基于PageRank改进算法的移相器最优选址方法研究

李峰，李作红，余梦泽，刘若平，付康，杜兆斌, 3

(1. 广东电网有限责任公司电网规划研究中心， 广东 广州 510080；2. 华南理工大学 电力学院，广东 广州 510641；3. 广东省新能源电力系统智能运行与控制企业重点实验室，广东 广州 510663)

随着我国特高压和超高压电网的快速发展，因线路潮流的自然分布的特性导致电网中线路潮流分布不均的问题日益明显，严重制约着线路的输送能力[1]。为了改善线路潮流分布，提高电网输电能力，移相变压器(phase shifting transformer，PST)作为一种典型的经济性潮流控制装置在世界范围内，尤其是欧美国家的电网中得到了广泛应用[2]。统一潮流控制器(unified power flow controller, UPFC)是目前为止功能最全面、控制范围最广且特性最优越的柔性交流输电装置，PST和UPFC一样，可以改善线路潮流分布，减少过载、环流等问题，而PST的装置成本和运行成本远低于UPFC，在成本方面具有很大优势[3-4]，目前PST在欧美国家已有较多的实际工程应用案例，且取得良好的调控效果，国内工业界亦正积极开展相关的应用研究。然而，对于不同的PST安装位置，潮流控制效果大有不同。因此，研究PST在实际电网中的最优选址具有重要意义。

在实际电力系统中，鉴于电网负荷自然分布、新旧线路参数不一致等问题[5]，导致潮流在并行输电线路上分布不均，从而引起部分线路有功潮流过限，同时由于线路检修或事故开断带来的负荷和潮流恶性转移问题，导致原本正常运行的线路也发生过载、堵塞现象。现有文献研究PST选址时，并未提出不同运行工况下识别薄弱线路的通用方法，传统的方法有可能影响PST的适应性，故本文在研究PST选址之前，研究多场景下系统中易过载、易堵塞线路的识别方法。

现有文献针对电力系统关键线路的辨识属于从电网拓扑和潮流分布角度出发的结构脆弱性分析范畴。目前，研究电网结构脆弱性的模型方法主要分为3大类，即电网纯拓扑结构模型(pure topological model，PTM)[6-7]、以介数为基础的模型(betweenness based model，BBM)[8-9]和基于电网潮流的模型(power flow model，PFM)[10-11]。根据复杂网络理论，上述方法仅考虑了节点或边的邻近对象数量或特性，而忽略了自身特性和邻近对象特性之间的相互影响，难以适用于本文PST选址分析。相比之下，近年来逐渐被应用于电网节点或线路重要性评估的PageRank算法能够较好地考虑网络全局信息：文献[12]在综合考虑网络拓扑和电网运行状态的基础上，对PageRank算法进行改进，使其能够辨识出退出运行后易引发大规模停电的脆弱线路；文献[13]在计及电网连锁故障级联效应的基础上，基于输电网时序网络模型，提出能够准确辨识出输电网中可能触发连锁故障的脆弱线路的PageRank改进算法。相比于传统介数法，PageRank算法具有更高的灵活性，且在大规模电网中计算更加方便，在充分考虑电力系统相关因素的基础上，PageRank算法具有用于辨识本文的关键线路的潜力。本文在文献[14]所提的对偶模型的基础上，对PageRank算法做出进一步改进：首先考虑线路间影响的方向性，利用支路开断分布系数建立“N-1”(表示输电网N条支路中任一条支路发生开断故障)灵敏度矩阵，以量化线路“N-1”情况下线路间潮流转移的相互影响，此外通过负载率考虑线路的安全裕度，从而辨识系统中易过载线路。

现有文献所提出的PST选址方法很难直接应用到实际系统，文献[15]提出了能反映PST调控效果以及系统稳定性的2个指标，确定PST安装选址，这种基于灵敏度分析的选址方法简单可行，但是在不同运行状态下得到的灵敏度数值不同，而且难以解决实际电网中的重载问题，因此存在一定的局限性。文献[16-17]建立了考虑多运行方式下计及输电断面静态安全约束的最优潮流模型，并采用对偶内点法确定PST的最优安装台数和位置；但是该模型搭建、求解方法难以应用于大规模实际电网。文献[18]将装设PST的数量和位置作为决策变量，将装设PST后电网每年在生产成本上获得的收益与PST的总投资额比例作为目标函数进行优化；但是该方法将所有线路都作为候选安装位置，计算量非常庞大，耗时较长且容易陷于局部最优。

考虑PageRank算法能较好计及网络元件自身特性和邻近对象特性之间的相互影响，本文推导PST灵敏度系数，量化PST安装后线路间潮流转移的相互影响，将灵敏度系数矩阵代入PageRank算法中的链接矩阵进行迭代计算，得到系统中对PST控制潮流作用比较敏感的关键线路，并将结果作为PST备选安装线路，再进行后续优化计算。相比仅采用灵敏度系数的线路筛选方法，该方法具有更好的通用性和灵活性，更适用于运行方式变化的实际电网研究，且适用于多条线路过载的PST选址研究。

综上所述，本文提出基于PageRank改进算法的PST最优选址方法。首先对PageRank算法进行改进，使其能够辨识出系统中易过载、易堵塞的关键线路，以及辨识关键线路中PST灵敏度系数较大者作为PST备选安装线路；然后基于遗传算法利用BPA软件潮流计算与MATLAB优化模型求解进行交互，以系统输电能力和PST成本为优化目标，将PST安装位置和移相角作为决策变量，并将所得到的关键线路作为PST安装位置的选取范围，实现PST最优选址。通过编程实现了该算法，其适用于大规模电网模型。最后，将本方法应用于规划方式下的广东电网模型，进行PST的最优选址研究，所得的结果与BPA的仿真计算结果相校核，以验证所提方法的可行性和准确性。

1 PST简介

1.1 PST基本原理

PST通过在线路中加入横向、纵向或斜向电压，使得线路的相位以及幅值发生变化，从而达到改变潮流的效果[19]。

PST接入系统的等效示意图[20]如图1所示，此处忽略线路以及PST电阻，图中：XL为本段线路的等值电抗，Xeq为PST的等值电抗，Ui和Uj分别为节点i和节点j电压幅值，θi和θj为ij线路两端电压相角，α为移相角。

图1 PST接入系统等效示意图Fig.1 Equivalent schematic diagram of PST accessing system

加装PST前，ij线路传输的有功功率[21]

(1)

加装PST后，该线路传输的有功功率

(2)

由式(1)、(2)可知，在线路中加入PST可以改变该线路两端相角差，调节线路的有功潮流。

1.2 PST灵敏度系数

在现有的PST选址方法研究中，最常用的指标是受控线路潮流裕度关于调节幅度变化的灵敏度系数[22]，通过比较加装PST前后的潮流结果来求取。该方法计算结果准确，但是应用于大规模实际电网中的计算会十分复杂，计算量很大。文献[23]应用直流潮流方法推导了PST灵敏度系数表达式，大大减少了计算量，但是未考虑PST阻抗的影响，而在实际工程中PST阻抗接近线路阻抗，不可忽略。故在此基础上，本文提出考虑PST等效阻抗的灵敏度系数推导方法，在保证计算结果精准的同时大大减少计算量。

本文针对PST有功调节，建立系统直流潮流方程矩阵形式如下：

P=Bθ.

(3)

式中：P为注入各节点有功功率的向量；B为系统的导纳矩阵；θ为相角向量。

令矩阵B的逆矩阵中元素为cij，可得到相角θi和θj的表达式分别为：

(4)

式中：n为电网节点个数；Pi为节点i的注入有功功率。在节点i与节点j之间加装PST后，线路ij有功功率

(5)

式中：P′ij为加装PST后节点i向节点j输送的有功功率；Xij为线路ij电抗；θij=θi-θj。

由节点注入功率Pi等于网络中与节点i相连所有支路流出节点i的功率之和，可得加入PST后，节点i、j注入功率表达式为：

(6)

式中Pij为加装PST前节点i流向节点j输送的有功功率。此时潮流方程可表示为：

P=(B+B0)θ+Bαα.

(7)

(8)

式(7)、(8)中：矩阵B0中i列i行、j列j行元素为-C，i列j行、j列i行元素为C，其余元素均为0；列向量Bα中i行元素为A，j行元素为-A，其余元素均为0；故B′=B+B0为加装PST后电网的导纳矩阵。

加装PST后各节点相角为：

θ′=(B′)-1(P-Bαα).

(9)

令矩阵(B′)-1元素为c′ij，则：

(10)

此时线路ij输送的有功功率

(11)

结合式(4)和式(11)可得加装PST前后线路ij的潮流变化

(12)

(13)

当出现加装多个PST需求的情况时，PST灵敏度系数的计算可以叠加[23]，使得该方法可以解决多个PST选址的问题。

2 PST选址方法

2.1 PageRank基本算法

PageRank算法是一种借鉴传统引文分析思想的网页排名算法，该算法能够考虑网络全局信息进行网页排序，现有较多学者对其进行改进并应用于辨识电网重要节点[12]，算法基本原理如下。

对于N个网站、K个超链接的互联网，将其简化为N个节点、K条边的有向图，运用PageRank算法进行网页重要性排序可得到以下计算公式[14]：

(14)

也可写成矩阵形式：

Rn=βMRn-1+(1-β)R0.

(15)

式中：Rn为第n次迭代后的PR值，为N×1阶的列向量；R0为N×1阶的单位列向量归一化形式；M为链接矩阵[13]，表征网络中各节点间的链接关系。

在电力系统中，线路之间不仅在拓扑结构上相关联，在运行状态上也会相互影响，因此不能从单一层面去识别关键线路，而应该同时考虑线路自身的重要性和线路之间的关联关系。由式(14)可知，PageRank算法正是同时考虑节点自身特性和节点间关联关系的算法，这就为将其应用于电网关键线路的识别提供了可能性。

2.2 改进PageRank算法

在实际电力系统中存在线路老化、新旧线路参数不一致以及旧线路改造不全面等问题，导致并行线路之间有功潮流分布不均，部分线路负载率过高。当电网存在故障线路断开时，这些线路还有可能因为潮流转移而过载，严重影响电力系统的安全稳定运行。因此考虑在电力系统中的某些适当位置加装PST，改善有功潮流的分布情况，使功率的分配更加合理。

为了将PageRank算法应用到PST选址问题，本节首先针对电力系统中易过载、易堵塞的关键线路进行辨识。当辨识的对象改为输电线路时，用于节点排序的传统PageRank算法不再适用，需要对其进行对偶改进[24]，即以节点表示电网中的输电线路，以边表示各线路之间的相互联系。

输电线路之间的联系可以通过支路开断分布系数(line outage distribution factor，LODF)来描述，它表征当电力系统中发生线路“N-1”事件时，非停运支路的有功潮流变化量对停运支路的有功潮流变化量的灵敏度，下文简称“N-1”灵敏度。对于一个有N个节点，L条支路的网络，其LODF矩阵[25]

F=BLAB-1AT.

(16)

式中：BL为L×L阶的支路电纳对角矩阵；A为L×N阶的支路节点关联矩阵；B为N×N阶的节点电纳矩阵；F为L×L阶的LODF矩阵，其第m行、第n列的元素Fmn表示当线路编号m的线路发生开断故障时，在线路编号n的线路上产生的开断分布系数。

“N-1”灵敏度

(17)

当电力系统发生线路“N-1”事件时，非停运线路的潮流可能增加，也可能减小，而潮流减小的线路显然不会引起过载问题，因此不需要考虑。此外，发生开断故障后，停运线路传输的功率可看作是0，因此也不需要考虑。综上所述，“N-1”灵敏度矩阵

