构建知识运用阶梯式场景 促成知识学习递进式理解

曹岭红

【摘要】有效促进学生对知识的理解和运用，是培养学生问题解决能力的关键.本文以“平方差公式练习讲评”教学为例，依次构建知识巩固场景、知识变式场景和完型假想场景，有效促进学生达成巩固与熟练、融通与理解、精通与构建的螺旋式目标，最终使学生对知识形成从浅表到中层再到深度的递进式理解.

【关键词】知识巩固场景;知识变式场景;完型假想场景

《义务教育数学课程标准（实验稿）》将“解决问题”列入课程总目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“解决问题”改为“问题解决”，继续列入课程总目标.2016年9月，《中国学生发展核心素养》正式发布，共列举了18个要点，“问题解决”属于其中之一.2019年12月教育部考试中心发布的《中国高考评价体系说明》中明确提出：“学科素养是（学习者）在面对生活实践或学习探索情境中的问题时，能够……高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质.”可见，问题解决已成为学生学科素养的重要表征.但在现实学习生活中，解决问题往往是学生学习的难点，他们或读不懂题意，或无从下手，或解答思路漏洞百出，等等.因此，迅速提升学生问题解决的能力既是教师教学的重点，又是提升教学质量的共识.目前，培养学生解题能力的教学方式有很多，但大量解题成了一种常态的培养方式.众所周知，这种方式的高效性是值得商榷的，在如今“双减”大背景下，这种方式的可行性也被打上了问号，这就需要我们从“问题解决”的本质上再度进行思考.

“问题”是基于现实场景而产生的，“问题解决”是基于知识的理解而形成的策略，“问题解决”能力是学生在现实场景中知识运用能力的重要表征.因此，有效促进学生对知识的理解和运用，是培养学生问题解决能力的关键.

在数学教学中，我们将知识理解与知识运用深度融合，构建起“知识运用场景”概念，并在不同的场景下贯彻“以运用促理解”的教学策略，从而实现基于知识运用场景的构建设计和实施教学.知识运用场景主要有三种，即：知识巩固场景、知识变式场景和完型假想场景.知识巩固场景体现在对知识运用要素的巩固上，目的是理解知识要素，如完成教材上的习题;知识变式场景体现在知识运用方式的变化性训练上，目的是在变式中理解知识，如变式训练;完型假想场景体现在引导学生基于知识理解，自我构建知识运用场景的知识运用训练上，目的是深度理解知识.从训练目标而言，知识巩固运用场景重在巩固，知识变式运用场景重在变换，完型假想场景重在自我建构.三种场景的联动实施，轮次推进，帮助学生循序渐进地感受不同深度的知识内涵，体验知识要素的“变与不变”，熟悉运用场景的丰富可能，经历知识运用的经验总结、方法提炼，从而达到充分理解与深度学习.

一、知识巩固场景

知识巩固场景的教学是指在新授课教学过程中或结束后，为了使学生達到熟练掌握知识的目的，让学生完成一些与例题相同或相似的练习的知识运用教学，它对知识要素的巩固和例题的理解有明显的效果.

如：北师大版七年级下册第一章“整式的乘除”第5节“平方差公式”的内容是平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，两数和与这两数差的积等于它们的平方差.教材上的例题类型如下：

（1） （-m+n）（-m-n）

（2）（5+6x）（5-6x）

（3）（2x-5）（2x+5）-2x（2x-3）

（4）103×97

教材上提供的练习类型如下：

（1） （-x-1）（1-x）

（2）（mn-3n）（mn+3n）

（3）（an+b）（an-b）

（4）a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）

（5）1007×993

将例题、练习和平方差公式进行对比发现，例题和练习是对平方差公式进行了如下五个维度的变形：字母替换、因数（式）变换、指数变换、含平方差公式的整式混合运算和含平方差公式的数的计算.将例题和练习进行对比发现，五个维度的练习变形中，有四个可以从例题中找到原型，有了对例题的学习，学生可以根据例题的解答过程进行模仿解答.在教学中发现，学生能否顺利解答上述练习主要取决于教师是否详细讲解或强调过这些类型题的解答要点.而学生作业的正确率往往是教学目标达成情况的主要表征.并且，为了帮助学生解答相对于例题而言的陌生习题，教师往往会增加对应例题以尽量覆盖这些习题类型.如：为了让学生顺利解答练习第（3）题指数变换类型题，教师往往会增加一个这样类似例题进行讲解，为学生完成练习提供范例或指引.所以，教师充分的前期铺垫是学生正确解答这些习题的必要条件，学生及时巩固训练则能达到熟练掌握例题解答技巧的目的.但其缺陷也非常明显：

（1）学生对知识运用场景属于被动接受.习题由教师提供，提供这些习题的原因不为学生所知，只是让学生一味解题.因此，学生对知识运用场景是被动接受的，很难真正理解知识的运用特征.

