation, CSI)求取极值点包络线缺乏灵活性，LMD对于不同类型的扰动信号存在适应性不够好的问题。

为了解决基于CSI的LMD(LMD based on CSI，CSI-LMD)方法分解不同类型扰动信号适应性较差、分解信号准确度不够高的问题，文中采用有理样条插值(rational spline interpolation, RSI)代替LMD。RSI作为LMD的一般形式，其光滑性、稳定性较好，计算效率高，且引入的极点参数可以调整样条曲线的松紧度，能够改善LMD对于不同类型扰动信号的适应度。同时采用二分法原理计算RSI函数的最优极点参数值，使基于RSI的LMD(LMD based on RSI，RSI-LMD)方法在分解不同类型扰动信号时能够进一步提高扰动分量的检测精度。通过对单一扰动模拟信号的检测对比，以及不同信噪比(signal noise ratio, SNR)和Simulink短路故障模型复合电压暂降扰动信号的检测与分析，验证RSI-LMD方法的有效性。

1 基于有理样条插值的LMD方法

1.1 传统的LMD方法

根据LMD算法的原理，被测信号x(t)的分解迭代过程如下[8]：

a)计算被测信号x(t)相邻局部极值点的局部均值和包络估计值：

(1)

式中：ni、ni+1为被测信号x(t)的第i、i+1个相邻局部极值点；mi、ai分别为第i个局部均值、包络估计值。

b)将所有局部均值用折线连接起来，然后利用滑动平均法对折线进行平滑处理，得到的平滑曲线定义为初始局部均值函数m11(t)。采用相同的方法对所有包络估计值进行处理，得到的平滑曲线定义为初始包络估计函数a11(t)。

c)用被测信号x(t)减去初始局部均值函数m11(t)，相减结果定义为h11(t)。然后用h11(t)除以初始包络估计函数a11(t)进行幅值调制，得到初始调频信号，定义为s11(t)，用公式表示如下：

(2)

将初始调频信号s11(t)视为被测信号，重复步骤a)、b)得到s11(t)的局部均值函数m12(t)和包络估计函数a12(t)，如果a12(t)≠1，则说明s11(t)不是纯调频信号。重复上述迭代步骤δ次，直至s1δ(t)为一个纯调频信号，用公式表示如下：

(3)

(4)

d)将每次迭代产生的包络估计函数相乘，得到包络信号a1(t)，即

(5)

e)将包络信号a1(t)与频率最高的调频信号s1δ(t)相乘，得到第1个乘积函数(product function, PF)分量

(6)

(7)

式中，被测信号x(t)可由uN(t)和所有PF分量进行重构，即

(8)

在步骤b)中，用滑动平均法求取局部均值函数和包络估计函数存在较大的误差。针对这个缺点，有学者提出CSI-LMD方法[24]，即采用三次样条函数对步骤a)的局部极值点进行插值，兼具了求取局部均值函数和包络估计函数的准确性和函数曲线的光滑性，是较为经典的LMD改进方法。但研究发现，采用CSI求取信号的极值点包络线时，不能灵活地适应不同类型的扰动信号，会对LMD分解扰动信号的准确性造成重要影响，因此有必要采用更好局部特性的插值方法。

1.2 有理样条函数插值

根据有理样条函数的定义[25]，在区间[xk,xk+1] (k=1,2,…,n-1)内，有理样条函数[25-26]

(9)

(10)

式(9)、(10)中：u=1-v；hk=xk+1-xk；Ak、Bk、Ck和Dk为使sk(x)具有连续1、2阶导数的系数；p为极点参数，且p≥-1。容易求解得到有理样条函数sk(x)的2个极点为

xp1=xk-hk/p,xp2=xk+1+hk/p.

(11)

不难看出，通过调节极点参数p可以调节有理样条函数sk(x)的极点变化，从而达到调整样条曲线形状的目的。当p=-1时，sk(x)退化为二次样条函数；p=0时，sk(x)退化为三次样条函数；p趋于无穷大时，sk(x)退化为分段线性函数。因此，随着极点参数p的增大，有理样条函数sk(x)的形状不断被收紧的同时，光滑性也逐渐变差。

若已知节点xk(k=1,2,…,n)处的二阶导数yk″，则系数Ak、Bk、Ck和Dk的表达式分别为[26]

Ak=yk-Ck,Bk=yk+1-Dk.