(18)

其中矩阵元素

(19)

除了考虑“N-1”事件下引起潮流转移导致线路过载的情况外，还需要考虑故障前线路的负载率。线路的负载率越高，由潮流转移引起线路过载的现象发生概率就越大，线路ij的过载风险系数

(20)

(21)

式中γ为平衡系数[13]，用于平衡“N-1”灵敏度和负载率对线路的影响，此处取为0.5。

综上方法步骤，本文提出的辨识易过载线路的PageRank算法适用于不同的运行方式，其流程如图2所示。

图2 辨识易过载线路的PageRank算法的流程Fig.2 Flow chart of PageRank algorithm for identifying lines prone to overload

为验证本文提出的易过载线路识别方法正确性，将其应用于IEEE 39节点系统中进行脆弱线路识别，并与文献[26]中的结果进行对比，对比结果见附录A表A1。

从附录A表A1可知，2种方法辨识结果的前15条关键线路中有10条是相同的线路，说明本文方法的可行性和有效性。但共有关键线路排序及其他关键线路的不同，是由于识别方法采用的指标侧重点不一导致。

2.3 基于PST灵敏度系数选址分析

由1.2节中PST灵敏度系数的计算公式可知，当PST安装在电网中的不同位置时，所产生的潮流优化效果也不同。为了尽可能地发挥PST的作用，需要找到其综合效益最大的安装位置。下面针对2.2节中找到的易过载、易堵塞线路(取PR值排名较前的线路集L1)，结合PST灵敏度系数矩阵，复用PageRank算法进行2次迭代，得到安装PST对线路集L1影响最大的线路排名，进一步确认PST安装的备选线路。

对于一个有N个节点、L条支路的网络，其PST灵敏度系数矩阵

(22)

由于只考虑PST在线路集L1中产生的综合效益，需要对矩阵Z进行修正，即将线路集L1以外的线路对应的列的元素全部置0，其余元素取绝对值。

对矩阵Z按列进行归一化处理，便可得到新链接矩阵M2。同理，将其代入到式(15)中进行迭代，并根据收敛后的PR值进行排序。由PageRank算法的基本原理可知，此时PR值排序较前的线路就是PST安装的备选线路，进一步确定后续优化中的决策变量取值范围。

用于PST选址的PageRank算法的流程如图3所示，本文暂取排名前10名为关键线路。

图3 PST选址的PageRank算法的流程Fig.3 Flow chart of PageRank algorithm for PST location

2.4 选址优化模型

2.4.1 目标函数

a)系统输电能力。电网正常运行情况下，系统断面阻塞和系统潮流均衡的信息可以用断面通道利用率的概念来表示[27]，利用改进PageRank算法得到的关键线路所在断面通道利用率定义目标函数为：

(23)

式中：Ji为输电断面i流过的有功潮流；Jimax为断面i的最大潮流限额；v为指数系数，在计算中应取v>1；εi为断面i权重系数，本文断面的权重系数由2.2节中PR值排名决定；S1为由改进PageRank算法得到的关键线路所在断面集合。

b)PST成本。PST实际造价的影响因素有很多，结合行业经验，本文考虑影响成本最大的因素为移相角αmax及PST容量S，PST成本

C(S,αmax)=C0(S/S0)+(αmax-α0)×60.

(24)

式中：S0、α0分别为基准容量、基准移相角，本文取S0=400 MVA，α0=15°；成本基数C0=3 000万元。PST容量主要由所在线路的额定电压和额定电流所决定。

综上，总目标函数为

minf=w1F1+w2C1.

