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弱外交换超半群

2022-06-02赵云平谢祥云李春燕

关键词:结合律代数情形

赵云平,谢祥云,李春燕

(五邑大学 数学与计算科学学院,广东 江门 529020)

1 引言与预备知识

1991 年,Lajos[6]引入了外交换半群的概念,称一个半群是外交换的,如果该半群满足一置换恒等式,即对任意x, y ,z ∈ S,有xyz =zyx. 1992 年,M. Yamada[7]给出了外交换半群的构造. 2006 年,Stevanovic 和Protic 引入了弱外交换半群的概念[8],并于2009 年指出弱外交换半群是a-连接半群的半格分解[2].

1934 年,F. Marty 在第八届Scandinavian 数学家大会上首次提出了超代数系统理论,作为经典代数结构的泛化,在超结构中两个元素的运算是一个集合. 印度数学家M. K. Sen 真正地将半群代数理论和超结构完美结合,他研究了模糊超半群的相关理论[9]. 从1999 年起,各国学者们在超半群的基本理论的基础上,在如超半群上的正则二元关系、超半群的超理想[9]、超半群上的同余[11-15]等方面做了一些基础工作. 本文介绍a-连接超半群、弱外交换超半群和中间超半群的概念,给出了它们的相关性质,并证明弱外交换超半群是a-连接超半群的半格分解,以及中间超半群是a-连接超半群的带分解

2 弱交换超半群

定理1设S 是超半群,,在S 上定义一个新运算“*”满足:对于任意,有x * y=x ° a ° y,则是超半群.

证明对于任意

显然有

推论1超半群S 是交换的,则( S ,a )是交换超半群.

因为

基于上述事实,本文引入以下概念

定义6设S 是超半群,,对于任意,使半群.

下面的例子说明弱外交换超半群是存在的.

° 1 2 3 4 1 {1} {1} {1} {1}2 {1} {1,2} {1,2} {1,2}3 {1} {1,2} {1,2} {1,2}4 {1} {1,2} {1,2} {1,2,3,4}

情形一:KKK. 根据定义,因为K 是超半群,满足结合律,故在KKK 这种情况满足结合律的.

情形二:

情形三:

情形四:

情形五:

情形六:

情形八:. 设,我们有以下两种情形:

定理2S 是弱外交换超半群,,则S 是连接的超半群的半格分解.

证明在S 上定义一个关系ρ 如下:

根据注2,

因此,

从而

推论1设S 是外交换超半群,对任意则S 是a-连接的超半群的半格分解.

证明设S 是外交换超半群,则S 是弱外交换超半群,且由定理2,得证.

° 1 2 3 1 {2} {2} {2}2 {2} {2} {2}3 {2,3} {2,3} {2,3}

定理3中间超半群是a-连接的超半群的带分解,

证明对,类似定理2 的证明,在( S , ° )上定义一个等价关系 ρa如下:

令z S∈ ,根据中间超半群的定义,则有

进一步地,令x S∈ ,则有

因此,ρa是带同余关系. 且由ρa的定义,知ρa-类是a-连接的超半群,得证.

定义8设S 是超半群,,对于任意,有则 x,y 称为弱a-连接的. 如果对于任意都是弱a-连接的,则称S 是弱a-连接的.

例4设是超半群,若S 是超群,则a °S = S °a =S. 因此对于任意,对于任

例5设,在S 上定义超运算“ °”如下:

° 1 2 3 1 {1} {1} {1,3}2 {1} {1} {1,3}3 {1} {1} {1,3}

容易验证( S , ° )超半群且S 是弱1-连接的,事实上,对于任意,都有. S 也是弱2-连接和弱3-连接的.

我们通过例1 知道, S 不是弱2-连接的.

注3通过上面定理2 及其证明可以看出,如果S 是任意一个超半群,,在S 上定义一个关系ρ 如下:

很容易看出ρ 是S 上左超同余,如果S 是交换的超半群,那么在S 上定义一个超半格同余关系ρ ,且每个同余类是弱a-连接的,则可知S 是弱a-连接超半群的半格.

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