（2）学生对知识运用方式容易出现过度模仿.教师对知识运用要点进行了详细讲解，学生的巩固性训练只需对教师讲解内容进行回忆与模仿.长期的模仿训练容易导致学生习惯运用当天所学解答当天问题，从而形成不对问题进行认真分析就直接开始解答的解题习惯，这样往往容易产生思维惰性.

二、知识变式场景

知识变式场景的教学是基于知识内容，对知识运用场景的特征进行分类训练的教学，旨在帮助学生熟练掌握知识运用的各种已知方式，从而达到促进理解、熟练运用的目的，它对知识特定变式方式的理解有明显的效果.

如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的运用场景通常分为如下情况：变换字母（将a，b两字母改为其他字母）、变换系数（将a，b两字母的系数变换为任意常数）、增添因数（将a，b两单一字母变换为任意单项式）、增添项数（将a，b两单一字母变换为任意多项式）、复合变换（融合上述两种或两种以上的变换）和在复杂场景下的甄别性训练如a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）等.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A

教师根据这些类型分别提供一定数量的习题，引导学生分类别进行训练.教师让学生集中精力接受同类别训练是为其排除干扰因素，并在特定类别训练中领悟平方差公式的本质，熟练掌握特定类别的各种运用情况.当综合所有类别后，学生还能领悟到如下内容：（1）无论字母因式如何变化，平方差公式的本质都不能变——两数之和乘这两数之差;（2）在字母因式中，可变换的内容有字母、字母数量、字母系数等;（3）在变化过程中，可以单一变，可以复合变.这些领悟是学生对知识本身的理解和对知识运用场景的理解，它融通了知识与运用之间的关联，但存在如下缺陷：学生训练用的习题都由教师提供，即在教师指定的范围内进行领悟，所以学生还是处于被动学习状态，主动性没有得到充分激发.而知识运用的场景是多样的，在有限的学习时间内，学生难以训练完所有内容.因此，当学生面对没有经过训练的运用场景时，依然会有初次解决问题时的茫然感.

三、完型假想场景

完型假想场景的教学是基于知识特征，在教师引导下，学生对其可能出现的所有运用场景进行自我建构，并予以解答的教学方式.它是通过构建问题场景来领悟问题产生原理，从而达到提升学生解决问题能力和理解知识的目的.它属于开放性思维训练和问题自构训练， 在激发学生的主动性学习、培养学生的开放性思维、提升学生问题解答的迁移能力等方面有显著效果，也是使学生最终达到理解知识目标的最佳方式.为了激发学生学习的主动性，在引导学生进行平方差公式的运用场景建构时，教师可以设置这样的问题：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的两数是以单一字母a，b呈现的，那么还有哪些代数式可以替换a，b两字母来表示这两个数？然后学生对其所有表示方式进行归类，利用平方差公式进行计算.在这种足够开放的问题指引下，学生得出可以用任意代数式来表示这两个数，代数式包含任意单项式和任意多项式.根据学生的课堂表现，平方差公式变换情况呈现了如下情况：

（一）因式变换，理解了单项式的整体性

使用任意单项式表示平方差公式中的两个数时，因为单项式是数与字母的乘积形式，数与各字母都是这个单项式的因式，所以将这种变换方式称为因式变换.因式变换的类型包含字母变换、系数变换、因式数量变换和指数变换[将字母指数“1”变换为任意整数，如

（2a3x2 +by4 ）（2a3x2 -by4 ）=（2a3x2 ）2 -（by4 ）2 ]、复合变换等.学生在自我建构这种变换场景时，必定遵循平方差公式的本质“两数和乘这两数差”不变的特征，即不管这个单项式多么复杂，它都是以单项式整体的形式表示平方差公式中两个数中的某一个数.这个本质特征于学生构建运用场景过程而言，刚开始时是隐形的，但随着构建单项式的类别越来越丰富，学生对这种本质的理解将会越来越深刻，并能达到准确表达出这种本质特征的程度，此时，对这些问题的正确解答就是水到渠成的事情了.

（二）项数变换，理解了多项式的整体性

使用任意多项式表示平方差公式中的两个数时，因为多项式是几个单项式和的形式，各单项式都是这个多项式的项，所以将这种变换方式称为项数变换.在项数变换时，对学生进行有序性思维训练是一个非常好的教育时机.如：先引导学生对两个数中的其中一个数进行多项式变换，再对另一个数进行多项式变换，最后对两个数同时进行多项式变换;在变换的项数上，引导学生从二项式到更多项数进行依次变换.在变换开始时，为了帮助更多同学顺利完成自我构建场景的学习任务，教师可以适当搭设脚手架.如：将一个用多项式表示的数作为脚手架，引导学生以此构建平方差公式计算的运用场景，具体操作方式如下：

1.已知一个数构建平方差公式.如：若a+2b-3c是平方差公式中乘积式的第一个因式， 根据下列条件写出第二个因式，然后利用平方差公式进行计算.（1）两数中第一个数是a+2b;

（2）两数中第一个数是a.

2.自主选定兩个数构建平方差公式.如：若a-2b+3c-d是平方差公式中乘积式的第一个因式，请自行选取这个多项式的任意项来确定两个数，然后写出第二个因式，最后利用平方差公式进行计算.为了培养学生思考的全面性，教师要求学生至少写出四种，并且类别不能相同.在学生自我建构这种变换场景时，与因式变换一样，随着变换类别的丰富，学生对平方差公式本质特征的感受将越来越明显、深刻.学生最后能清晰地表达出其中的“不变”与“变”，即平方差公式两数本质“不变”，表示两数的多项式可以任意“变”.

（三）位置变换，理解了符号的不变性

位置变换是在不改变表示平方差公式两数的情况下，利用加法的交换律，改变两数在两数和或两数差所对应多项式中的各项位置.学生在经历位置的变换中，理解了平方差公式中两数符号的“变”与“不变”规律.如：平方差公式中的两数分别为a和2b-3c，对应的平方差公式计算场景可以是（a+2b-3c）（a-2b+3c），（a+2b-3c）（a+3c-2b），（a+2b-3c）·（3c-2b+a），（2b+a-3c）（3c-2b+a），等等.

在进行位置变换时，为了帮助更多的同学顺利完成自我构建场景的学习任务，教师可以按下面方式搭设脚手架：先进行已知两个数的变换，再进行已知一个数的变换，最后进行自选两数变换（注：为了满足位置变换的条件，两数不管是已知，还是学生自己选定，都必须使用多项式表示）.根据学情，教师在教学中或选择其中一个环节，或两个环节，或按照上述递进方式依次推进.因式变换和项数变换的“变”体现在两数的表现形式上，位置变换的“变”体现在用多项式表示两数时，两数和或这两数差中多项式各项的位置上，三种方式所灌输内容都是感受平方差公式运用场景的“不变”与“变”，以及其中所蕴含的整体数学思想.

（四）逆向构建场景，强化深度理解

因式变换、项数变换和位置变换都是对平方差计算公式的顺向思考.思维的方向是多向的，与顺向思维对应的是逆向思维.平方差公式既可以作为计算公式，反过来又可以作为因式分解公式，我们可以利用平方差公式进行逆向思维训练.基于教学的推进顺序，此时直接进行因式分解训练是不合适的，但从学习深度的角度来看，进行因式分解的渗

透是完全可行的.因此，在不改变平方差公式从乘积到和差顺序的前提下，教师可以根据知识运

用的结构，引导学生构建逆向推导知识运用场景，这就是逆向构建场景.比如：

1.已知两数和与这两数差的乘积等于9x6y2-1625a2b4，请将这两个数分别填在下面相应的位置上.

（  +   ）（  -   ）=9x6y2-1625a2b4

2.已知两数和与这两数差的乘积等于1002减去某个数的平方，请将这两个数分别填在下面相应位置上.

（  +   ）（  -  ）=1002 -（  ）2

逆向构建场景是对知识进行另一个方向的理解，它与顺向构建场景一起，多维度、多方向构建知识运用场景.在构建问题的过程中，深度理解知识内涵，明白问题产生机理，而问题的解决方法必定存在于问题产生机理中，所以，问题的解决就是顺理成章之事了.众所周知，问题是无限的，但问题产生机理是有限的，在有限问题中明白了无限问题的产生机理，再面对陌生问题的解决时就可迎刃而解了.

通过上述分析可知，在知识教学过程中，我们可以结合具体知识，合理设计知识巩固、 知识变式和完型假想三个阶梯式的场景，逐层提升学生问题解决的能力，有效促成学生达成巩固与熟练、融通与理解、精通与构建三个螺旋式的目标，最终使学生对知识形成浅表、中层到深度的递进式理解.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A