(25)

式中：F1、C1分别为子目标F和C的归一化形式，子目标的归一化使用“min-max标准化”方法，即X1=(X-Xmin)/(Xmax-Xmin)，其中子目标的最大值、最小值分别由单目标优化得到；w1和w2分别为子目标函数的权重系数，且均大于等于0。

在本文中，加入PST的主要目的是解决线路易过载、易堵塞问题。在PST成本函数权重设定中，若PST备选安装位置之间电气距离较大、所作用区域不同时，令w2=0，若PST备选位置为同一输电断面的多条并行线路，且并行线路提升断面输送能力相近时，令w2>0，本文设w2=0.2。值得注意的是，若实际电网涉及多条线路过载且考虑加装多个设备的安装需求，本模型同样适用于多个PST的选址。

2.4.2 电力系统运行约束

a)等式约束。等式约束为各节点的功率平衡方程，为：

(26)

(27)

式(26)、(27)中：PGi和QGi分别为发电机i的有功功率和无功功率输出；PLi和QLi分别为母线i的负载有功和无功功率；Ui为第i个节点的电压幅值；Gij和Bij分别为线路ij的电导和电纳；ni为含节点i的线路数量。

b)不等式约束。不等式约束包括系统的发电机有功和无功出力约束、母线电压幅值上下限约束、支路有功潮流约束，如下所示：

(28)

式中：Uimax和Uimin分别为节点i的电压幅值上、下限；PGimax和PGimin分别为发电机i的有功功率输出上、下限；QGimax和QGimin分别为发电机i的无功功率输出上、下限；Pijmax为线路ij的热稳定极限。

c)其他约束。为了进一步保证选址的合理性，可在本文优化模型的基础上计及其他安全裕度、稳定极限等约束，但会导致模型更复杂。在工程实际做法中，也可以先利用约束a)和b)获得候选最优解，然后通过时域仿真和安全检核的方式最后选出推荐最优解。结合工程实际，本文推荐采用后者。

2.4.3 控制变量

a)PST安装地址。PST安装地址是一个重要的控制变量，将2.3节中所得到的PST备选线路集L2定为PST安装地址的选取范围。

b)移相角。在优化过程中将移相角α视为连续变量，且移相角的约束条件为：

αmin≤α≤αmax.

(29)

式中αmax和αmin分别为最大和最小移相角。当实际移相角为离散值时，对优化解作适当修正并复核计算即可。

2.5 选址步骤

基于PageRank改进算法的PST最优选址方法以及流程如图4所示。

图4 大规模电网中PST选址流程Fig.4 Flow chart of PST location in large-scale power grid

步骤1：运用PageRank改进算法，将负载率、“N-1”灵敏度作为权重系数，并赋值式(15)中链接矩阵M为M1(改进1)，对实际电网中部分地区进行关键线路筛选，并取结果中PR值较大线路，记作线路集L1，并确定线路集L1关联断面。

步骤2：选取线路集L1，将PST灵敏度系数当作权重系数，并赋值式(15)中链接矩阵M为M2(改进2)，筛选PST安装线路，得到对线路集L1影响最大的线路集L2。

步骤3：取线路集L2为PST安装地址范围，以线路集L1关联断面运输潮流能力最优为目标，利用BPA与MATLAB交互(考虑灵活性和适应性，本文算法选取遗传算法)，对实际大规模电网进行优化。

3 算例分析

本文以广东省部分城市某年夏季负荷高峰数据为例，根据提到的PST选址方法，利用MATLAB与BPA仿真软件交互开展移相变压器在该电网中的应用分析。

3.1 关键线路筛选

为了方便说明方法的有效性，本文聚焦大规模电网中某些过载线路。图5为广东省局部地区220 kV及以上电压等级线路等效地理接线图，图5中：黑色数字为节点编号，蓝色数字为线路编号，节点15、19、29为500 kV站点，其余节点均为220 kV站点，线路15、16、22、36为500 kV站点内变压器等效线路，线路18为等效后连接节点15、29线路。系统拓扑结构、线路参数以及利用BPA软件对其进行潮流计算所得到220 kV各线路负载率，均见附录A表A2。

图5 广东省局部地区220 kV及以上电压等级线路等效地理接线Fig.5 Equivalent geographic wiring diagram of 220 kV and the above voltage level lines in some areas of Guangdong province