(12)

式中q=2(p2+3p+3)，节点xk处的二阶导数y″k可结合边界条件和式(12)线性方程进行求解：

hk-1y″k-1+(2+p)(hk-1+hk)y″k+hky″k+1=

q(dk-dk-1),

(13)

(14)

本文有理样条函数插值采用自然边界条件，极点参数p=0时，极值点包络提取结果如图1所示，图1(b)给出了p=-1、p=10时的插值结果对比。

图1 基于RSI获取的包络线Fig.1 Envelope obtained by RSI

从图1中可以看出，随着p值的增大，被测信号极值点的包络朝着被拉紧的趋势发展，虽然包络线的过冲得到抑制，但是其光滑性变差，因此在实际的信号检测与分析中，应根据被测信号的类型合理选择p值。

1.3 基于二分法原理确定最优极点参数值

从扰动信号检测结果的准确性来看，在不同p值下的插值曲线簇中，最优包络线是使LMD分解的各扰动分量与理想分量最接近的那条曲线，这条曲线对应的p值即为最优极点参数值。由于随着极点参数值的增大，基于RSI的包络线始终是朝着包络收紧的趋势发展。因此，为了保持插值曲线具有足够的光滑性，极点参数的取值不宜过大，应根据扰动信号的复杂程度选择合适搜索范围。在确定最优极点参数值时，为了避开求解复杂的非线性方程[27]，采用二分法原理对其进行求解，并以基波或其他扰动分量幅值的检测误差f(p)作为评价指标。

先在区间[-1,100] 找到极点参数pmin、pmax，使f(pmin)、f(pmax)异号，说明在区间(pmin,pmax)内存在零点，然后求f((pmin+pmax)/2)。假设f(pmin)<0，f(pmax)>0，pmin

a) 如果f((pmin+pmax)/2)=0，该点(pmin+pmax)/2就是最优极点参数值；

b) 如果f((pmin+pmax)/2)<0，则在区间((pmin+pmax)/2,pmax)内存在最优极点参数值，将(pmin+pmax)/2赋给pmin，从步骤a)开始继续使用中点函数值判断；

c) 如果f((pmin+pmax)/2)>0，则在区间(pmin, (pmin+pmax)/2)内存在最优极点参数值，将(pmin+pmax)/2赋给pmax，从步骤a)开始继续使用中点函数值判断；

d) 当f(p)小于设定的阈值或区间小于一定值时，结束迭代过程，输出最后一次迭代结果(pmin+pmax)/2，即为最优极点参数值。

综上所述，在获取被测信号所有极值点的基础上，先根据基波或其他扰动分量幅值误差最小化，利用二分法确定最优极点参数值，然后分别对极大/小值点进行有理样条插值得到最优极大/小值点包络线，并计算出局部均值函数和包络估计函数，最后执行LMD的步骤c)—f)。另外，针对LMD求取的瞬时幅值和瞬时频率毛刺严重、光滑性较差的问题，文中采用文献[28]的平滑处理方法。

2 算例仿真

2.1 单一扰动信号

为了验证所提的RSI-LMD方法分析和检测电能质量扰动信号更具灵活性和有效性，与文献[23]的方法进行对比分析。采用文献[23]中的模拟信号，单一扰动信号主要包括电压暂升、暂态振荡、电压中断和电压闪变4种扰动信号。

若先不考虑采用二分法确定最优极点参数值，设置极点参数值分别为-0.1、0和10，采用RSI-LMD对4种扰动信号的特征参数检测结果见表1。仿真采样频率为2 000 Hz。从表1可以看出，极点参数p为10时的单一扰动信号特征参数检测结果总体上优于p为-0.1和0的情况，但需要指出的是电压闪变的扰动幅值和暂态振荡的扰动频率在p选择较大时，检测误差变大，说明极点参数p的选择不是越大越好，应根据不同的扰动类型选择合适的p值。

表1 不同极点参数值下单一扰动信号特征参数的检测结果Tab.1 Detection results of characteristic parameters of single disturbance signal with different pole parameter values

