初等几何中的经典作图

孙承娟

【摘要】本文通过十四个典型例题展示了如何通过尺规作图实现基本几何图形之间的转化，以及图形与数值之间的转化，如线等分、角等分等，并给出了部分简要证明.通过作图沟通几何与代数，实现乘法与除法等新颖的数学变换，容易激发学生学习数学的兴趣.

【关键词】初等几何;尺规作图

尺规作图是只使用无刻度的直尺和圆规作图.尺规作图只使用圆规和无刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.这是初等几何中非常引人入胜的课题，下面笔者整理了部分经典作图与大家分享.

一、求两线段之和

这简直是最无聊的作图，几乎每个人都会.尽管如此，但为了保证课题的完整性，在这里笔者还是要介绍这个问题的解法.

如图1，AB，CD为任意两线段，求它们的和.

解 在线段BA的延长线上以点A为圆心，CD长为半徑作圆交直线AB于点P（P与B在A的异侧），则此时有PB=AB+PA=AB+CD.

附注：这里使用了《几何原本》中的公理（以给定点和给定的长度可以作圆）和一个定义（同圆或等圆中半径皆相等）.于是在此作图中有PA=CD，所以就有等式PB=AB+PA=AB+CD.这个作图的解就这样被我们找到了.

二、求两线段之差

这一作图与上一个作图一样无聊，但还是要进行说明.

如图2，AB，CD为任意两线段，求它们的差.

解 在线段BA上以点A为圆心，CD长为半径作圆，交AB于点P（P与B在A的同侧）.此时我们有PB=AB-AP=AB-CD.

附注：这个作图与上一个作图的做法基本一样.实际上我们有AP+PB=CD+PB=AB，但只要进行运算就会得到我们想要的等式了.

三、求两线段之积

学过古希腊数学史的朋友见到这个作图可能会不自觉地以这两线段分别为长、宽作矩形.但这里要介绍的不是这种作图，原因：一是这种作图很不美观，也很简单，人人都会.二是这种作图是古希腊人的杰作，包括欧几里得在内的一大部分古希腊数学家极为推崇这个.而笔者要介绍的是在《笛卡儿几何》中发现的一种新颖的作图.

如图3，BD与BC是任意两线段，求它们的积.

解 在线段BD上任取一点A，连接CA，过D作CA的平行线DE交线段BC的延长线于E.

设AB为单位线段（即单位“1”），AD=x，BC=y，CE=z.

∵AC∥DE，∴△BCA∽△BED，

∴BCBA=BEBD，即y1=z+yx+1，

∴（x+1）y=z+y，即BD·BC=BE.

附注：这里将取的任意两线段设为共顶点，不是共顶点，也可以利用圆规作成共顶点，只要两线段的夹角不为180°即可.

四、求两线段之商

如图4，BD与BE为任意两线段，求BE[]BD.

解 在线段BD上任取一点A，

连接ED，作AC∥DE，交BE于点C.

设BA为单位线段（即单位“1”），AD=x，BC=y，EC=z.

∵AC∥DE，

∴△BCA∽△BED，

∴BCBA=BEBD，

即y1=z+yx+1，

∴z+yx+1=y，即BEBD=BC.

五、求一线段的平方根

如图5，求线段GH的平方根.

解 延长线段HG至F，设GF为单位“1”，GH=x，

找FH的中点K，作半圆FH，以G为垂足作IG⊥FH，交半圆于I，连接IK，

则IK=12FH=1+x2.

又∵FK=1+x2，

∴GK=1+x2-1=x-12，

则IG2=IK2-GK2=1+x22-x-122

=12+x2+2x4-12+x2-2x4

∴IG2=12+x24+x2-12+x24+x2=2·x2=x.

∴IG=±x=±GH，

∴GH的平方根为IG.

附注：这个证明本身没有问题，但在最后对于IG2=x而得到了IG=±x=±GH，得到了一个“负线段”，但这不是一个错误，因为每条线段都代表了一个向量，比如AB就代表向量由A到B，但其实不需要上面的箭头，因为它们的字母顺序已经告诉我们这个向量的方向.而AB可以看作实数里的正数，与它对应的是BA，它是向量AB的“反线段”.它与AB大小相同，方向相反，这有点像物理中作用力与反作用力的关系.我们可以得到一个等式AB+BA=0.这就是对于最后一步的解释.

六、等分线段

如图6，AB为一线段，要求将它二等分.

解 以A，B为圆心，大于AB2的长为半径作圆.

两圆相交于E，F.连接EF交AB于P.

连接BE，BF，AE，AF.

由题意得AE=AF=BE=BF，

所以得到EF是AB的垂直平分线.

那么点P就是AB的中点.

七、三等分任意线段

如图7，AB为任意线段，要求至少找出一个关于它的三等分点.

解 找AB的中点D，以D为圆心，AD长为半径作圆.作CD垂直于AB，交⊙D于点C，连接AC，BC.找BC的中点M，连接AM，过C作AM的垂线交AB与P.