得知各线路负载率后，遵循图2中步骤，结合式(15)进行迭代计算，得到PR值排名(取前10)结果如图6所示。

图6 辨识易过载线路的PR值排名(前10)Fig.6 PR value ranking of overload-prone lines (top ten)

图6中结果表示在考虑线路负载率以及LODF因素下的综合排名，故将线路21、6、2、9、20、29、8、1、42、48作为辨识结果，记作线路集L1，结合图5中地理接线图，定义该线路集所关联的潮流输送断面信息，见表1。

表1 线路集L1关联断面信息Tab.1 Related section information of L1

3.2 PST安装备选线路筛选

不同线路上加装的PST等效阻抗值不等，PST等效阻抗值与其装设线路电流额定值相关。本文算例中220 kV各线路加装的PST阻抗数值见附录表A1，结合电网拓扑结构以及线路参数，代入式(13)，得到电网的PST灵敏度矩阵，遵循图3中步骤，计算以PST灵敏度系数为权重系数的PR值排名，前10结果如图7所示。

图7中结果为在电网各线路上加装PST对线路集L1影响最大的线路集，记为L2，将线路集L2定为该算例PST安装的备选位置。

3.3 选址优化

将图7中10条线路定为PST备选线路，将PST的安装选址以及移相角当作决策变量，搭建3.4节中优化模型。利用MATLAB与BPA交互并应用遗传算法，提取BPA中潮流结果信息并代入式(23)得到适应度函数值，其中目标函数中各断

图7 PST安装备选线路的PR值排名(前10)Fig.7 PR value ranking of alternative lines for PST installation (top ten)

面权重系数大小由图6中结果定义，此处断面1、2、3、4权重系数分别取0.4、0.3、0.1、0.2，指数系数v=2，得到PST最优选址为线路21，最优移相角为-3.13°。

在线路21上加装PST，设定移相角为-3.13°，得到线路集L1各线路潮流变化如图8所示。

图8 线路集L1加装PST前后潮流对比(前10)Fig.8 Power flow comparisons before and after the installation of PST on L1

由图8结果可知，在线路21上加装PST后，线路21的负载率降至47.64%，平衡了PR值较大的并行线路20、21之间的潮流，改善了线路19、20、21组成的环网H1内部潮流，而对环网H1外部线路潮流影响较小。

3.4 实际仿真结果对比

为验证3.3节中选址结果的正确性，采用BPA计算图5中电网在满足线路“N-1”准则情况下，加装PST对表1中断面1的潮流输送能力提升程度。由于在环网H1外部加装PST无法提升环网内断面1的潮流输送能力，故仅研究PST加装至线路19、20、21，且移相角设为离散变量，结果见表2。

表2 断面1加装PST前后线路最大输送潮流Tab.2 The maximum transmission flow of the line before and after installation of PST in section 1

由表2可知：在线路21、20上加装PST，断面1潮流输送能力得到提升，而线路19上加装PST无法增大断面1潮流输送能力；同时在线路21上加装PST对断面1潮流输送能力提升程度最大，达到18.2%，并且所需移相角和PST容量均最小，即PST成本最低，故该运行方式下PST的最佳选址为线路21，与本文提出方法计算结果一致。

4 结束语

针对大规模实际电网PST选址问题，本文计及线路的负载率、系统正常运行方式和线路“N-1”事件下网络拓扑特性，通过改进PageRank算法实现电网中易过载、易堵塞的关键线路识别，进一步结合考虑PST等效阻抗的PST灵敏度系数修正信息以适应场景变化，找出PST安装候选位置，最后使用遗传算法并利用MATLAB和BPA交互实现大规模实际电网的PST最优选址。

以广东电网为例的优化结果表明，应用本文提出的选址方法，理论上可以准确地寻找到合适的PST安装位置，综合提高电网潮流运输能力，充分挖掘已有电网输电能力。同时该方法考虑了PST阻抗、成本等实际问题，相比于现有PST选址方法，更具有实际工程参考意义。