为了评估不同方法检测扰动信号的整体性能，与文献[23]进行对比分析。设文献[23]方法为方法1，本文所提RSI-LMD方法为方法2，将2种方法对4种单一扰动信号起止时间和幅值的检测误差集合以箱线图进行表示，如图2所示。

图2 特征参数检测误差对比Fig.2 Comparisons of detection errors of characteristic parameters

总体上看，方法2检测4种单一扰动信号的扰动起止时间精度要高于方法1，幅值检测精度则低于方法1；方法2在极点参数p取10时，电压闪变的幅值检测误差最大，相对误差约为0.55%，而p取-0.1和0时与方法1的检测结果相同，误差均为0；极点参数p取值不大时，方法2的扰动信号频率测量值与方法1的检测结果基本一致。

以2种不同扰动参数为例，进一步对所提方法的有效性进行验证。由于单一扰动信号的波形变化并不复杂，为了使单一扰动信号的包络线具有足够的光滑度，设置极点参数搜索区间为[-1,20]。若以基波幅值的检测误差为评价指标，设置误差阈值为0.000 1(标幺值)，经二分法求解后，得到各种类型扰动信号在2种扰动参数情况下的最优极点参数值均为14.775 0，但此时电压闪变的扰动幅值在2种扰动参数下的检测值分别为1.184 1(标幺值)和1.096 4(标幺值)，误差较大。因此，为了提高对电压闪变扰动幅值的检测精度，将电压闪变扰动幅值的检测误差作为评价指标，经二分法求解后得到2种扰动参数下的最优极点参数值分别为-0.170 3和-0.690 1。经基于最优极点参数值的RSI-LMD分析后，各类型单一扰动信号在不同扰动参数下的检测结果见表2。表2中， “1”和“2”分别表示各类型扰动信号的2种扰动参数值情况。

表2 最优极点参数值下单一扰动信号特征参数的检测结果Tab.2 Detection results of characteristic parameters of single disturbance signal with optimal pole parameter values

2.2 复合扰动信号

实际电力系统中，电能质量扰动信号往往不是单一扰动，通常是2种及以上的扰动信号混叠，其中以电压暂降和谐波混叠的形式最为常见。为了验证所提的RSI-LMD方法检测复合扰动信号的有效性和抗噪声干扰能力，本节分析电压暂降和谐波混叠的复合扰动模拟信号[21]〔见式(15)〕，同时考虑不同SNR对检测扰动信号特征参数的影响。

(15)

式中：H(·)为赫维赛德函数；t1、t2分别为0.5 s、0.7 s；采样时间长度为1 s；n(t)为高斯白噪声；采样频率为1 000 Hz。

首先，假设SNR为无穷大，即不考虑噪声干扰，分析不同极点参数p时，检测复合扰动信号x(t)各分量，结果如图3所示。图3中：上、下子图分别为谐波、基波扰动分量的频率和幅值检测结果。

从图3中可以看出，极点参数p为-0.5、-0.2、0和5时，RSI-LMD均能准确检测复合扰动信号各分量的频率和谐波分量的幅值。不同的是，随着p值从-0.5增大到5，基波分量的扰动幅值从大于理论值到小于理论值过渡，图3(b)中区域1的幅值(理论值为220 V)从大到小依次是221.65 V、220.05 V、218.97 V和206.80 V，扰动区域2的幅值(理论值为85 V)从大到小依次为85.71 V、84.99 V、84.59 V和79.90 V，可以看出，最优极点参数值位于-0.2附近。采用1.3节的二分法原理，并以基波幅值的检测误差作为评价指标，设置极点参数的搜索区间为[-1,100]，得到最优极点参数值为-0.191 0。可见极点参数的选择并不是越大越好，应根据扰动信号的波形特征选择合适的极点参数值，与2.1节的结论一致。

图3 不同p值下各分量特征参数的检测结果Fig.3 Detection results of characteristic parameters of each component under different p values

根据上述分析，选择极点参数p=-0.191 0，当SNR分别为25 dB、35 dB和45 dB时，扰动信号x(t)各分量的检测结果如图4所示。为了避免噪声干扰下，单次检测结果的偶然性和随机性对检测结果准确性的影响，对扰动信号x(t)进行100次RSI-LMD，然后计算平均值作为检测结果。由于在噪声干扰下，瞬时幅值波动幅度较大，受毛刺的影响较小，图4中扰动幅值的检测结果省略了平滑处理过程。图4中：上、下子图分别为谐波、基波扰动分量的频率和幅值检测结果。

图4 不同SNR下各分量特征参数的检测结果Fig.4 Detection results of characteristic parameters of each component under different SNRs

从图4中可以看出，随着SNR的增大，扰动信号x(t)各分量特征参数的检测结果波动减小，且不断趋近于理论值；若取扰动结束后的一段稳定区域的平均值作为检测值，则基波分量的扰动频率和扰动幅值误差分别在0.07%和0.19%范围内，谐波分量的分别在0.000 1%和0.11%范围内，扰动起止时间的误差为0，说明在较低的SNR干扰下，文中所提方法仍然能够较准确地检测出扰动信号中各分量的特征参数，体现了该方法检测性能的鲁棒性和较强的抗噪声干扰能力。

2.3 仿真实验电压暂降扰动信号

电力系统中的短路故障是波及范围最广、危害最为严重的一种电压暂降源。短路故障主要有4种类型：单相短路接地故障、两相短路接地故障、两相短路故障和三相接地故障，其中，单相短路接地故障是最为常见的短路故障，发生概率可达65%。为了进一步验证所提RSI-LMD方法的有效性，通过MATLAB/Simulink搭建双机三节点电压暂降仿真模型(如图5所示)，分别模拟公共连接点(point of common coupling，PCC)发生单相接地故障和两相短路故障(也可以模拟其他类型短路故障)，然后利用RSI-LMD对PCC点输出的电压暂降信号usag进行时频分析，检测usag各分量的特征参数。

图5 双机三节点系统结构Fig.5 Structure of dual-machine three-node system

以B相短路接地故障和A、B两相短路故障为例，在PCC模拟连续短路故障，其时间区间为[0.15 s,0.258 s]和[0.258 s,0.35 s]，仿真时长为0.5 s，采样频率为10 000 Hz，2种短路故障下PCC电压usag的时域波形如图6所示。从图中可以看到，B相发生连续短路接地故障时的波形呈现连续下降的过程，第2次下降后，由于B相电压幅值小于额定值的10%，第2次短路接地故障引起中断扰动；A、B两相发生连续短路故障时，B相电压幅值先下降后上升，2次短路故障均引起暂降扰动；此外，2种短路故障结束后均产生了高频谐波。运用RSI-LMD对PCC电压usag进行分析时，均以usag的B相作为被测信号。同样以基波幅值的检测误差作为评价指标，先利用FFT确定usag信号的基波幅值，再通过二分法获取最优极点参数值，极点搜索区间与2.2节相同，得到 B相短路接地故障和A、B相短路故障的最优极点参数值分别为38.721 9和74.775 0。将不同短路故障下的最优极点参数导入RSI-LMD方法后，检测到PCC电压usag在2种短路故障下的B相结果如图7所示。

图6 PCC电压的时域波形Fig.6 Time-domain waveforms of PCC voltage

图7 采用RSI-LMD的PCC处B相电压的分析结果Fig.7 Analysis results of B phase voltage of PCC with RSI-LMD

3 结束语

三次样条函数是有理样条函数极点参数为0时的特例，有理样条函数极点参数不为0时，通过调节极点参数可以实现调整插值函数形状松紧度的目的。为此，文中基于RSI方法，建立了改进的LMD方法，即RSI-LMD，该方法可以根据被测信号的扰动特征，设置合适的极点参数，从而更准确地反映被测信号极值点包络的变化情况，克服传统LMD方法分解结果误差大、滑动步长的选择受主观性影响大的问题，同时也能够有效克服CSI-LMD方法针对不同扰动信号获取包络线不具灵活性的缺陷。

对单一电能质量扰动信号和复合电压暂降扰动信号的检测与分析结果表明，RSI-LMD方法能够选择合适的极点参数，更合理地调整扰动信号的极值点包络，实现对扰动信号特征参数更准确的跟踪和定位。