根据共边定理及共角定理可得：

APPB=S△APCS△BPC=S△APCS△AMC·S△AMCS△BPC

=AC·CPMC·AM·AC·AMCP·CB

=AC2MC·CB=2ACCB=2，

∴AP=2PB，即线段AB被P点三等分.E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF

八、用带刻度的直尺和圆规三等分任意角

这个作图的方法来自阿基米德，虽然只用了直尺和圆规但不符合尺规作图的规定（尺规作图是指用不带刻度的直尺与圆规作图，之前的作图都属于尺规作图）.

如图8，∠BAC为任意一角，要求将其三等分.

解 以A为圆心，AB长（这里设AB=AC）为半径作圆交直线AC于D.在AD的延长线上找一点E，连接EB，在EB交⊙A于F后使EF等于该圆的半径r，连接AF.

∵EF=AF=r，

∴∠FED=∠FAD，

而且AF=AB，

∴∠BFA=∠FBA=∠FEA+∠FAE=2∠FEA，

那么∠BAC=∠FBA+∠FEA=3∠FEA.

即∠BAC被三等分.

附注：在这个作图过程中，寻找E点至关重要，但是仅依靠尺规作图是不可能找到E点的，这就是为什么要在一开始笔者就说用带刻度的直尺与圆规三等分角的原因.

九、已知一条线段可作一个等边三角形

如图9，AB为已知线段，要求以线段AB为边建立一个等边三角形.

解 以A为圆心，AB长为半径作圆A;再以B为圆心，BA长为半径作圆B，

两圆相交于C点，连接CA，CB.

∵点A是圆A的圆心，故AC=AB.

又∵点B是圆B的圆心，

故BC=BA.

∴CA=CB=AB，

∴△ABC是以线段AB边的等边三角形.

十、从一个给定的点可以引一条线段等于已知线段

如图10，A为给定的点，BC为给定的线段.

求作： 以A为端点的一条线段等于BC.

解 连接A，B两点成线段AB，并以此作一个等边三角形DAB.

作DA的延长线AE，DB的延长线BF.

以B为圆心，BC长为半径作圆B，交BF于点G，

再以D为圆心，DG长为半径作圆D，交AE于点L.

∵点B是圆B的圆心，∴BC=BG.

又∵点D是圆D的圆心，∴DL=DG.

∵DA=DB，那么其余下的部分AL=BG.

于是线段AL=BC=BG，

∴从给定的点A作出的线段AL等于给定的线段BC.

十一、平分任意角

如图11，已知∠BAC，要求二等分这个角.

解 在AB边上任取一点D，在AC边上取一点E，

使AE=AD.连接DE，以DE为一边建等边三角形DEF，作射线AF.

∵AD=AE，AF为公共边，

且DF=EF，

∴△ADF≌△AEF，于是∠BAF=∠EAF，

∴∠BAC被射线AF平分.

十二、过一条直线上的点，求作该直线的垂线

如图12，AB为已知直线，C为直线上的点，求作：过C点作一条直线垂直于直线AB.

解 在AC上任取一点D，在CB上取一点E，

并使CE=CD，

以DE为边建等边三角形FDE，连接FC.

∵DC=CE，CF是公共边，

且边DF与边FE相等，

故△DCF≌△ECF，∴∠FCD=∠ECF.

又∠DCF与∠ECF互为邻补角，

∴CF⊥AB，即直线CF⊥直线AB，

∴过一条直线上的一个点，可以作该直线的垂线.

十三、经过直线外的一点，求作该直线的垂线

如图13，AB为已知直线，C为直线AB外一点，求作：过点C作一条直线垂直于直线AB.

解 在直线AB异于点C一侧任取一点D，

以点C为圆心，CD长为半径作圆C，AB与圆C交于点G，E，

作GE的中点H，连接CG，CH，CE.

∵GH=HE，HC是公共边，

且CG=CE，

∴∠CHG=∠EHC.又∠CHG与∠CHE互为邻补角，

∴CH⊥AB，

∴CH是从C点向AB引的垂线，

即直线CH⊥直线AB.

十四、给定一条线段及它的一条平行线，要求仅用直尺找出该线段的中点

如图14，已知线段AB和一条平行于AB的直线l.要求只用直尺找出AB的中点.

解 取不在AB上也不在l上的任意一点P，作直线PA，PB，分别与l交于点M，N，

连接AN，BM交于点O，连接PO交AB于点Q.

由共边定理可得：

AQBQ=S△AOPS△BOP=S△AOPS△AOB·S△AOBS△BOP

=PNBN·AMPM=S△PMNS△BMN·S△AMNS△PMN

=S△AMNS△BMN=1，

∴Q是线段AB的中点.

笔者暂时整理了这么多，也算抛砖引玉吧，水平有限，还请大家批评指正.

【参考文献】

[1]欧几里得.几何原本[M].南京：译林出版社，2011.

[2]笛卡儿.笛卡儿几何[M].北京：北京大學出版社，2008.E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF