高中数学教材中数学文化的渗透

黄培琳

【摘要】新课程改革的落实使数学文化的渗透在高中数学教学中体现出了重要的意义.本文以斐波那契数列为例，阐述斐波那契数列的由来和相关数学问题，说明数学文化的价值和作用，并建议通过课堂教学、创建多元化评价体系、营造合适氛围的方式进行数学文化的渗透.

【关键词】数学文化;斐波那契数列;高中数学

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，在数学教学中教师应该提升学生的数学应用意识，用数学来观察、思考和表达世界，帮助学生提升数学素养.数学不是为一类人而设定的，而是面向所有人的，要使所有人都能受到良好的数学教育，使得每一个不同的个体在数学方面都能得到不同的收获.正因如此，数学的学习目的并不是单纯地要求学生对定理、定义、公式等知识的掌握，还对学生在实际生活中应用数学的能力做出了要求.新课程改革中还提出数学课程的教学应以数学文化的渗透为主线，在教学过程中，教师应做到以学生的发展为主要工作，落实立德树人的根本任务.教师应引导学生自主思考和学习并与他人合作进行探索.与此同时，教师要促进数学课程、数学文化同生活实际的融合，从而激发学生学习数学的兴趣，帮助学生感受和体会数学在科学、文化、应用和审美等各个方面的重要价值.

二、数学文化概述

“数学文化”是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.数学史、数学家、数学美、数学教育等也都属于数学文化的范畴.同时，数学与社会、其他学科以及各种文化之间的联系也都能反映出数学文化.数学文化在我们的学习生活中随处可见，只是需要我們用数学的眼光来发现，借此来培养学生数学的理性思维模式，提高其数学素养.因此，在由我国教育部所制定的瘙爯普通高中数学课程标准（2017年版）瘙爲中明确指出了要在学习数学知识，提升应用数学解决实际问题的能力和思维的同时，也要注重数学文化的渗透.数学课一般主要学习数学的理论知识，所以数学文化的渗透应当以数学的理论知识为载体，在抽象的数学知识基础上尽可能通俗易懂地渗透一些数学文化.教师一般可以以数学问题、数学典故、数学观点来渗透数学文化，激发学生对数学的兴趣，形成数学思维，提升数学素养.本文以斐波那契数列为例，在高中数学教学中渗透数学文化.

三、斐波那契数列

斐波那契数列是出现在普通高中教科书《数学》（选择性必修第二册）第四章第一节“数列的概念”的“阅读与思考”中的内容.其中介绍了斐波那契数列的由来和在自然界中的一些与其有关的现象.起初是意大利的一位知名数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1175—约1250）在1202年出版的一本著作《算盘全书》，并且他在书中收录一个关于繁殖的问题.在问题中首先设1对成熟兔每月都能生1对小兔（假设每次出生的小兔都正好一雌一雄），每1对小兔都会在出生的1个月后成熟，再过1个月，成熟兔又能生出1对小兔，在所有兔都不会有生病或死亡的情况下，由第1个月第1对出生的小兔开始，直至第12个月时一共能够有多少对兔？

在第1个月的时候只有1对小兔而没有成熟兔，所以共有1对兔.在第2个月的时候之前的小兔转变为成熟兔，此时共有1对成熟兔.在第3个月的时候之前的1对成熟兔此时生下1对小兔，此时共有2对兔.在第4个月的时候将会有1对小兔和2对成熟兔，所以此时共有3对兔.在第5个月的时候将有对2小兔和3对成熟兔，此时共有5对兔.以此类推，将会得到兔子总数（单位：对）为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

由这个问题所得到的数列就被称作斐波那契数列，在这个无穷数列中的任意一个数都叫作斐波那契数，同时可以得到第n个月时兔的对数Fn的规律为 F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2，n=3，4，5，…，一个数列，前两项都等于1，从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列.

四、自然界中的斐波那契数

就像数学文化不仅仅存在于数学这一门学科之中一样，自然界中也存在着许许多多与斐波那契数有关的现象.例如，向日葵花盘中葵花子的排列就与斐波那契数有关，仔细观察时可以发现向日葵花盘中的葵花子排列呈现为两组对数螺线，一组为顺时针、另一组为逆时针的交叉排列.这两条方向相反相互交叉的对数螺线条数往往就为相邻的两个斐波那契数，一般的向日葵为顺时针34条、逆时针21条，大一点的向日葵会有55条顺时针方向的对数螺线、34条逆时针方向的对数螺线，更大的向日葵是144条顺时针螺线、89条逆时针螺线，在自然界中甚至还发现过233条顺时针和144条逆时针对数螺线的超大向日葵.它们都呈现出这样相邻斐波那契数的性质.除此之外，还有松果的种子也呈现这样的规律.经过研究发现，这样的排列使花子的堆集效率达到了最高.自然界中的大部分花的花瓣数也为斐波那契数或者斐波那契数的整数倍，我们常见的兰花和茉莉花就都有3个花瓣，雏菊属的植物通常有34，55或89个花瓣.近年来我们还发现树枝上树杈的数目也通常为斐波那契数，第一年、第二年都只有1杈，第三年有2杈，第四年有3杈，第五年有5杈，第六年有8杈，以这样的形式呈现出斐波那契数，这种方式可以帮助植物光合作用.大自然不可能理解什么是斐波那契数列和斐波那契数，但大自然中的种种现象却表明它们以斐波那契数的形式来增强它们的生存优势，这也是数学同大自然一样的神奇之处.

五、斐波那契数列的相关问题

自兔子问题中抽象而来的斐波那契数列被大自然中的生物选择的同时在许多数学问题中也经常出现.例如，跳格子游戏，站在楼梯的起始点往上跳，从楼梯外只能先跳入第一阶楼梯，每次可以往上跳一阶或两阶楼梯，有多少种方法可以跳到第n阶楼梯上？在这个问题中我们可以假设有tn种方法可以跳到第n阶楼梯，跳到第一阶楼梯的方法只有一种，就是先跳一阶，想要跳到第二阶楼梯也只有一种方法，就是先跳到第一阶再跳到第二阶，所以可以得到t1=t2=1.由于一次只能跳一阶或两阶楼梯所以想要跳到第n阶楼梯，必须从第（n-1）阶或第（n-2）阶楼梯往上跳，我们可以知道想要跳到第n阶楼梯上的方法数就是跳到第（n-1）阶或第（n-2）阶楼梯的方法数之和，即tn=tn-1+tn-2.由此，我们可以得出这个游戏方法数的递推公式t1=t2=1，tn=tn-1+tn-2，n=3，4，5，….可见，数列tn就是斐波那契数列.

除此之外，连分数也与斐波那契数列有关，例如，x=11+11+11+11+…，可以将其看作x=11+x把x反复代入右侧，这样我们就会得到一个只由1构成的连分数.连分数往往无法求得它的确切数值，所以我们一般求它的近似值.我们把它从第n条分数线截住，把第（n+1）条分数线上下都删掉，就能得出这个连分数第n次的近似值，记作unvn.以我们刚刚提到的全部由1组成的连分数为例，可得u1v1=11， u2v2 = 11+11 = 12，u3v3 = 11+11+11 = 23， u4v4 = 11+11+11+11 = 35 .由这个规律我们可以推得unvn= 11+un-1vn-1 .u5v5 = 11+u4v4 = 11+35 = 58， u6v6 = 11+u5v5 = 11+58 =813，….

按照這个顺序可以依次得到连分数的近似值为11，12，23，35，58，813，…，un-1vn-1，unvn，…，这样我们也可以较为直观地看到连分数和斐波那契数列的关系.还有许多与斐波那契数列有关的有趣的数学问题，如黄金矩形等，这里就不再一一列举了.

六、教学中渗透数学文化的建议

（一）在数学课堂上渗透数学文化

在传统意义的理解上数学课堂一般是枯燥、乏味的，且数学的知识都是较为抽象的，学生对数学学科中这些难以理解和较为抽象的数学的公式、定理、定义都有较大的排斥心理和情绪.这些可能会使学生难以理解教师所教授的内容或丧失学习数学知识的兴趣.因此，教师在数学课堂的教学过程中可以采用合理的方式方法适当地渗透一些数学文化内容，以此激发学生对数学知识进行了解和学习的兴趣.例如，在学习函数内容的时候，教师可以从函数的起源讲起，函数最早在清代由我国的数学家李善兰在翻译《代数学》一书时所译出，他将function翻译成函数，这是我国使用函数一词的开端，并且函数这一概念最早由莱布尼茨提出，最初这位数学家用函数来表示幂，后来慢慢地就形成了我们现在所学习的函数.这样一来，教师通过一些数学史的小故事可以吸引学生的注意力，让学生更有兴趣学习新的概念和知识.教师还可以通过引入一些日常生活中的例子，如买东西时所花的费用和所购买的物品数量之间总是存在着类似于一次函数的关系，生物中的有丝分裂和物理中的自由落体通常都类似于二次函数，生活中物品总数量和人数之间往往符合反比例函数，施工中往往会用到的三角函数.这些例子不仅可以体现出数学知识在实际生活中的应用价值，帮助学生体会数学的用处，还能体现出数学与其他学科之间的联系，帮助学生建立起数学知识与物理、生物等其他学科知识之间的联结，构建更加完整的知识体系和认知结构，使学生更好地理解数学概念，从而帮助学生发现数学的价值.在学习几何和图形有关知识时，教师可以利用生活中相关的多种图形通过多媒体向学生展示，让学生感受到数学就在我们身边，只要细心观察就能感受到无处不在的数学美和数学魅力.在一些章节的教学中，教师还可以通过讲解数学定理和公式的由来、数学家的生平来渗透数学文化.这不仅可以最大限度地激发学生对课堂学习内容的好奇心和探索欲望，让学生改变对数学课程和知识枯燥乏味的刻板印象，使数学课堂变得更加生动活泼，还可以帮助学生构建完整的知识体系，使其数学知识掌握得更加牢固，从而为学生其他学科的学习和后续的学习打下良好的基础.

（二）构建多元化评价体系渗透数学文化

目前素质教育也提倡建立目标多元、方法多样的评价体系，单纯的数学定理、定义、公式的掌握并不能满足目前社会所期望的人才培养要求，所以数学知识的应用对学生整体素质的影响尤为重要.成绩并不是唯一度量学生学习结果的指标，许许多多的学生可能会应用公式定理来解决试卷中的数学问题，但对数学知识的起源、数学定理的证明、数学概念的内涵一无所知，他们可能拥有较好的数学成绩，但他们缺少数学的素养.一味地培养应试数学，对数学的思想、数学的思维模式、数学的精神没有了解和掌握，这样的数学是不符合素质教育要求的数学，也是对学生后续的人生都没有实际价值的数学.素质教育所要培养的是能够全面发展的人.因此，在数学教学的过程中渗透合理的数学文化不仅能够在传授数学知识的同时帮助学生开阔视野，从全新的角度去了解数学、认识数学、构建新的数学观念，还能够培养学生在数学中的创新精神和数学的理性思维，以此来增强学生各个方面的素质和能力.因此，不光要对学生数学解题能力进行考核，学生的创新能力、思维逻辑、数学素养等都可以成为评价学生的标准，从而建立多元化的评价体系和在教学过程中渗透数学文化是相辅相成的.

（三）营造合适氛围渗透数学文化

数学文化不仅存在于数学的定理、定义等知识之中，数学史，数学与其他学科的联系、与社会的联系以及其中所蕴含的精神、思想、方法和思维模式中都能表现出数学文化，所以数学文化的渗透也可以从这些方面着手，直接突兀地宣传数学文化可能会较为生硬，使学生的数学学习并不能得到正向影响.从班风、校风、学风等方面都较为容易营造数学文化氛围.通过在教室的文化墙上定期更新一些数学家生平、数学史中重要事件、有趣的数学问题等也能潜移默化地向学生渗透数学文化.在学校内的数学家雕塑、举办的数学知识竞赛等，学生在观赏和参与的同时就起到了学习的作用.展示学生亲手绘制的相关内容的手抄报，在课后留下的逻辑小问题等不仅可以使学生主动地将注意力和精力投入到对数学知识的学习中，还能锻炼学生的动手能力、创新能力和逻辑思维能力.这种润物细无声的方式不仅可以在不知不觉间达到渗透数学文化的目的，还能使学生不排斥对数学知识的学习.其他学科课程中对于数学的应用，如物理、化学以及生物等理科课程与数学有着千丝万缕的联系，这样通过与其他学科之间建立一定的联系来渗透数学文化也可以帮助学生认识到数学的价值，体会到数学的重要性，使数学更加有吸引力.

七、结束语

在数学教学的过程中渗透数学文化符合数学课程标准的理念，也是目前数学教学的一大趋势.在未来的教学中渗透数学文化也将成为必然，而且数学文化的合理渗透可以帮助学生掌握数学的精髓，深入理解数学的概念内涵;掌握数学知识，产生探究数学的好奇心.因此，提高学生对于数学学习的兴趣，同时增强学生的创新能力、应用能力和逻辑思维能力等，帮助学生形成数学的理性思维，体会数学的精神，并获得较好的数学素养，从而使学生成为更符合社会和教育目的所要求的全面发展的人.渗透数学文化的同时可以提高数学教师的教学能力，帮助教师活跃课堂，调动学生的积极性，从而使教师和学生都终身受益.

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